# Point and Figure Portfolio Optimization Using Hidden Markov Models and its Application on the Stock of Bumi Resources Tbk

(1)

(2)

### SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Optimasi Portofolio Point and Figure Menggunakan Model Hidden Markov dan Aplikasinya pada Saham Bumi Resources Tbk adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Agustus 2011

Kastolan NRP G551090021

(3)

KASTOLAN. Point and Figure Portfolio Optimization Using Hidden Markov Models and its Application on the Stock of Bumi Resources Tbk. Under supervision of BERLIAN SETIAWATY and N.K. KUTHA ARDANA.

The problem of portfolio optimization is to select a trading strategy which maximizes the expected terminal wealth. Since in a real-world market the stocks are traded at discrete random times, we are interested in a time sampling method. The time sampling process obtains sampling of stock price used in point and figure chart. Point and figure chart only displays up or down movements of unbalanced stock price. The basic idea is to describe essential movements of the unbalance stock price using a hidden Markov model. Parameters of this model are transition probability matrices. They are estimated using maximum likelihood method and expectation maximization algorithm. The estimation procedure involves change of measure. The estimation of parameters uses computer algebraic systems on the Mathematica 8.0. The model is then applied to the stock price of Bumi Resources Tbk from January 2nd 2007 until January 31st 2011. The estimated parameters are used to calculate the optimal portfolio using a recursive algorithm. The results of this study show that the discrete hidden Markov model can be applied to describe essential movements of the stock price. The best result gives 93.63% accuracy of the estimate of observation sequence with mean absolute percentage error (MAPE) 3.63% and 5 factors causing the event. The numerical calculation shows that the optimal logarithmic PF-portfolio increases the wealth.

Keywords: point and figure portfolio, optimization portfolio, discrete hidden Markov model, expectation maximization algorithm.

(4)

KASTOLAN. Optimasi Portofolio Point and Figure Menggunakan Model

Hidden Markov dan Aplikasinya pada Saham Bumi Resources Tbk. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan N.K. KUTHA ARDANA.

Keputusan investasi pada dasarnya menyangkut masalah pengalokasian aset pada periode tertentu, di mana investor berusaha memaksimumkan return

(imbal hasil) dengan tingkat risiko tertentu yang dapat diterima. Kumpulan investasi yang dimiliki oleh perorangan atau institusi disebut portofolio. Portofolio tersebut terdiri dari aset bebas risiko dan aset berisiko (saham). Saham adalah surat berharga sebagai bukti kepemilikan individu atau institusi atas suatu perusahaan.

Dalam pasar dunia, saham diperdagangkan dalam waktu kontinu tetapi dalam kenyataannya investor mengambil keputusan untuk menjual atau membeli saham berada dalam waktu diskret. Oleh karena itu perlu proses diskretisasi waktu, yaitu sampling waktu yang menghasilkan harga saham tidak seimbang (naik atau turun). Pada setiap sampel waktu berkorespondensi dengan sampel harga saham saat itu. Sampel harga saham tersebut dapat digambarkan dalam bentuk diagram, yaitu point and figure chart (diagram PF). Portofolio yang hanya mendasarkan informasi yang termuat dalam diagram PF disebut portofolio PF.

Pergerakan naik-turunnya harga saham merupakan masalah stokastik, yaitu masalah yang terkait dengan peluang suatu kejadian. Pergerakan harga saham diakibatkan oleh suatu penyebab yang dapat berupa faktor ekonomi, politik, keamanan, dan sebagainya. Jika penyebab kejadian tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai Markov, maka pasangan kejadian dan penyebabnya dapat dimodelkan dengan model hidden Markov(HMM).

Misalnya = { : ℕ} adalah rantai Markov yang didefinisikan pada ruang peluang (Ω,ℱ, ) dengan state berhingga yang bersifat homogen dan diasumsikan tidak diamati secara langsung. Proses = { : ℕ} adalah proses observasi dan berada pada range data yang diskret. Pasangan proses stokastik {( , ) } disebut model hidden Markov diskret.

Model hidden Markov diskret (Elliott et al. 1995) yang dibahas berbentuk:

= +

= + , ℕ

di mana:

1. { : ℕ} merupakan rantai Markov homogen yang tidak diamati dengan ruang state = { , , …, } di mana merupakan vektor satuan di ℝ ; 2. { : ℕ} adalah proses observasi pada range data yang diskret dengan

(5)

4. =

× adalah matriks peluang transisi dengan = ( =

| = ) yang memenuhi ∑ = 1 dan 0.

Parameter model hidden Markov diskret di atas adalah matriks peluang transisi A dan C serta nilai harapan dari proses pengamatan. Parameter tersebut diduga dengan menggunakan metode Maximum Likelihood dan algoritme

Expectation Maximization (EM). Pendugaan parameter yang dilakukan adalah sebagai berikut.

1. Pendugaan state, yaitu

( ) = = ∑ ( ) , ,

2. Pendugaan banyaknya lompatan, yaitu

, ( ) = ∑ ( ) , ( ) , + ( ) , ,

3. Pendugaan lamanya waktu kejadian, yaitu

, ( ) = ∑ ( ) , ( ) , + ( ) , ,

4. Pendugaan proses observasi, yaitu

, ( ) = ∑ ( ) , ( ) , + , , ,

di mana = = , , …, adalah kolom ke-j dari matriks = dan = = , , …, adalah kolom ke-j dari matriks = . Hasil pendugaan parameter model adalah

( + 1) = ( )

( ) dan ̂ ( + 1) =

( )

( ).

Selanjutnya nilai harapan bersyarat jika diketahui adalah

= [ | ] = ∑ ∑ ( ) .

Pendugaan parameter model tersebut berupa pendugaan rekursif. Sebelum melakukan pendugaan parameter model terlebih dahulu dilakukan perubahan ukuran peluang. Perubahan ukuran peluang dilakukan untuk memperkaya struktur matematik dan mempermudah perhitungan matematik. Perubahan ukuran peluang diperoleh dengan mengubah ukuran peluang menjadi peluang baru. Berdasarkan ukuran peluang baru akan diinterpretasikan kembali ke dalam peluang asal. Perubahan ukuran peluang ini dibatasi oleh turunan Radon-Nikodym.

Selanjutnya dirancang suatu program komputasi untuk pendugaan parameter menggunakan software Mathematica 8.0, yaitu suatu program Komputasi Aljabar Matematika. Pada proses pendugaan parameter model ini, diambil banyaknya penyebab kejadian N = 2, 3, 4, … , 10 dengan kriteria ketepatan dugaan barisan observasi yang maksimum.

Model tersebut diaplikasikan pada harga saham Bumi Resources Tbk. Data input penelitian berupa harga saham harian (close-to-close) Bumi Resources Tbk periode 2 Januari 2007 s.d. 31 Januari 2011. Berdasarkan ide pokok diagram point and figure dilakukan diskretisasi (sampling) waktu perdagangan saham, yaitu

(6)

yang mengambil nilai {d, u} di mana d untuk harga saham turun dan u untuk harga saham naik.

Hasil komputasi menunjukkan bahwa model hidden Markov yang paling baik menjelaskan perilaku urutan proses observasi terjadi pada banyaknya penyebab kejadian N = 5. Dari hasil komputasi untuk N = 5 diperoleh ketepatan dugaan barisan observasi sebesar 93.63% dan Mean Absolute Percentage Error

(MAPE) sebesar 3.63%.

Selanjutnya dilakukan proses optimasi portofolio point and figure. Dengan menggunakan fungsi utilitas logaritmik, diperoleh relasi rekursif untuk proses kekayaan , ∗ , yaitu

, ∗

= , ∗+ ( 1)

, , ∗ =

di mana ∗ = ∑ , − , adalah endowment awal, dan adalah harga saham didiskon pada waktu acak . Hasil komputasi menunjukkan bahwa pendugaan parameter model hidden Markov yang dikombinasikan dengan metode martingale untuk portofolio point and figure logaritmik dapat mengoptimalkan kekayaan pada waktu acak ( ) perdagangan saham.

Kata kunci: portofolio point and figure, optimasi portofolio, model hidden

(7)

### Hak Cipta dilindungi Undang-Undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebut sumbernya

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah

b. Pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya

(8)

### KASTOLAN

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Program Studi Matematika Terapan

### 2011

(9)

(10)

Nama : Kastolan NRP : G551090021

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Berlian Setiawaty, M.S. Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc.

Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr.

(11)

Puji dan Syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2010 terkait penerapan matematika pada masalah ekonomi dengan judul Optimasi Portofolio

Point and Figure Menggunakan Model Hidden Markov dan Aplikasinya pada Saham Bumi Resources Tbk.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dr. Berlian Setiawaty, M.S. dan Bapak Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc. selaku pembimbing, serta Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. selaku penguji yang telah memberikan saran dan kritiknya. Ucapan terima kasih disampaikan kepada Direktorat Jenderal Pendidikan Islam Kementerian Agama, atas beasiswa kepada penulis selama menempuh pendidikan program Magister Sains di Institut Pertanian Bogor. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada orang tua serta seluruh keluarga, atas segala dukungan dan doanya.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Agustus 2011

(12)

Penulis dilahirkan di Lamongan pada tanggal 20 April 1970 dari pasangan Bapak Triman (alm.) dan Ibu Kastik. Penulis merupakan putra pertama dari tiga bersaudara.

