12
.
P A B
P A P B Misalkan
I
adalah himpunan indeks. Himpunan kejadian
,
i
A i I
dikatakan saling bebas jika
i i
i J i J
P A
P A
untuk setiap himpunan bagian berhingga J dari I.
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 1.6
Keekivalenan Ukuran
Peluang Ukuran peluang
P
dan Q pada ruang contoh
disebut ekivalen jika untuk kejadian
A
berlaku :
0 jika dan hanya jika Q A
P A
. [Loeve,1962]
Definisi 1.7 Peluang Bersyarat
Misalkan
1
A
sehingga
1
0. P A
Misalkan pula
2
A
adalah sebarang
himpunan dalam
.
Peluang bersyarat dari
2
A
jika diketahui
1
, A
dinotasikan dengan
2 1
P A A
ialah
1 2
2 1
1
. P A
A P A A
P A
[Hogg dan Craig, 1995]
2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 2.1 Peubah Acak
Misalkan
adalah medan - dari ruang
contoh . Suatu peubah acak
X
adalah suatu fungsi
: X
dengan sifat
: X
x
untuk setiap .
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Catatan : Peubah acak dinotasikan dengan huruf
besar seperti
Z Y
X
, ,
, sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil
seperti
z y
x
, ,
. Definisi 2.2 Fungsi Sebaran
Misalkan , ,
P
adalah ruang peluang. Fungsi sebaran dari peubah acak X adalah
suatu fungsi
: 0,1
F
yang didefinisikan oleh
X
F x
P X x
. [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 2.3 Peubah Acak Diskret Peubah acak
X
dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang
terhitung dari
.
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Catatan : Suatu himpunan bilangan
C
disebut terhitung jika
C
terdiri atas bilangan berhingga
atau anggota
C
dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan
bulat positif. Definisi 2.4 Fungsi Kerapatan Peluang
Misalkan , ,
P
adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak
diskret
X
adalah fungsi :
0,1
p
yang diberikan oleh
X
p x
P X x
.
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 2.5 Nilai Harapan Jika
X
adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang, maka nilai
harapan dari
X
adalah
X x
E X xp
x
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. [Hogg dan Craig, 1995]
Lema 2.6 Sifat Nilai Harapan Beberapa sifat nilai harapan, antara lain :
1 Jika
k
adalah suatu konstanta, maka
. E k
k
2 Jika
k
adalah suatu konstanta dan
V
adalah peubah
acak, maka
. E kV
kE V
3 Jika
1 2
, k k
adalah konstanta dan
1 2
, V V
adalah peubah
acak, maka
1 1 2
2 1
1 2
2
. E k V
k V k E V
k E V
[Bukti lihat Hogg dan Craig, 1995]
Definisi 2.7 Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak
Fungsi sebaran bersama dari dua peubah acak X dan Y adalah suatu fungsi
2
: 0,1
F
yang didefinisikan oleh
, ,
F x y P X
x Y y
. [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
13
2.3 Penduga dan Kekonvergenan Definisi 3.1 Statistik
Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak bergantung
pada parameter yang tidak diketahui.
[Hogg dan Craig, 1995]
Definisi 3.2
Pendugaestimator dan
Dugaanestimate Misalkan
1 2
, ,...,
n
X X X
adalah peubah acak. Suatu
statistik
1 2
, ,...,
n
U U X X
X U X
yang digunakan untuk menduga fungsi parameter
g
, dikatakan
sebagai penduga
estimator bagi
g
. Nilai amatan
1 2
, ,...,
n
U X X X
dari
U
dengan nilai amatan
1 1
,...,
n n
X x
X x
disebut sebagai dugaan estimate bagi
g
. [Hogg dan Craig, 1995]
Definisi 3.3 Konvergen Hampir Pasti Misalkan
1 2
, ,...
X X
adalah peubah acak dalam ruang peluang
, , P
. Suatu barisan peubah acak
1 2
, ,...
X X
dikatakan konvergen hampir pasti ke peubah acak
X
, ditulis
. a s
n
X X
untuk n , jika
berlaku :
lim 1.
n n
P X
X
Dengan kata lain, konvergen hampir pasti adalah konvergen dengan peluang 1.
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
2.4 Proses Stokastik Definisi 4.1 Ruang State
Misalkan
S
merupakan nilai dari barisan peubah acak, maka
S
disebut ruang state
. [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 4.2 Proses Stokastik Proses
Stokastik
:
t
X t
T
yang terdefinisi pada ruang peluang
, , P
adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh
ke ruang state
. S
[Ross, 1996]
Definisi 4.3 Proses Stokastik dengan Waktu Diskret dan Kontinu
Suatu proses stokastik
:
t
X t
T
disebut proses stokastik dengan waktu diskret jika
gugus indeks
T
adalah gugus tercacah countable set, sedangkan
:
t
X t
T
disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika
T
adalah suatu interval. [Ross, 1996]
Catatan : Contoh gugus indeks
T
pada proses stokastik dengan waktu diskret adalah
0,1, 2,... T
, sedangkan contoh gugus indeks
T
pada proses stokastik dengan waktu kontinu adalah
[0, T
, atau gugus bilangan nyata.
