16
2.2.5 Definisi 10
Persamaan diferensial linier orde dua 2.3 disebut homogen apabila =
x g
dan disebut tidak homogen apabila ≠
x g
Waluya, 2006.
Contoh 8:
1. Persamaan diferensial 3
sin =
+ +
y x
y xy
adalah persamaan diferensial linier orde dua homogen karena gx = 0.
2. Persamaan diferensial x
y y
x xy
sin 5
2
= +
+ adalah persamaan diferensial
linier orde dua tidak homogen karena ≠
x g
.
2.2.6 Solusi Persamaan
Diferensial Linier Orde Dua
Fungsi x
φ dikatakan solusi persamaan diferensial 2.3 pada selang I,
apabila x
φ mempunyai turunan kedua dan memenuhi hubungan 2.3 pada
selang I, yakni x
g x
x c
x x
b x
x a
= +
+ φ
φ φ
untuk setiap I
x ∈ .
2.2.7 Persamaan Diferensial Linier Orde Dua Homogen dengan Koefisien Konstanta
Perhatikan persamaan diferensial yang terbentuk =
+ +
qy py
y 2.4
dimana p dan q konstanta-konstanta. Intuisi
mx
e y
= merupakan solusi persamaan
diferensial 2.4 dengan m memenuhi persamaan tersebut. Untuk itu akan dicari m agar
mx
e y
= merupakan solusi persamaan diferensial 2.4. Dari
mx
e y
= diperoleh
mx
me y
= dan
mx
e m
y
2
= sehingga y, y’, dan y” disubstitusikan ke
persamaan 2.4 didapat persamaaan
2 2
= +
+ ⇔
= +
+
mx mx
mx mx
e q
pm m
qe mpe
e m
. Dan karena ≠
mx
e , untuk
setiap m dan x, maka
2
= +
+ q
pm m
. Dengan demikian
mx
e y
= dikatakan
solusi dari persamaan diferensial 2.4, jika m merupakan penyelesaian dari persamaan kuadrat
2
= +
+ q
pm m
17
Persamaan
2
= +
+ q
pm m
disebut persamaan karakteristik dari persamaan 2.4 dan akar-akarnya disebut akar-akar karakteristik. Akar-akarnya
adalah 4
2 1
2 1
q p
p m
− +
− =
dan 4
2 1
2 2
q p
p m
− −
− =
. Dari perhitungan di atas diperoleh
x m
e y
1
1
= dan
x m
e y
2
2
= merupakan solusi dari persamaan
diferensial =
+ +
qy py
y .
Untuk p dan q merupakan bilangan real, akar-akar dari persamaan karakteristik 0
2
= +
+ q
pm m
dapat dibagi dalam tiga kasus, yaitu: dua akar berbeda, dua akar sama, dan dua akar kompleks.
1. Akar real berlainan berbeda Bilangan
1
m dan
2
m dua akar real berbeda maka
x m
e
1
dan
x m
e
21
adalah solusi yang bebas linier sehingga
x m
x m
Be Ae
y
2 1
+ =
merupakan solusi umum persamaan diferensial 2.4.
2. Kedua akar sama. Misalkan kedua akar persamaan
2
= +
+ q
pm m
adalah sama, maka a
m m
= =
2 1
, maka
ax
e x
=
1
φ adalah salah satu solusi persamaan
diferensial 2.4. Bila
1 2
x x
W x
φ φ
= solusi lainnya, maka
dx e
e x
W
pxdx ax
∫
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
∫ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
− 2
1
dx e
e
px ax
∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
− 2
1
18
Karena a
m m
= =
2 1
adalah akar-akar persamaan
2
= +
+ q
pm m
, maka p
a m
m −
= =
+ 2
2 1
. Jadi
∫ ∫
= =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= x
dx dx
e e
x W
ax ax
2 2
1 .
Hal tersebut
ax
xe x
x x
x =
⇒ =
2 1
2
φ φ
φ dimana
1
φ
dan
2
φ
bebas linier. Jadi solusi umum persamaan diferensial
= +
+ qy
py y
adalah
ax ax
ax
e Bx
A Bxe
Ae y
+ =
+ =
. 3. Akar Kompleks
Misalkan salah satu akar persamaan
2
= +
+ q
pm m
adalah i
a m
β
+ =
1
, maka akar yang lain
i a
m
β
− =
2
, sehingga
x i
x m
e e
x
1
1
β α
φ
+
= =
dan
x i
x m
e e
x
2
2
β α
φ
−
= =
adalah solusi basis untuk persamaan diferensial =
+ +
qy py
y . Jadi solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah:
{ }
x i
C C
x C
C e
x i
x e
C x
i x
e C
e e
C e
e C
x x
ax xi
xi
β β
β β
β β
α α
β α
β α
sin cos
sin cos
sin cos
2 1
2 1
2 1
2 1
− +
+ =
− +
+ =
+ =
−
Dengan demikian mengambil A
C C
= +
2 1
dan B
C C
i =
−
2 1
maka solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah
{ }
x B
x A
e y
x
β β
α
sin cos
+ =
.
2.3 Persamaan Diferensial
Kategori