Selepas lulus SMA Negeri 2 Lamongan Jawa Timur pada tahun 1989, penulis melanjutkan pendidikan sarjana pada Program Studi Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP Malang. Tahun 1990 dan 1991 penulis menjadi juara 1 Kontes Matematika antar Mahasiswa Pendidikan Matematika Nasional di IKIP Bandung. Tahun 1991 penulis menjadi juara 1 Lomba Karya Tulis Ilmiah (LKTI) Bidang Pendidikan dalam kegiatan Pekan Ilmiah Mahasiswa Nasional (PIMNAS) di IKIP Semarang. Tahun 1992 penulis menjadi Mahasiswa Berprestasi Utama 1 IKIP Malang. Tahun 1993 penulis menjadi juara harapan 1 Lomba Karya Inovatif Produktif Bidang Pendidikan pada PIMNAS di ITB Bandung. Penulis juga menjabat ketua Senat Mahasiswa FPMIPA IKIP Malang periode 1992-1993. Penulis menamatkan pendidikan sarjana tahun 1994 dan memperoleh penghargaan sebagai lulusan dengan Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) tertinggi.

Tahun 1996 penulis menjadi guru di SMA/MA Insan Cendekia Serpong melalui program STEP (Science and Technology Equity Program) yang diselenggarakan oleh BPPT. Sejak tahun 2005 sampai sekarang penulis aktif menulis buku matematika untuk SMA/MA yang diterbitkan oleh Yudhistira. Selama menjadi guru, penulis mendapatkan juara 1 Lomba Pembuatan Media Pembelajaran yang diselenggarakan Microsoft Indonesia tahun 2005 dan berhak mewakili Indoneisa dalam kegiatan Innovative Teachers Conference di Seoul. Penulis juga mendapat medali perak dalam lomba sejenis yang diselenggarakan Kementerian Pendidikan Nasional tahun 2006. Tahun 2005 Penulis menjadi juara 1 Lomba Inovasi Pembelajaran Matematika yang diselenggarakan Kementerian Pendidikan Nasional. Tahun 2006 penulis menjadi Kepala MAN Insan Cendekia Serpong dan tahun 2008 penulis menjabat Kepala Seksi Kurikulum dan Evaluasi Madrasah Aliyah pada Direktorat Pendidikan Madrasah, Direktorat Jenderal Pendidikan Islam, Kementerian Agama.

Kesempatan untuk melanjutkan ke Program Magister pada Program Studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor diperoleh pada tahun 2009. Beasiswa pendidikan Pascasarjana diperoleh dari Direktorat Jenderal Pendidikan Islam Kementerian Agama Republik Indonesia.

(13)

Halaman

DAFTAR TABEL ……….. xiii

DAFTAR GAMBAR ………. xiv

DAFTAR LAMPIRAN ……….. xv

I PENDAHULUAN ………. 1

1.1 Latar Belakang ……….……….. 1

1.2 Tujuan Penelitian ………….……….. 4

II TINJAUAN PUSTAKA ………. 5

2.1 Teori Peluang ………. 5

2.2 Rantai Markov ………... 8

2.3 Barisan Bilangan Real dan Kekontinuan ……….... 15

2.4 Ruang Vektor dan Hasil Kali Dalam ……….. 17

2.5 Perhitungan Galat ……….. 18

III PORTOFOLIO POINT AND FIGURE ……….. 19

3.1 Diagram Point and Figure ……….. 19

3.2 Portofolio Point and Figure ……….. 22

IV MODEL HIDDEN MARKOV ……….. 27

4.1 State dan Proses Observasi ……….... 27

4.2 Perubahan Ukuran ……….. 31

4.3 Pendugaan Rekursif ………... 38

4.4 Pendugaan Parameter ………. 43

4.5 Algoritme Pendugaan Parameter ………... 45

V APLIKASI OPTIMASI PORTOFOLIO POINT AND FIGURE MENGGUNAKAN MODEL HIDDEN MARKOV PADA SAHAM BUMI RESOURCES Tbk ………... 49

5.1 Masalah Optimasi Portofolio Point and Figure ………... 49

5.2 Optimasi Portofolio Point and Figure ……….. 51

5.3 Data Input Harga Saham Bumi Resources Tbk ……… 53

5.4 Aplikasi Optimasi Portofolio Point and Figure Menggunakan Model Hidden Markov pada Saham Bumi Resources Tbk …... 54

VI SIMPULAN DAN SARAN ………... 61

6.1 Simpulan ……… 61

6.2 Saran ……….. 61

DAFTAR PUSTAKA ……… 63

(14)

Halaman 1 Sampel harga saham Bumi Resources Tbk periode 4 Januari 2010

s.d. 31 Maret 2010 ……….. 21

2 Hasil komputasi pendugaan barisan observasi ……… 56 3 Jumlah ketepatan dugaan barisan observasi ... 58

4 Proses kekayaan portofolio PF logaritmik saham Bumi

(15)

Halaman 1 Grafik harga saham Bumi Resources Tbk periode 2 Januari

2007 s.d. 31 Januari 2011 ………. 3 2 Grafik harga saham Bumi Resources Tbk periode 4 Januari

2010 s.d. 31 Maret 2010 ………. 20 3 Diagram point and figure harga saham Bumi Resources Tbk

periode 4 Januari 2010 s.d. 31 Maret 2010 ………. 22 4 Grafik harga saham Bumi Resources Tbk periode 2 Januari

2007 s.d. 31 Januari 2011 ………. 53 5 Grafik sampelharga saham Bumi Resources Tbk periode

2 Januari 2007 s.d. 31 Januari 2011 ………. 54 6 Grafik ketepatan dugaan barisan observasi ……….. 56 7 Grafik Mean Absolute Percentage Error (MAPE) ………. 57 8 Grafik harga saham dan sampel harga saham Bumi Resources Tbk

periode 2 Januari 2007 s.d. 31 Januari 2011 ……… 58 9 Grafik kekayaan portofolio PF logaritmik saham Bumi Resources

(16)

Halaman 1 Perhitungan dalam Masalah 1 ………... 66 2 Pembuktian Proposisi 2 ……… 68 3 Komputasi Optimasi Portofolio Point and Figure

(17)

### PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Keputusan investasi pada dasarnya menyangkut masalah pengalokasian aset pada periode tertentu dengan tujuan memaksimumkan return (imbal hasil) dengan tingkat risiko yang dapat diterima. Kumpulan investasi yang dimiliki oleh perorangan atau institusi disebut portofolio (Bodie et al. 2005). Dalam melakukan investasi, kekayaan dialokasikan dengan membentuk portofolio. Portofolio terdiri atas aset bebas risiko dan aset berisiko (saham). Masalah optimasi portofolio (tanpa konsumsi) adalah menentukan strategi perdagangan yang memaksimumkan

return pada tingkat risiko yang dapat diterima.

Saham adalah surat berharga sebagai bukti kepemilikan individu atau institusi atas suatu perusahaan (Salim 2003). Investor yang mengalokasikan asetnya dalam perdagangan saham harus mempertimbangkan tingkat return dan risiko ketika memilih saham. Tingkat return tersebut berupa dividen dan keuntungan jika harga jual sahamnya melebihi harga belinya. Sedangkan risiko investasi saham diakibatkan oleh fluktuasi naik-turunnya harga saham yang berakibat pada ketidakpastian tingkat return.

Dalam pasar dunia, saham diperdagangkan dalam waktu kontinu tetapi dalam kenyataannya investor mengambil keputusan untuk menjual atau membeli suatu saham berada dalam waktu diskret. Oleh karena itu, perlu proses diskretisasi waktu, yaitu sampling waktu yang menghasilkan harga saham tidak seimbang (naik atau turun). Pada setiap sampel waktu berkorespondensi dengan sampel harga saham saat itu. Sampel harga saham tersebut dapat digambarkan dalam diagram yang disebut point and figure chart (diagram PF).

Diagram PF hanya menampilkan simbol x untuk harga saham naik (up) dan simbol o untuk harga saham turun (down). Kriteria naik-turunnya harga saham bergantung pada suatu interval harga saham yang ditetapkan. Portofolio yang hanya mendasarkan informasi yang termuat dalam diagram PF disebut portofolio PF. Investor yang mengikuti portofolio PF akan memperjualbelikan

(18)

sahamnya pada sampel waktu dan keputusan investor hanya didasarkan pada sampel harga yang bersesuaian dengan sampel waktu tersebut.

Pergerakan harga saham juga diakibatkan oleh suatu penyebab yang dapat berupa faktor ekonomi, politik, keamanan dan sebagainya. Misalnya, ketika pemerintah melakukan perubahan kebijakan ekonomi, maka pelaku pasar akan meninjau kembali strategi perdagangannya untuk mengambil keputusan menjual, membeli, atau mempertahankan saham yang dimilikinya. Kejadian tersebut dapat terjadi secara berulang tetapi tidak dapat dipastikan waktunya. Akibatnya, besar kemungkinan di waktu mendatang akan terjadi kejadian yang sama. Jadi, karena penyebab kejadian pergerakan harga saham tersebut membentuk rantai Markov yang homogen dan diasumsikan tidak diamati, maka masalah pergerakan harga saham dapat dimodelkan dengan model hidden Markov.