Definisi 4.4 Filtrasi
Misalkan
1
, ,...
adalah barisan submedan-
dari ,
disebut filtrasi jika
1 k
k
untuk semua
[0, k
. [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 4.5 Measurable Terukur
Misalkan
, , P
adalah ruang peluang. Jika fungsi
: X
memiliki sifat
: X
x
untuk setiap maka
X
dikatakan terukur-
.
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 4.6 Adapted
Misalkan
, , P
adalah ruang peluang. Barisan peubah acak
{ :
0}
t
X X
t
dikatakan adapted ke filtrasi jika
t
X
merupakan terukur- untuk semua
t
. [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 4.7 Martingale
Proses Stokastik
:
t
X t
disebut proses Martingale jika
| |
t
E X
untuk semua
t
dan
1 1
[ |
, ,...,
]
t t
t
E X X
X X
X
.
[Ross, 1996] Teorema 4.8 Representasi Martingale
Misalkan :
t
X t
adalah proses
martingale. :
t
X t
dapat direpresentasikan dalam bentuk :
14
1 1
1 ,
t t
j j
j
X X
m y
dengan
j
m adalah adapted-
dan
1 j
y adalah proses stokastik yang mengambil
nilai pada { , }
d u dengan
1 d
u
,
1
k
P y d
1 k
.
[Bukti lihat Williams, 1991] Definisi 4.9 Waktu Acak
Misalkan , , P adalah ruang peluang.
: { }
T . T disebut waktu acak
dari proses {
: 0}
t
X t
jika kejadian {
} T
t ditentukan oleh peubah acak
1
,...,
t
X X
. Artinya, dengan mengetahui
1
,...,
t
X X
apakah T t
atau tidak. Jika {
} 1
P T , maka waktu acak T
disebut sebagai stopping time.
[Ross, 1996]
Definisi 4.10 Rantai Markov dengan Waktu Diskret
Misalkan , , P adalah ruang peluang
dan S adalah ruang state. Proses stokastik :
t
X t
dengan ruang state S disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika
t berlaku :
1 1
1 1
, ,...,
t t
t t
t t
t
P X j X
i X i
X i
P X j X
i untuk semua kemungkinan nilai dari
1 1
, ,..., , ;
t t
i i i
i j S
. [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 4.11 Matriks Transisi
Misalkan :
t
X t
adalah rantai Markov dan S adalah ruang state yang berukuran
. N
Matriks transisi
i
X X
j berukuran
N N
adalah matriks dari peluang transisi
1 i
t t
X j
P X j X
i untuk ,
1, 2,..., .
i j N
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 4.12 Rantai Markov yang Homogen
Rantai Markov
:
t
X t
disebut homogen jika
1 1
t t
i
P X j X
i P X
j X i
X j
untuk semua t
dan , .
i j S
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 4.13 Gerak Brown
Suatu proses stokastik :
t
X t
T disebut
proses gerak Brown dimensi 1 jika untuk t
berlaku : i
X ,
ii untuk
1 2
...
n
t t
t
,
peubah acak
1 i
i
t t
X X
, 1, 2,...
i n
adalah saling bebas
,
iii untuk s
t , berlaku :
~ 0,
t s
X X
N t
s .
[Karatzas dan Shreve, 1987]
Definisi 4.14 Kontinu Absolut Jika v dan
adalah ukuran peluang pada ,
. Ukuran peluang v dikatakan kontinu absolut ke ukuran peluang
jika A
maka vA
, untuk
setiap A
. Dinotasikan v
.
[Royden, 1963]
Teorema 4.15 Radon-Nikodym Jika P dan P merupakan dua ukuran
peluang pada ,
sehingga untuk setiap B
, P B
menyebabkan P B
, akibatnya ada peubah acak tak-negatif
, sehingga
C
P C dP
untuk semua C
. Notasikan :
. dP
dP
[Bukti lihat Wong dan Hajek, 1985]
Catatan :
• Untuk
dP dP
, disebut Kerapatan
Radon-Nikodym dari dP terhadap
dP
. •
Untuk
1
dP dP
,
1
disebut Kerapatan Radon-Nikodym dari dP
terhadap dP .
Definisi 4.16 Nilai Harapan Bersyarat Misalkan
, ,
P adalah ruang peluang
dan
adalah submedan-
dari . Jika X
adalah peubah acak tak negatif dan
15
terintegralkan, maka E X didefinisikan
sebagai peubah acak yang terukur- dan
bersifat tunggal kecuali pada kejadian berpeluang nol, serta memenuhi :
, .
A A
XdP E X
dP A
[Elliott dkk, 1995]
Teorema 4.17 Teorema Bersyarat Bayes Misalkan
, ,
P adalah ruang peluang
dan adalah
submedan
dari .
Misalkan P adalah ukuran peluang lain yang kontinu absolut terhadap P serta
berlaku aturan turunan Radon-Nikodym : dP
dP .
Jika adalah sebarang peubah acak yang
bisa diintegralkan dari terukur- , maka
.
E E
E [Bukti lihat Elliott dkk, 1995]
2.5 Barisan Bilangan Real, Kekontinuan, Konveks dan Concave
