17
v
dP L v
E dP
dan penduga maksimum likelihood MLE didefinisikan sebagai :
arg max .
v V
v L v
Secara umum, penghitungan secara langsung dengan menggunakan MLE cukup sulit.
Untuk mengatasinya,
digunakan EM-
Algorithm. EM-Algorithm adalah metode
aproksimasi iteratif yang digunakan untuk menghitung secara langsung pendugaan dari
parameter v . Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
1 Menetapkan k
dan memilih v
. 2 Langkah E Menetapkan
ˆ
k
v v
dan menghitung
, Q v v
, dimana ,
log .
v v
v
dP Q v v
E dP
3 Langkah M
Mencari
1
arg max ,
.
k
v V
v Q v v
4 Mengganti k
dengan k+1
dan mengulangi proses tersebut dari langkah
2 sampai kriteria penghentian dipenuhi. EM-Algorithm
menghasilkan barisan
:
j
v j
dari parameter yang membuat nilai dari fungsi likelihood adalah tak turun.
[Elliott dkk, 1995]
III. KONSTRUKSI DIAGRAM PF
Dalam konteks Black-Scholes, terdapat 2 jenis aset dalam pasar modal yaitu aset
bebas resiko :
S t t
dan aset beresiko
1
: S t
t .
Masalah dari optimisasi portofolio tanpa konsumsi ialah untuk mencari
strategi perdagangan yang memaksimumkan return
. Secara nyata dalam pasar dunia, saham aset beresiko diperdagangkan dalam
waktu acak diskret. Dalam hal ini, diperlukan
metode sampling
waktu. Diskretisasi yang tepat hanya meliputi waktu
penting, yaitu
waktu yang
dapat menghasilkan portofolio tidak setimbang
akibat perubahan harga saham. Dalam kenyataannya, sampling dari
harga saham digunakan oleh analis teknikal dalam Point and Figure Chart diagram PF.
Diagram PF hanya menampilkan perubahan harga yang signifikan. Diagram tersebut
menampilkan penawaran dan permintaan yang mendasari suatu harga. Adapun aspek
terpenting dari diagram tersebut adalah pola- pola yang ditampilkan oleh kolom x dan o.
Kolom
x menggambarkan
permintaan melebihi panawaran sehingga harga menjadi
naik, sedangkan kolom o menggambarkan penawaran melebihi permintaan sehingga
harga menjadi turun.
Setiap kolom dapat berisi x atau o,
tetapi tidak
pernah berisi
keduanya. Perubahan kolom menandakan perubahan
arah pergerakan harga. Ketika kolom x
tampil, ini menunjukkan bahwa harga sedang bergerak naik dan ketika kolom o
tampil, ini menunjukkan bahwa harga sedang bergerak turun.
Secara umum, diagram PF dari harga saham dapat dikonstruksi sebagai berikut.
1. Menentukan 0.
2 2. Memulai pengamatan pada waktu
.
3. Menuliskan salah satu simbol x atau o
pada waktu
1
ketika harga saham melewati
interval
1 1
, S
S 2
2
.
Jika harga saham berada pada
1
S 2 , maka
pada diagram
tersebut dituliskan
simbol x dan jika harga saham berada
pada
1
S 2 , maka pada diagram
tersebut dituliskan simbol o.
4. Mengulangi dengan prosedur yang sama terhadap interval berikutnya
1 1
1 1
, S
S 2
2 .
Cara kerjanya
berlangsung secara
rekursif sehingga
diperoleh waktu
{ :
}
k
k . Setiap waktu
{ :
}
k
k
memiliki salah satu simbol x atau o. Simbol tersebut diatur dalam kolom suatu diagram
PF. Sebagai ilustrasi, diberikan data historis
dari harga saham UNVR Unilever Indonesia Tbk sebagai berikut.
18
Data Harga Saham UNVR k
t
k
S
k
2972005 4300
1 182005
4500 2
282005 4600
3 382005
4675 4
482005 4550
5 582005
4400 6
882005 4300
7 982005
4325 8
1082005 4375
9 1182005
4400 10
1282005 4500
11 1582005
4325 12
1682005 4250
13 1782005
4250 14
1882005 4250
15 1982005
4450 16
2282005 4425
17 2382005
4500 18
2482005 4450
19 2582005
4525 20
2682005 4400
Sumber data : Kompas 29 Juli – 26 Agustus 2005
Adapun diagram
PF-nya dapat
dikonstruksi sebagai berikut. 1. Misalkan
100. 2
2. Pengamatan awal diambil dari
t dari data harga saham UNVR dengan
1
4300. S
S 3. Untuk interval :
1 1
, 4200, 4400 .
S S
2 2
Berdasarkan diagram a pada gambar 1, harga saham bergerak naik dari
pengamatan awal dan melewati interval 4200, 4400 . Harga saham tersebut
berada pada waktu
1
ketika harganya berada pada level 4400 dan pada kolom
pertama diagram PF dituliskan simbol
x.