Karakteristik model hidden Markov dicirikan oleh beberapa parameter, yaitu matriks peluang transisi dari penyebab kejadian serta beberapa parameter dari proses observasi. Parameter tersebut diduga dengan metode Maximum Likelihood dan algoritme Expectation Maximization (EM). Hasil pendugaan parameter berbentuk pendugaan rekursif. Parameter yang diperoleh kemudian dievaluasi kembali dengan menggunakan parameter atau dengan data baru.

Model hidden Markov memiliki banyak struktur matematis dan dapat memodelkan dengan baik beberapa aplikasi penting. Aplikasi yang sudah dikaji antara lain masalah alokasi asset (Elliott &Vander Hoek 1997), penetapan harga

bond (Landen 2000), penetapan harga opsi (Campbell 2002), portfolio optimization (Elliott & Hinz 2002), dan spech recognition (Rabiner 1989).

(19)

200 400 600 800 1000 2000

4000 6000 8000

Pada penelitian ini, optimasi portofolio PF dengan menggunakan model

hidden Markov diaplikasikan pada saham Bumi Resources Tbk. Data input penelitian berupa harga saham harian (close-to-close) Bumi Resources Tbk periode 2 Januari 2007 s.d. 31 Januari 2011. Sumber data dari http://www.duniainvestasi.com/bei/prices/stock dengan sebaran sebagai berikut.

Gambar 1 Grafik harga saham Bumi Resources Tbk periode 2 Januari 2007 s.d. 31 Januari 2011.

Dengan menggunakan data tersebut dapat diduga parameter modelnya. Sebelum melakukan pendugaan parameter, terlebih dahulu dilakukan perubahan ukuran peluang yang kemudian diinterpretasikan kembali dengan menggunakan peluang asal. Perubahan ukuran peluang ini dibatasi oleh turunan Radon-Nikodym. Pendugaan parameter tersebut berupa pendugaan rekursif di antaranya penduga untuk state, penduga untuk banyak loncatan, penduga lamanya rantai Markov berada pada suatu state tertentu, dan penduga untuk proses observasi.

Selanjutnya dibuat suatu program Komputasi Aljabar Matematika untuk melakukan pendugaan parameter model hidden Markov tersebut. Software yang digunakan adalah Mathematica 8.0. Penyusunan program komputasi menggunakan buku panduan penggunaan Mathematica (Ardana 2004).

Keuntungan menggunakan program tersebut adalah waktu kerja yang lebih efisien serta memudahkan analisis data yang cukup banyak.

Waktu Pengamatan per Hari (2 Januari 2007 s.d. 31 Januari 2011)

H

ar

ga

S

aha

m

(

R

upi

(20)

1.2 Tujuan Penelitian

Dalam penelitian ini ada tiga tujuan yang akan dicapai, ketiganya adalah sebagai berikut.

1. Mengkaji optimasi portofolio point and figure menggunakan model hidden

Markov.

2. Melakukan pendugaan parameter model hidden Markov.

3. Mengaplikasikan model hidden Markov untuk optimasi portofolio point and figure pada saham Bumi Resources Tbk.

(21)

### TINJAUAN PUSTAKA

Dalam bab ini dijelaskan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam pembahasan selanjutnya.

2.1 Teori Peluang

Definisi 2.1.1 (Percobaan Acak) (Ross 2000)

Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui, tetapi hasilnya tidak dapat ditentukan dengan tepat disebut percobaan acak.

Definisi 2.1.2 (Ruang Contoh dan Kejadian) (Ghahramani 2005)

Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω.

Definisi 2.1.3 (Medan- ) (Ghahramani 2005)

Medan- ( -field) adalah suatu himpunan ℱ yang anggotanya himpunan bagian dari Ω serta memenuhi syarat-syarat berikut.

1. ∅ ℱ;

2. Jika , , … ℱ,maka ⋃ ℱ;

3. Jika ℱ maka ℱ, dengan menyatakan komplemen dari himpunan A.

Definisi 2.1.4 (Ukuran Peluang) (Ghahramani 2005)

Suatu ukuran peluang P pada (Ω,ℱ) adalah suatu fungsi ∶ ℱ →[ 0,1] yang memenuhi syarat-syarat berikut.

1. (∅) = 0 dan (Ω) = 1;

2. Jika , , … ℱ adalah himpunan-himpunan yang saling lepas, yaitu = ∅, untuk setiap , dengan ≠ , maka

 

 

 

 

1 

### 

1

i i

i i

P A P A .

(22)

Definisi 2.1.5 (Kejadian Saling Bebas) (Grimmet & Stirzaker 2001)

Misalnya (Ω,ℱ, ) adalah ruang peluang dan , ℱ. Kejadian A dan B

dikatakan saling bebas jika ( ) = ( ) ( ). Secara umum, misalnya I

adalah himpunan indeks, himpunan kejadian { : } disebut saling bebas jika

 

 

 

i

### 

( i) i J i J

P A P A untuk setiap himpunan bagian berhingga J dari I.

Definisi 2.1.6 (Peluang Bersyarat) (Grimmet & Stirzaker 2001)

Misalnya (Ω,ℱ, ) adalah ruang peluang dan , ℱ. Jika ( ) > 0 maka peluang kejadian A dengan syarat diketahui kejadian adalah

= ( )

( ) .

Teorema 2.1.7 (Teorema Bayes) (Hogg & Craig 2005)

Misalnya (Ω,ℱ, ) adalah ruang peluang dan ℱ, = 1,2, … . Misalnya kejadian C terjadi hanya dengan salah satu kejadian maka peluang bersyarat dari setelah diketahui C adalah

## 

   

### 

1 | | |

j j j

j k

i i

i

P C C P C P C C

P C C

P C

P C P C C .

Definisi 2.1.8 (Peubah Acak) (Grimmet & Stirzaker 2001)

Misalnya (Ω,ℱ, ) adalah ruang peluang. Peubah acak (random variable) X

merupakan fungsi ∶ Ω → ℝ di mana { Ω ∶ ( ) } ℱ untuk setiap

ℝ. Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari peubah acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil.

Definisi 2.1.9 (Peubah Acak Diskret) (Ghahramani 2005)

Misalnya Ω adalah ruang contoh, ℱ adalah medan- dari Ω dan S adalah himpunan berhingga. Suatu fungsi ∶ Ω → disebut peubah acak diskret jika memenuhi sifat untuk setiap ⊆ berlaku { Ω ∶X( ) } ℱ.

(23)

Definisi 2.1.10 (Fungsi Kerapatan Peluang) (Grimmet & Stirzaker 2001)

Misalnya (Ω,ℱ, ) adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang (probability mass function) dari peubah acak diskret X adalah fungsi ∶ ℝ →[ 0,1] yang didefinisikan oleh ( ) = ( = ) untuk setiap ℝ.

Definisi 2.1.11(Fungsi Kerapatan Peluang Bersama Dua Peubah Acak Diskret) (Grimmet & Stirzaker 2001)

Misalnya (Ω,ℱ, ) adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang bersama dari peubah acak diskret X dan Y adalah suatu fungsi , :ℝ →[ 0,1] yang didefiniskan oleh , ( , ) = ( = , = ) untuk setiap , ℝ.

Definisi 2.1.12 (Fungsi Kerapatan Peluang Bersyarat) (Ross 2000)

Jika X dan Y adalah peubah acak diskret, maka fungsi kerapatan peluang bersyarat dari X jika diberikan = dengan ( = ) > 0 untuk setiap y adalah

| ( | ) =

( = , = )

( = ) .

Definisi 2.1.13 (Bebas Stokastik Identik) (Hogg & Craig 2005)

Misalnya , , …, adalah barisan peubah acak yang memiliki fungsi kerapatan yang sama, yaitu ( ) sehingga

( ) = ( )

( ) = ( )

( ) = ( )

dan fungsi kerapatan bersamanya adalah ( ) ( ) … ( ) . Peubah acak , , …, disebut bebas stokastik identik.

Definisi 2.1.14 (Nilai Harapan Peubah Acak Diskret) (Ghahramani 2005)

Misalnya X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang

( ) = ( = ), maka nilai harapan dari peubah acak X adalah

(24)

Definisi 2.1.15 (Fungsi Indikator) (Cassela & Berger 1990)

Misalnya A adalah suatu kejadian pada ruang peluang (Ω,ℱ, ). Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi ∶ Ω →{0,1} yang didefinisikan oleh

1, jika ( )

0, jika A

A I

A

 

 

 .

Definisi 2.1.16 (Kontinu Absolut) (Billingsley 1995)

Jika P dan adalah dua ukuran peluang pada (Ω,ℱ). Ukuran peluang dikatakan kontinu absolut ke ukuran peluang jika untuk setiap ℱ, ( ) = 0 mengakibatkan ( ) = 0, dinotasikan ≪ . Jika ≪ dan ≪ maka kedua ukuran dikatakan ekivalen dan dinotasikan ≡ .

Jika P dan adalah dua ukuran peluang pada (Ω,ℱ) sedemikian sehingga ≪ , maka terdapat peubah acak tak negatif Λ sehingga ( ) = Λ untuk semua

ℱ, dinotasikandengan

ℱ = Λ.

2.2 Rantai Markov

Definisi 2.2.1 (Ruang State) (Grimmet & Stirzaker 2001)

Misalnya S adalah himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang

state.

Definisi 2.2.2 (Proses Stokastik) (Ross 2000)

Proses stokastik { : ℕ} yang terdefinisi pada ruang peluang (Ω,ℱ, ) adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan ruang contoh Ω ke suatu ruang

state S. Jadi, untuk setiap ℕ, adalah peubah acak. Dalam hal ini, ℕ dianggap sebagai waktu dan nilai dari peubah acak sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu k.

(25)

Definisi 2.2.3 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret) (Ross 2000)

Misalnya (Ω,ℱ, ) adalah ruang peluang dan S adalah ruang state. Proses stokastik { : ℕ} dengan ruang state S, disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap {0, 1, 2, …} berlaku

= = , = , …, = = = =

untuk semua kemungkinan nilai dari , , …, , .

Jadi pada rantai Markov, sebaran bersyarat dari sebarang state yang akan datang bebas terhadap semua state yang lalu , , …, dan hanya bergantung pada state sekarang .

Definisi 2.2.4 (Matriks Peluang Transisi) (Ross 2000)

Misalnya { : ℕ} adalah rantai Markov yang terdefinisi pada (Ω,ℱ, )

dengan ruang state S berukuran N. Matriks = =

adalah matriks peluang transisi di mana = ( = | = ) untuk semua , . Nilai menyatakan peluang bahwa jika proses tersebut berada pada

state i maka berikutnya proses akan beralih ke state j. Karena nilai peluang adalah tak negatif dan karena proses harus mengalami transisi ke suatu state, maka berlaku:

1. 0, untuk semua , ;

2. 1

1, N

ji j

a

### 

untuk semua .

Definisi 2.2.5 (Rantai Markov Homogen) (Ross 2000)

Rantai Markov { : ℕ} yang terdefinisi pada (Ω,ℱ, ) dengan ruang state

dikatakan homogen jika ( = | = ) = ( = | = ) untuk semua , . Pada rantai Markov homogen, nilai tidak bergantung pada ℕ.

(26)

Definisi 2.2.6 (Peluang Transisi n-step)(Ross 2000)

Misalnya { : ℕ} adalah rantai Markov yang terdefinisi pada (Ω,ℱ, ) dengan ruang state S. Peluang transisi n-step ( ) adalah peluang suatu proses berpindah dari state i ke state j dengan n langkah yang didefinisikan sebagai

( )

= ( = | = ) , > 0, , .

Definisi 2.2.7 (Terakses) (Ross 2000)

Misalnya { : ℕ} adalah rantai Markov yang terdefinisi pada (Ω,ℱ, ) dengan ruang state S. Suatu state j disebut terakses (accessible) dari state i, dinotasikan → , jika ada sebuah bilangan bulat 0 sehingga ( ) > 0.

Definisi 2.2.8 (Berkomunikasi) (Ross 2000)

Misalnya { : ℕ} adalah rantai Markov yang terdefinisi pada (Ω,ℱ, ) dengan ruang state S. Dua state i dan j disebut berkomunikasi (communicate), dinotasikan ↔ , jika state i dapat diakses dari state j dan state j dapat diakses dari state i.

Definisi 2.2.9 (Kelas State)(Ross 2000)

Misalnya { : ℕ} adalah rantai Markov yang terdefinisi pada (Ω,ℱ, ) dengan ruang state S. Suatu kelas state adalah suatu himpunan tak kososng ⊆ sehingga semua pasangan state anggota C berkomunikasi satu dengan yang lainnya, serta tidak ada anggota C yang berkomunikasi dengan suatu state yang bukan anggota C.

Definisi 2.2.10 (Rantai Markov Tak Tereduksi) (Ross 2000)

Suatu rantai Markov disebut tak tereduksi (irreducible) jika hanya terdapat satu kelas state, yaitu jika semua state-nyaberkomunikasi satu dengan yang lainnya.

Definisi 2.2.11 (The First-Passage Time Probability)(Ross 2000)

Misalnya { : ℕ} adalah rantai Markov yang terdefinisi pada (Ω,ℱ, ) dengan ruang state S. ( ) merupakan peluang bahwa mulai dari state i, proses

(27)

bertransisi untuk pertama kali ke state j terjadi pada waktu n. Peluang ini disebut

the first-passage time probability. Jadi, untuk setiap n = 1, 2, 3, … berlaku

( )

= ( = : ≠ untuksemua1 −1| = ) ,

, S, dan ( ) = 0 untuk semua , S. Selanjutnya, untuk setiap , S didefinisikan

= ( ).

Jadi untuk setiap , S, menyatakan peluang bahwa suatu proses yang dimulai dari state akan pernah bertransisi ke state . Khususnya, untuk setiap

state , menyatakan peluang bahwa suatu proses yang dimulai dari state akan pernah bertransisi kembali ke state .

Definisi 2.2.12 (Recurrent dan Transient)(Ross 2000)

Misalnya { : ℕ} adalah rantai Markov yang terdefinisi pada (Ω,ℱ, ) dengan ruang state S. State i disebut recurrent (berulang) jika = 1 dan

transient jika < 1.

Teorema 2.2.13(Recurrent dan Transient)(Ross 2000)

Misalnya { : ℕ} adalah rantai Markov yang terdefinisi pada (Ω,ℱ, ) dengan ruang state S. State i disebut recurrent jika ( )

0 n ii n a    

### 

dan transient jika

( ) 0 . n ii n a    

### 

Definisi 2.2.14 (Periode, Periodik, dan Aperiodik) (Grimmet & Stirzaker 2001) Misalnya { : ℕ} adalah rantai Markov yang terdefinisi pada (Ω,ℱ, ) dengan ruang state S. Suatu state i disebut memiliki periode d ditulis ( ) jika d

adalah persekutuan terbesar (the greatest common divisor) bagi n sehingga

( )

> 0, dinotasikan ( ) = gcd{ ∶ ( ) > 0}. Suatu state i disebut periodik

(28)

Definisi 2.2.15 (Positive Recurrent dan Null Recurrent)(Ross 2000)

Misalnya { : ℕ} adalah rantai Markov yang terdefinisi pada (Ω,ℱ, ) dengan ruang state S. Suatu state disebut berulang positif (positive recurrent) jika

state tersebut adalah berulang (recurrent) serta berlaku jika proses dimulai dari

state i maka nilai harapan dari waktu sampai proses tersebut kembali ke state i

adalah bilangan terhingga (finite). State recurrent yang tidak positive recurrent

disebut null recurrent.

Definisi 2.2.16 (Ergodic) (Ross 2000)

Rantai Markov yang positive recurrent dan aperiodik disebut ergodic.

Teorema 2.2.17 (Nilai Harapan Rantai Markov Homogen) (Ross 2000)

Misalnya = { : ℕ} adalah rantai Markov ergodic yang terdefinisi pada (Ω,ℱ, ) dengan ruang state S berukuran N. Misalnya = merupakan matriks peluang transisi berukuran × dengan = ( = | = ) . Nilai harapan dari X dinotasikan [ ] = yang memenuhi

= dan ∑ = 1, di mana 0, .

Definisi 2.2.18 (Himpunan P-Null)(Grimmet & Stirzaker 2001)

Misalnya (Ω,ℱ, ) adalah ruang peluang. Himpunan P-Null didefinisikan sebagai

≔{ ⊂ Ω ∶N⊂ , ℱ, ( ) = 0}.

Definisi 2.2.19 (Ruang Peluang Lengkap) (Grimmet & Stirzaker 2001)

Sebuah ruang peluang (Ω,ℱ, ) disebut lengkap, jika ⊂ , ℱ, dan

( ) = 0 maka ℱ.

Definisi 2.2.20 (Filtrasi) (Grimmet & Stirzaker 2001)

Misalnya ℱ adalah medan- dan = { ∶ ℕ} adalah barisan submedan

(29)

Definisi 2.2.21 (Filtrasi Lengkap) (Grimmet & Stirzaker 2001)

Misalnya (Ω,ℱ, ) adalah ruang peluang lengkap dan { ∶ ℕ} adalah sebuah filtrasi. Jika memuat semua himpunan P-Null di ℱ, maka disebut filtrasi lengkap.

Definisi2.2.22 (Terukur atau Measurable) (Grimmet & Stirzaker 2001)

Misalnya X adalah peubah acak diskret yang terdefinisi pada ruang peluang (Ω,ℱ, ) dan S adalah ruang state. Jika { Ω ∶X( ) } ℱ untuk setiap

⊂ , maka X dikatakan terukur-ℱ.

Definisi 2.2.23 (Adapted) (Grimmet & Stirzaker 2001)

Barisan peubah acak { ∶ ℕ} yang terdefinisi pada ruang peluang (Ω,ℱ, ) dikatakan adapted terhadapfiltrasi { }, jika terukur- untuk setiap ℕ.

Definisi 2.2.24 (Predictable)(Grimmet & Stirzaker 2001)

Barisan peubah acak { : ℕ} yang terdefinisi pada ruang peluang (Ω,ℱ, ) dikatakan predictable (terduga) terhadap filtrasi {ℱ }, jika terukur-ℱ untuk setiap ℕ.