4. Untuk interval berikutnya :
1 1
1 1
, 4300, 4500 .
S S
2 2
Berdasarkan diagram a pada gambar 1, harga saham masih bergerak naik dari
waktu
1
dan melewati interval 4300, 4500 . Harga saham tersebut
berada pada waktu
2
ketika harganya berada pada level 4500
dan masih pada kolom pertama diagram PF dituliskan
simbol x. Hal ini dikarenakan oleh kenaikan harga saham ekivalen dengan
tingginya simbol x pada kolom diagram PF dan penurunan harga saham ekivalen
dengan tingginya simbol o pada kolom diagram PF.
5. Mengulangi proses tersebut untuk interval berikutnya :
1 1
,
k k
S S
2 2
dengan 2,...,12.
k Akhirnya,
diperoleh waktu
{ :
1, 2,...,13}
k
k yang
merupakan stopping time
dari harga saham dengan
1 1
1 2
1 3
1 4
4400 4500
4600 4500
S S
S S
1 5
1 6
4400 4300
S S
1 7
1 8
4400 4500
S S
1 9
1 10
1 11
1 12
1 13
4400 4300
4400 4500
4400. S
S S
S S
Diagram harga saham UNVR dalam waktu t
k
dan
k
dan diagram PF-nya diberikan pada Gambar 1.
19
Diagram Harga Saham UNVR
4000 4100
4200 4300
4400 4500
4600 4700
4800
2 4
6 8
1 1
2 1
4 1
6 1
8 2
k S
k
saham
a c
b Gambar 1.
Perbandingan Diagram Harga Saham UNVR dalam waktu t
k
a dan
k
b dengan Diagram PF-nya c
Diagram Harga Saham UNVR
4000 4100
4200 4300
4400 4500
4600 4700
4800
Sk
saham
1
2 3
4 5
6 7
8 9
10 11
1 2
13
Diagram PF Harga Saham UNVR
4700 4600
4500 4400
4300 4200
4100 4000
X X
X X
X X
X O
O O
O O
O
20
Pergerakan harga saham yang kecil dan tidak signifikan yaitu harga saham yang
berada dalam
interval
1 1
,
k k
S S
2 2
dengan 0,1,...
k dapat dihilangkan dalam
diagram PF,
dan hanya
ciri-ciri terpentinglah yaitu harga saham yang
melewati interval
1 1
,
k k
S S
2 2
dengan 0,1,...
k yang berada dalam
diagram tersebut. Beberapa analis teknikal berpendapat bahwa metode tersebut seperti
sebuah filter yang hanya menampilkan informasi terpenting dari harga saham.
Portofolio
yang hanya
berdasarkan informasi yang termuat dalam diagram PF
disebut portofolio PF. Seorang investor yang
mengikuti portofolio
PF akan
memperjual-belikan sahamnya hanya pada waktu
{ :
}
k
k . Setiap waktu
k
hanya berdasarkan
pengamatan
1 1
,...,
k
S S
. Optimisasi portofolio PF merupakan
masalah pemilihan
portofolio diskret.
Catatan bahwa diskretisasi dari perubahan harga saham diberikan oleh dua nilai, yaitu x
atau o. Hal ini mempunyai beberapa keuntungan dari sudut pandang matematika
ketika harga sample digambarkan dalam Model
Cox-Ross-Rubinstein sehingga
diperlukan metode
martingale dari
optimisasi portofolio. Definisi 1 : Model Cox-Ross-Rubinstein
CRR adalah bentuk khusus dari model biner multiperiodik untuk setiap interval
waktu dari harga saham yang bergerak dari nilai sekarang S ke salah satu Su atau Sd
dengan u dan d adalah konstanta tetap dengan
r T
d e
u
2
. Catatan :
Bentuk seperti ini berupa model binomial. Peluang dari harga saham pada waktu k :
1
k j
j k
j j
k
k P S
S u d p
p j
dengan 0,1,...,
j k
1 .
r T
e d
p u
d u
d
2
Untuk menentukan portofolio PF yang optimal, diperlukan pendugaan sebaran
peluang terhadap proses harga sample. Gagasan
utamanya ialah
untuk menjelaskan harga sample dengan Model
Hidden Markov HMM. Model tersebut
menyediakan dua alat yang sangat penting, yaitu algoritma yang memaksimumkan nilai
harapan EM-Algorithm
dan metode
peluang acuan
Reference Probability
Method . EM-Algorithm sesuai dengan
Model Hidden Markov yang berdasarkan data historis, sedangkan metode peluang
acuan yang
dikombinasikan dengan
pendekatan martingale terhadap pemilihan portofolio untuk mendapatkan portofolio PF
yang optimal.
IV. PORTOFOLIO PF