Definisi 2.2.25 (Nilai Harapan Bersyarat)(Shreve 2004)

Misalnya (Ω,ℱ, ) adalah ruang peluang, adalah submedan- dari ℱ, dan adalah peubah acak yang terintegralan pada (Ω,ℱ, ) , maka [ | ] disebut nilai harapan bersyarat dari jika diketahui , didefinisikan sebagai sebarang peubah acak yang memenuhi:

1. terukur- ;

2. = , ∀ ;

Persamaan = dapat ditulis = [ ].

Teorema 2.2.26 (Nilai Harapan Bersyarat) (Billingsley 1995)

(30)

Teorema 2.2.27 (Sifat-Sifat Nilai Harapan Bersyarat) (Shreve 2004)

Misalnya (Ω,ℱ, ) adalah ruang peluang, adalah submedan- dari ℱ, X, Y dan

1. = [ ];

2. Jika X terukur- , maka = [ ] ;

3. + = + ;

4. Jika 0, maka 0;

5. Jika Y terukur- , maka = .

Definisi 2.2.28 (Martingale) (Williams 1991)

Misalnya = { ∶ ℕ} adalah proses stokastik yang terdefinisi pada ruang peluang (Ω,ℱ, ), dan {ℱ ∶ ℕ} adalah filtasi dari ℱ. Proses stokastik X

disebut proses martingale jika berlaku: 1. adalah adapted terhadap {ℱ ∶ ℕ}; 2. [ | |] < ∞,∀ ;

3. [ |ℱ] = , a.s ( ℕ) .

Teorema 2.2.29 (Representasi Martingale) (Williams 1991)

Jika { ∶ ℕ} adalah proses martingale yang terdefinisi pada ruang peluang (Ω,ℱ, ), dan {ℱ : ℕ} adalah filtasi dari ℱ, maka terdapat secara tunggal proses = { : ℕ} yang predictable dengan [ | |] < ∞ dan proses martingale = { : ℕ} sehingga berlaku

= + ( − ) .

Definisi 2.2.30 (Stopping Time) (Williams 1991)

Misalnya (Ω,ℱ, ) adalah ruang peluang dengan {ℱ : ℕ} adalah filtrasi dari

ℱ. Suatu fungsi ∶ Ω → ℕ {∞} disebut stopping time dari proses stokastik { ∶ ℕ}jika

(31)

Definisi 2.2.31 (Gerak Brown) (Karatzas & Shreve 1987)

Proses stokastik { ∶ ℕ} yang adapted terhadap filtrasi {ℱ ∶ ℕ} disebut gerak Brown berdimensi satu jika berlaku:

1. = 0;

2. untuk 0 < , peubah acak − adalah saling bebas; 3. untuk 0 , berlaku − ~ ( 0, − ) .

2.3 Barisan Bilangan Real, Kekontinuan, dan Fungsi Concave

Definisi 2.3.1 (Medan Borel) (Hogg & Craig 2005)

Medan Borel adalah medan- terkecil yang mengandung semua selang berbentuk (−∞, ] dengan ℝ, dinotasikan (ℝ).

Definisi 2.3.2 (Barisan) (Bartle 1976)

Suatu barisan = { } dari bilangan real adalah suatu fungsi dari ℕ (himpunan bilangan bulat positif) ke ℝ (himpunan bilangan real).

Definisi 2.3.3 (Konvergen Hampir Pasti) (Grimmet & Stirzaker 2001)

Misalnya , , … adalah peubah acak dalam ruang peluang (Ω,ℱ, ). Suatu barisan peubah acak , , … dikatakan konvergen hampir pasti ke peubah acak

X, dinotasikan . untuk → ∞, jika ∀ > 0 berlaku lim

→ | − | < = 1.

Dengan kata lain, konvergen hampir pasti adalah konvergen dengan peluang sama dengan 1.

Definisi 2.3.4 (Batas Atas dan Batas Bawah) (Bartle 1976)

Misalnya ⊂ ℝ, ℝ disebut batas atas dari S jika , ∀ , dan ℝ disebut batas bawah dari S jika , ∀ . Himpunan S terbatas di atas jika memiliki batas atas, dan terbatas di bawah jika memiliki batas bawah. Jika himpunan S memiliki batas atas dan batas bawah, maka himpunan S disebut terbatas.

(32)

Definisi 2.3.5 (Supremum dan Infimum) (Bartle 1976)

1. Suatu bilangan ℝ disebut supremum (batas atas terkecil) dari ⊂ ℝ jika berlaku:

a. , ∀ ;

b. jika , ∀ , maka .

2. Suatu bilangan ℝ disebut infimum (batas bawah terbesar) dari ⊂ ℝ jika berlaku:

a. , ∀ ;

b. jika , ∀ , maka .

Definisi 2.3.6 (Himpunan Konveks)(Royden 1988)

Misalnya ⊂ ℝ adalah himpunan vektor. K disebut himpunan konveks jika untuk semua , maka + ( 1− ) untuk 0 1. Selanjutnya,

{ ∶ = + ( 1− ) } disebut segmen garis yang menghubungkan dan . K

adalah himpunan konveks jika untuk setiap , di K, maka segmen garis yang menghubungkan dan juga terletak di K.

.

Definisi 2.3.7 (Fungsi Concave)(Royden 1988)

Misalnya f adalah fungsi yang terdefinisi pada himpunan konveks K. Fungsi f

disebut fungsi concave jika untuk semua , dan 0 < < 1berlaku

( + ( 1− ) ) ( ) + ( 1− ) ( ) .

Sedangkan jika untuk semua , dengan ≠ dan 0 < < 1berlaku

( + ( 1− ) ) > ( ) + ( 1− ) ( )

maka f disebut strictly concave.

Definisi 2.3.8 (Kekontinuan) (Purcell & Varberg 1999)

Suatu fungsi f disebut kontinu pada bilangan c jika berlaku lim ( ) ( ).

 

x c f x f c Fungsi f disebut kontinu kanan pada bilangan c jika berlaku lim ( ) ( ),

x c

f x f c

 

sedangkan fungsi f disebut kontinu kiri pada bilangan c jika berlaku lim ( ) ( ).

(33)

bilangan c untuk semua .Himpunan fungsi-fungsi yang kontinu pada interval

I dinotasikan sebagai ( ) .

Definisi 2.3.9 (Fungsi Naik dan Fungsi Turun) (Purcell & Varberg 1999) Misalnya , ℝ.

1. Fungsi f dikatakan fungsi naik, jika < maka ( ) < ( ) . 2. Fungsi f dikatakan fungsi turun, jika < maka ( ) > ( ) .

2.4 Ruang Vektor dan Hasil Kali Dalam Definisi 2.4.1 (Ruang Vektor) (Anton 1997)

V disebut ruang vektor, jika untuk setiap vektor u, v, w dan sebarang skalar k

dan l berlaku:

1. Jika u, v, , maka u + v ; 2. u + v = v + u;

3. u+ (v + w) = (u + v) + w;

4. Ada 0 sehingga 0 + u = u + 0, ∀ ;

5. ∀ , ada − sehingga u + (-u) = (-u) + u= 0; 6. Jika k adalah sebarang skalar dan , maka ; 7. k (u +v) = k u + k v;

8. (k + l) u = k u + l u; 9. k (l u) = (k l)u;

10. 1u = u.

Definisi 2.4.2 (Perkalian Dalam) (Anton 1997)

Jika = ( , , …, ) dan = ( , , …, ) adalah sebarang vektor di ℝ , maka hasil kali dalam (euclidean inner product) , didefinisikan dengan

, = + + + .

Definisi 2.4.3 (Ruang Hasil Kali Dalam) (Anton 1997)

Sebuah hasil kali dalam pada ruang vektor real V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan real , dengan masing-masing pasangan vektor u

(34)

dan v pada Vsedimikian sehingga aksioma-aksioma berikut dipenuhi untuk semua , , dan skalar k.

1. , = , ;

2. + , = , + , ;

3. , = , ;

4. , 0 dan , = 0 jika dan hanya jika v = 0.

Sebuah ruang vektor real dengan sebuah hasil kali dalam dinamakan ruang hasil kali dalam real.

2.5 Perhitungan Galat (Error)

Definisi 2.5.1(Mean Absolute Percentage Error)(Wei 1994)

Mean Absolute Percentage Error (MAPE) atau persentase rataan galat absolut didefinisikan sebagai

MAPE = 1 − × 100%.

Semakin kecil nilai MAPE mendekati 0, maka semakin kecil pula kesalahan akibat penggunaan .

(35)

### POINT AND FIGURE

3.1 Diagram Point and Figure

Dalam konteks Black-Scholes (Korn 1997), terdapat dua jenis aset dalam pasar modal, yaitu aset bebas risiko { ( ) : 0} dan aset berisiko (saham)

{ ( ) : 0}. Dalam melakukan investasi, aset dialokasikan dengan membentuk

portofolio. Investor yang mengalokasikan asetnya dalam perdagangan saham harus mempertimbangkan tingkat return dan risiko ketika memilih saham. Untuk meningkatkan tingkat return dengan risiko yang dapat diterima, investor harus melakukan analisis terhadap harga sahamnya.

Salah satu analisis terhadap harga saham adalah analisis teknikal. Analisis teknikal mendasarkan pada informasi yang termuat dalam diagram/grafik pergerakan harga saham. Metode ini dilakukan dengan cara membandingkan gerakan harga saham saat ini dengan gerakan harga saham di masa lalu untuk memprediksi harga saham di masa depan yang logis (Salim 2003).

Salah satu diagram/grafik yang digunakan dalam analisis teknikal adalah diagram point and figure (diagram PF). Diagram PF hanya menampilkan perubahan harga saham yang signifikan. Hal ini didasarkan kenyataan bahwa investor hanya memperjualbelikan sahamnya pada waktu harga saham mengalami perubahan (naik atau turun). Dorsey (2007) menyebutkan bahwa diagram PF menampilkan simbol x untuk harga saham naik (up) dan simbol o untuk harga saham turun (down). Dalam setiap kolom hanya berisi simbol x atau o. Perubahan simbol dalam kolom menandakan perubahan arah pergerakan harga saham.

Konstruksi diagram PF dari pergerakan harga saham dilakukan dengan mengikuti langkah-langkah berikut (Elliott & Hinz 2002).

1. Menetapkan nilai ∆ > 0.

2. Memulai pengamatan pada waktu .

3. Menuliskan salah satu simbol x atau o pada waktu jika harga saham melewati interval [ ( )− ∆, ( ) + ∆ ] . Jika harga saham naik sampai batas atas dari ( ) + ∆, maka pada diagram dituliskan simbol x dan jika

(36)

10 20 30 40 50 60 2200

2400 2600 2800

harga saham turun sampai batas bawah dari ( )− ∆, maka dituliskan simbol o.

4. Mengulangi prosedur yang sama untuk interval berikutnya, yaitu interval [ ( )− ∆, ( ) + ∆ ].

Proses tersebut dilakukan secara rekursif sehingga diperoleh sampel waktu { : ℕ} yang merupakan stopping time dari harga saham. Setiap sampel waktu

berpadanan dengan harga saham ( ).

Langkah-langkah konstruksi diagram PF tersebut diaplikasikan pada harga saham Bumi Resources Tbk periode tanggal 4 Januari s.d. 31 Maret 2010. Data pengamatan sebanyak 61 buah dengan nilai awal pengamatan ( ) = 2425. Sebaran data tersebut seperti pada Gambar 2 berikut ini.

Gambar 2 Grafik harga saham Bumi Resources Tbk periode 4 Januari 2010 s.d. 31 Maret 2010.

1. Tetapkan ∆= 100.

2. Nilai ( ) adalah harga saham awal pengamatan, yaitu ( ) = 2425. 3. Untuk interval [ ( )− ∆, ( ) + ∆ ] = [ 2325, 2525] dan berdasarkan

Gambar 2 harga saham bergerak naik dan melewati interval tersebut. Sehingga pada waktu harga saham berada pada level 2 525 sehingga ( ) = 2525 dan pada kolom pertama diagram PF dituliskan sombol x.

Waktu Pengamatan per Hari (4 Januari 2010 s.d. 31 Maret 2010)

H

ar

ga

S

aha

m

(

R

upi

(37)

4. Untuk interval berikutnya [ ( ) − ∆, ( ) + ∆ ] = [ 2425, 2625] dan berdasarkan Gambar 2 harga saham masih bergerak naik dan melewati interval tersebut. Sehingga ( ) = 2625 dan masih pada kolom pertama diagram PF dituliskan simbol x. Hal tersebut terjadi karena kenaikan harga saham ekivalen dengan tingginya simbol x pada kolom diagran PF demikiann halnya untuk penurunan harga.

5. Mengulangi proses tersebut untuk interval [ ( )− ∆, ( ) + ∆ ] dengan = 2, 3, …,18.

Akhirnya, diperoleh barisan waktu { : = 1, 2, …, 19} yang merupakan sampel waktu. Harga saham yang bersesuaian dengan sampel waktu tersebut ditunjukkan oleh Tabel 1.

Tabel 1 Sampelharga saham Bumi Resource Tbk periode 4 Januari 2010 s.d. 31 Maret 2010

k ( )

1 2 525 2 2 625 3 2 725 4 2 825 5 2 725 6 2 625 7 2 525 8 2 425 9 2 325 10 2 225 11 2 325 12 2 425 13 2 325 14 2 225 15 2 325 16 2 425 17 2 525 18 2 425 19 2 325

(38)

2025 2125 2225 2325 2425 2525 2625 2725 2825 2925 3025

Diagram point and figure dari harga saham tersebut ditunjukkan oleh Gambar 3 berikut.

Keterangan: Xmenyatakan harga saham naik dan Oharga saham turun Gambar 3 Diagram point and figure harga saham Bumi Resources Tbk periode

4 Januari 2010 s.d. 31 Maret 2010.

Berdasarkan prosedur konstruksi diagram PF tersebut, maka harga saham yang kecil dan tidak signifikan, yaitu yang berada dalam interval ( ( ) − ∆,

( ) + ∆ ) dapat dihilangkan dalam diagram PF. Analis teknikal menyebut diagram PF sebagai filter yang hanya menampilkan informasi terpenting dari harga saham. Hal tersebut sesuai dengan kenyataan, walaupun saham diperdagangkan dalam waktu kontinu tetapi investor hanya memperjualbelikannya pada waktu diskret, yaitu waktu ketika harga saham naik atau turun.

Portofolio yang hanya berdasarkan informasi yang termuat dalam diagram PF disebut portofolio PF. Investor yang mengikuti portofolio PF akan memperjualbelikan saham hanya pada waktu { : ℕ}. Setiap waktu keputusan investor hanya berdasarkan pengamatan ( ) , ( ) , …, ( ) . Sehingga optimasi portofolio PF adalah masalah pemilihan portofolio diskret.

3.2 Portofolio Point and Figure

Misalnya { ( ) : 0} adalah harga aset bebas risiko dan { ( ) : 0} adalah harga aset berisiko (saham) yang mempunyai dinamika (Korn 1997):

( ) = ( ) ( ) , ( 0) = 1,

( ) = ( ) [ ( ) + ( ) ( ) ] , ( 0) ( 0,∞) .

H ar ga S aha m ( R upi ah) X X O X O X X O

O X O O O O O O X X X

(39)

di mana { ( ) : 0} adalah tingkat bunga aset bebas risiko, { ( ) : 0} rataan tingkat return, dan { ( ) : 0} volatilitas. Ketiganya adalah proses stokastik yang terukur dan adapted dalam ruang peluang (Ω,ℱ, ) dengan filtrasi lengkap { : 0} adalah kontinu kanan dan { , ( ) : 0} adalah gerak Brown.

Misalnya ( . ) , ( . ) , ( . ) , dan ( . )adalah terbatas, ( . ) adalah deterministik, dan ( . ) > 0 hampir pasti ∀ > 0. Misalnya ℱ adalah filtrasi lengkap yang dihasilkan oleh { ( ) : 0}. ℱ menunjukkan informasi dari pengamatan atas harga saham sampai waktu t. Asumsikan ℱ adalah satu-satunya informasi yang tersedia untuk investor pada waktu t. Berikut ini adalah beberapa definisi terkait portoflio PF.

Definisi 3.2.1 (Portofolio) (Elliott & Hinz 2002)

Suatu portofolio Θ( . ) adalah pasangan Θ ( . ) , Θ ( . ) dari {ℱ : 0} yang prosesnya terukur dan adapted dengan Θ( ) < ∞ hampir pasti (i = 0, 1)

∀ 0. Dalam hal ini, Θ ( ) menunjukkan jumlah unit aset ke-i (i = 0,1) yang dimiliki pada waktu t.

Definisi 3.2.2 (Proses Kekayaan) (Korn 1997)

Proses kekayaan investor yang bersesuaian dengan Θ( . ) pada waktu t adalah

( ) = Θ ( ) ( ) , ∀ 0.

Definisi 3.2.3 (Portofolio Self-Financed)(Korn 1997)

Portofolio Θ( . ) disebut self-financed pada waktu t, jika berlaku

( ) = ( 0) + Θ( ) ( ) , ∀t 0.

Self-financed adalah strategi perdagangan ketika pembelian terhadap sejumlah aset hanya didanai dari hasil penjualan aset portofolio.

Seorang investor dalam melakukan investasi akan memerhatikan tingkat kepuasan. Tingkat kepuasan tersebut tergantung dari tingkat return dan risiko yang ditimbulkan dari proses investasi tersebut. Dalam ilmu ekonomi, tingkat kepuasaan diukur dengan fungsi utilitas. Fungsi utilitas mengukur tingkat kekayaan investor di akhir periode perencanaan investasi.

(40)

Definisi 3.2.4 (Fungsi Utilitas) (Korn 1997)

Suatu fungsi : ( 0,∞) → ℝ dan ( 0,∞) disebut fungsi utilitas jika fungsi tersebut merupakan strictly concave, fungsi naik, dan merupakan fungsi turun dengan lim ( ) = +∞ dan lim ( ) = 0. Selanjutnya definisikan

≔min( U, 0) ,yaitu adalah bagian negatif dari .

Optimasi portofolio adalah menentukan strategi perdagangan yang memaksimumkan return pada tingkat risiko yang dapat diterima. Memaksimumkan return dapat dipandang sebagai memaksimumkan fungsi objektif dengan suatu kendala tertentu. Dalam penelitian ini, fungsi objektif investor berupa memaksimumkan nilai harapan utilitas dari kekayaan selama horison waktu T (periode perencanaan investasi). Fungsi objektif tersebut dapat dituliskan sebagai

sup ( )

dengan kendala kekayaan yang dimiliki investor selama horison waktu adalah tak negatif.

Periode perencanaan investasi tersebut berupa waktu T yang kontinu sehingga saham harus diperdagangkan secara kontinu. Hal ini tidak mungkin terjadi secara nyata dalam pasar dunia karena akan melibatkan biaya transaksi yang tinggi. Oleh karena itu, diperlukan sampling waktu yang menjadi ide pokok dalam diagram PF. Sebelum membahas sampling waktu, terlebih dahulu didefinisikan proses harga didiskon.

Definisi 3.2.5 (Proses Harga Didiskon) (Elliott & Hinz 2002) Proses harga didiskon ( ) didefinisikan sebagai

( ) = ( )

( ), ∀ 0

di mana 1

Misalnya 0 < < 1 < , definisikan secara rekursif barisan hampir pasti berhingga pada {ℱ: 0} yang merupakan stopping time { : ℕ} sebagai berikut.

(41)

∶= 0,

∶= inf : ( ) [ . ( ) , . ( ) ] . (3.1)

Definisikan proses waktu acak diskret oleh sampling

∶= ( ) , ∶= ( ) , ∶= ( ) ,∀ ℕ. (3.2) Diketahui bahwa proses ∶ ℕ memenuhi persamaan rekursif

= . (3.3) di mana { : 1} adalah proses stokastik yang mengambil nilai pada {d, u} dengan 0 < ( = ) < 1, ∀ 1.

Berdasarkan definisi proses sampling waktu tersebut, kenaikan atau penurunan sampel harga dalam diagram PF tidak konstan sebesar ∆. Hal ini disebabkan perubahan selang kepercayaan dari [ ( ) − ∆, ( ) + ∆] menjadi [ . ( ) , . ( ) ]. Meskipun demikian, proses sampling waktu tersebut tetap memenuhi karakteristik diagram PF seperti yang diuraikan sebelumnya.

Berdasarkan proses sampling waktu tersebut selanjutnya akan didefinisikan portofolio PF sebagai berikut.

Definisi 3.2.6 (Portoflio PF) (Elliott & Hinz 2002)

Suatu portofolio self-financed Θ ( . ) disebut portofolio PF jika ∀ 0 berlaku

Θ( ) ∶= Θ [ , ]( ) + Θ ( , ]( ) , ( = 0, 1) (3.4)

di mana {Θ ∶ ℕ} dan {Θ ∶ ℕ} adalah adapted- dengan

∶= : : ℕ = : : ℕ , ( ) adalah fungsi

indikator pada himpunan A, dan , , …, adalah medan- lengkap yang dibangkitkan oleh , , …, .

Selanjutnya, jika Θ ( . ) adalah self-financed, maka kekayaan ( . ) memenuhi ( )− ( ) = Θ S ( ) −S ( ) , ∀k ℕ. (3.5)

(42)

### MARKOV

4.1 State dan Proses Observasi

Semua proses didefinisikan pada ruang peluang (Ω,ℱ, ). Misalnya = { : ℕ} adalah rantai Markov dengan state berhingga yang bersifat

homogen dan diasumsikan tidak diamati secara langsung, sedangkan = { : ℕ} adalah proses observasinya. Pasangan proses stokastik {( , ) }

merupakan model Hidden Markov. Ruang state dari X adalah = { , , …, } dengan = ( 0, …,0,1,0, …,0) adalah vektor satuan di ℝ , di mana hanya elemen ke-i yang bernilai 1 dan lainnya 0.

Misalnya {ℱ : ℕ} adalah medan- lengkap yang dibangkitkan oleh { , , …, },{ : ℕ} adalah medan- lengkap yang dibangkitkan oleh { , , …, }, dan { : ℕ} adalah medan- lengkap yang dibangkitkan oleh { , , …, } dan { , , …, }. Karena X merupakan rantai Markov homogen, maka berdasarkan sifat rantai Markov diperoleh

= ℱ = = , , …,

= = .

Lema 4.1.1 (Elliott et al. 1995)

, = = .

Bukti:

Karena , = 1, untuk =

0, untuk ≠ , maka

, = , ( = )

= = . ■

Jika = = , maka vektor = ( , , …, ) merupakan nilai harapan dari X, yaitu = [ ] dan untuk X yang ergodic memenuhi = dan

(43)

Lema 4.1.2 (Elliott et al. 1995)

Misalnya = = = merupakan peluang transisi dan =

semua = 1,2, …, ,maka

ℱ = = .

Bukti:

Misalnya = maka

= = = =

=

= + + +

= ( , , …, )

= = . ■

Jadi ℱ = , , …, = = . (4.1)

Didefinisikan

≔ − ,

dengan = , maka

ℱ = , , …,

=

= −

= =

= − = 0. (4.2) Sehingga dapat diperoleh suatu persamaan state

= + . (4.3)

Proses state X tidak diamati secara langsung namun terdapat proses observasi = ( , ) , ℕ di mana { } adalah barisan peubah acak yang menyebar normal dengan nilai harapan nol dan ragam satu (N(0,1))

(44)

= { , , …, } dengan = ( 0, …,0,1,0, …,0) adalah vektor satuan di ℝ , di mana hanya elemen ke-j yang bernilai 1 dan lainnya 0.

Lema 4.1.3 (Elliott et al. 1995) Misalnya =

× adalah matriks peluang transisi, di mana

= = = dan memenuhi ∑ = 1 dan 1 ,1

, maka

= = .

Bukti:

Misalnya = maka

= = = =

=

= + + +

= ( , , …, )

=

= . ■

Didefinisikan

≔ − ,

dengan = , maka

= −

=

=

=

= − = 0. Sehingga dapat diperoleh suatu persamaan observasi

(45)

Notasi 4.1.4

Misalnya = , dan = ( , , …, ) , ℕ dengan ∑ = 1.

Misalnya = | .

Untuk = , maka

= |

= [ , | = ]

= , = | =

= ( = | = ) =

= ,

= , + , + + , + + ,

= ,

= , .

Misalnya = ( , , …, ) , maka

= [ | ] = [ | ] = .

Lema 4.1.5 (Elliott et al. 1995)

( ) = diag( ) + diag( ) − diag( ) − ( ) − ( )

dan

≔ [ ( ) |ℱ ] = diag( ) − diag( ) ;

≔ [ ( ) | ] = diag( )− diag( ) .

di mana diag(z) merupakan matriks diagonal yang unsur diagonalnya adalah vektor z dan unsur lainnya adalah nol.

(46)

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, maka diperoleh model hidden

Markov diskret (Elliott et al. 1995) dalam ukuran peluang P denganpersamaan

di mana , , =

× dan = × merupakan matriks

∑ = 1 dan 0, dan

∑ = 1 dan 0.

[ |ℱ ] = 0, [ | ] = 0;

≔ [ ( ) |ℱ ] = diag( ) − diag( ) ;

≔ [ ( ) | ] = diag( )− diag( ) .

4.2 Perubahan Ukuran

Perubahan ukuran peluang dilakukan dengan mengubah ukuran peluang menjadi ukuran peluang baru. Dari ukuran peluang baru tersebut akan diinterpretasikan kembali ke dalam peluang asal. Perubahan ukuran ini dibatasi oleh turunan Radon-Nikodym.

Di bawah ukuran peluang P pada (Ω,⋁ ) , di mana ⋁ adalah medan- yang dibangkitkan oleh medan- { : ℕ} berlaku:

1. = { ∶ ℕ} merupakan rantai Markov yang homogen dan memenuhi

= + dan [ |ℱ ] = 0;

2. = { ∶ ℕ} merupakan proses observasi yang memenuhi

= + , [ | ] = 0, dan adalah peubah acak yang

Akan dikonstruksi ukuran peluang baru pada (Ω,⋁ ) yang kontinu absolut terhadap ukuran peluang asal P, sehingga di bawah berlaku:

= +

= + , ℕ

(47)

1. = { ∶ ℕ} merupakan rantai Markov yang homogen dengan ruang

state = { , , …, } dan memenuhi = + dan

[ |ℱ ] = 0;

2. = { ∶ ℕ} merupakan barisan peubah acak diskret dengan ruang state

= { , , …, } yang bersifat bebas stokastik identik dan menyebar

seragam dengan = = ,1 ;

3. dan saling bebas.

Misalnya ukuran peluang baru pada (Ω,⋁ ) yang dibatasi oleh turunan Radon-Nikodym

= Λ .

Definisikan

λ = 1 , , (4.8)

di mana > 0, > 0, 1 , ℕ. Definisikan

Λ = λ . (4.9)

Karena = , = 1, =

0, ≠ , maka λ adalah fungsi tak linear dari sehingga dapat ditulis

= ( ) = . (4.10)

Lema 4.2.1 (Elliott et al. 1995)

Dengan menggunakan definisi di atas, maka [ | ] = 1.

Bukti:

[ | ] = 1

= 1 1 = 1|

(48)

= 1 1 . = 1. ■

Teorema 4.2.1 (Teorema Bersyarat Bayes) (Elliott et al. 1995)

Misalnya (Ω,ℱ, ) merupakan ruang peluang dan submedan- dari ℱ. Misalnya ukuran peluang lain yang kontinu absolut terhadap P dengan turunan Radon-Nikodym = Λ. Jika adalah sebarang peubah acak yang terintegralkan dan terukur-ℱ, maka

[ | ] = [Λ | ] [Λ| ] .

Bukti: (lihat Elliott et al. 1995)

Lema 4.2.2 (Elliott et al. 1995)

Jika { : ℕ} adalah barisan peubah acak yang terintegralkan dan adapted- ,

maka

| = Λ |

[Λ | ] .

Bukti: (lihat Elliott et al. 1995)

Lema 4.2.3 (Elliott et al. 1995)

Di bawah ukuran peluang , { ∶ ℕ} merupakan barisan peubah acak yang bebas stokastik identik yang menyebar seragam dengan peluang 1

M untuk setiap

, 1 .

Bukti:

Dengan menggunakan nilai harapan di bawah ukuran peluang , Lema 4.2.1, dan Lema 4.2.2 maka

= 1| = , |

= Λ , |

[Λ | ]

= Λ , |

[Λ | ]

= Λ , |

(49)

= , |

[ | ]

= , |

= 1 , |

= 1 , |

= 1 |

= 1 .

= 1 = = 1 ■

Lema 4.2.4 (Elliott et al. 1995) Di bawah ukuran peluang berlaku

[ | ] = .

Bukti:

Dengan menggunakan Notasi 4.1.4, Lema 4.2.1, Lema 4.2.2 , dan Lema 4.2.3 diperoleh

[ | ] = [Λ | ]

[Λ | ]

= [Λ | ]

[Λ | ]

= Λ [ | ]

Λ [ | ] ( kar ena Λ ter ukur - )

= [ | ]

[ | ]

= [ | ]

(50)

= 1 |

= 1 [ | ]

= 1 [ | ]

= 1

|

[ | ]

= 1

= 1|

[ | ]

= 1

1 [ | ]

= [ | ]

= [ |ℱ , ]

= [ |ℱ ]

= . ■ Jadi, di bawah ukuran peluang , proses = { ∶ ℕ} adalah rantai Markov dengan matriks peluang transisi A.

Lema 4.2.5 (Elliott et al. 1995) Di bawah ukuran peluang berlaku

[ | ] = 0.

Bukti:

Berdasarkan Lema 4.2.4 diperoleh

[ | ] = [ − | ]

= [ | ]− [ | ]

= [ | ]− [ | ]

= − [ |ℱ ]

= − [ | ]

= −

(51)

Dari hasil sebelumnya diperoleh bahwa di bawah ukuran peluang pada (Ω,⋁ ) berlaku:

1. Proses = { ∶ ℕ} adalah rantai Markov dengan matriks peluang transisi A, [ | ] = 0 ;

2. { ∶ ℕ} adalah barisan peubah acak diskret yang bersifat bebas stokastik identik dan menyebar seragam dengan = = , = 1,2, . . , .

Misalnya = , 1 , 1 adalah matriks peluang transisi sehingga 0 dan ∑ = 1. Akan dikonstruksi ukuran peluang P pada (Ω,⋁ ) sehingga di bawah P model (4.6) dipenuhi dan berlaku

[ | ] = .

Misalnya

=

dan = , = , , sehingga berlaku ∑ = 1.

Untuk mengkonstruksi P dari adalah kebalikan dari menentukan dari P.

Didefinisikan dan Λ yang berturut-turut merupakan invers dari dan Λ , yaitu

= ∏ , ℕ, (4.11)

Λ = ∏ ̅ ,dan (4.12)

= Λ . (4.13)

Lema 4.2.6 (Elliott et al.1995)

Dengan menggunakan definisi di atas berlaku

̅ | = 1.

Bukti:

Dengan menggunakan Lema 4.2.3 diperoleh

̅ | =

(52)

= = 1|

= 1

=

= 1. ■

Lema 4.2.7 (Elliott et al. 1995) Di bawah ukuran peluang P berlaku

[ | ] = .

Bukti:

Dengan menggunakan Lema 4.2.6 diperoleh

[ | ] = = 1|

= , |

= Λ , |

[Λ | ]

= λ , |

λ |

= λ , |

= , |

= , |

= , |

= , |

= |

= 1

(53)

Berdasarkan Lema 4.2.7, maka di bawah ukuran peluang P berlaku

[ − | ] = [ | ]− [ | ]

= − [ | ]

= −

= 0.

Misalnya = − , maka [ | ] = 0.

Jadi proses observasi dapat ditulis = + .

4.3 Pendugaan Rekursif

Untuk menduga parameter model hidden Markov, maka dibentuk suatu pendugaan rekursif dari state, banyaknya lompatan, lamanya waktu kejadian, dan proses observasi. Dari Pasal 4.2 diperoleh bahwa di bawah ukuran peluang pada (Ω,⋁ ) berlaku = + , di mana pada ( , ) memenuhi

[ | ] = 0 dan { } adalah bebas stokastik identik dengan = = ,

serta dan saling bebas di bawah P dan .

Lema 4.3.1 (Elliott et al. 1995)

[ | ] = 0.

Bukti:

Dengan menggunakan Teorema 2.2.27 dan Lema 4.2.5 diperoleh

[ | ] = [ [ | , ] | ]

= [ [ | ] | ]

= [ 0| ]

= 0. ■ Definisikan

( ) = [Λ , | ] untuk 1 ℕ, ℕ. (4.14)

Karena , = 1, 1 ,maka berlaku

(54)

= [Λ , | ]

= Λ [ , | ]

= [Λ | ] . (4.15)

Lema 4.3.2 (Elliott et al. 1995)

Untuk = ( ) , ( ) , …, ( ) maka [Λ | ] , = , .

Bukti:

[Λ | ] , = Λ ( = | ) ,

= Λ ( = | ) ,

= Λ ( = | ) = ,

= Λ , |

= = , . ■

Notasi 4.3.3

Misalnya { ∶ ℕ} merupakan barisan peubah acak bernilai skalar yang terintegralkan, notasikan

( ) ∶= [Λ | ] . (4.16)

Dengan menggunakan Lema 4.2.2 dan persamaan (4.16), maka

[ | ] = [Λ | ]

[Λ | ]

= ( )

( 1) . (4.17) Sebagai nilai awal, diambil ( ) = [ ] .

(1)

pendLompatanTableTransposeTablefsKaliVektor1pendugaLompatanki, W,i, 1, W, k, 2, T1;

pendWaktuTableTablefsKaliVektor1pendugaWaktuki, W,i, 1, W,k, 2, T1; pendProsesYTableTablefsKaliVektor1pendugaProsesYki, W,i, 1, W,k, 2, T1; pendATablependLompatannpendWaktun,n, 1, T;

pendugaATableTransposependAn1 pendAn.Table1,W,n, 1, T; pendugaCTableTransposependProsesYnpendWaktun,n, 1, T;

pendugaTablefsSolPiTransposependugaAn, W,n, 1, T;

pdgXTablependugaXn,n, 1, T;pendugaA,pendugaC,penduga,pdgX; pendugaProsesYk_:

pendugaProsesYk

j1 W

fsCYj, M,Cy, Yk1.fsKaliDalampendugaProsesYk1, UnitVectorW,jAAll,j TableTableMfsKaliDalampendugaXk1, UnitVectorW,r

fsKaliDalamUnitVectorM, Yk1, UnitVectorM,sCys,rAAll,r,s, 1, M,r, 1, W;

### Penduga Barisan Observasi, Galat, Ketepatan Dugaan, dan Optimasi Portofolio

pendugaWaktuk_:

pendugaWaktuk

j1 W

fsCYj, M,Cy, Yk1.fsKaliDalampendugaWaktuk1, UnitVectorW,jAAll,j

TablefsCYr, M,Cy, Yk1.fsKaliDalampendugaXk1, UnitVectorW,rAAll,r, r, 1, W;

fungsiHMMA_,c_,W_:

ModuleT, As,Cs,piBaru,qkBaru, penduga1, piK,Xover, TLengthY;

AsfungsiPendugaA, Y,c,T,W, M1; CsfungsiPendugaA, Y,c,T,W, M2; piBarufungsiPendugaA, Y,c,T,W, M3; qkBarufungsiPendugaA, Y,c,T,W, M4;

YdugaTable

j1 M

i1 W

Csk,j,iqkBaruk.UnitVectorW,ijUnitVectorM,j,k, 1, T;

KTableRandomChoiceYdugak,1,1TotalYdugak,1, Ydugak,1,2TotalYdugak,11, 2, 9973, k, 1, T;

YdFlattenTableCommonestKi,i, 1, T;

penduga1k_:penduga1kfsKaliVektor1qkBaruk, W;

piKk_:piKk

i1 W

fsKaliDalam qkBaruk penduga1k,

CsT,1,i 1d

CsT,2,i

u1 UnitVectorW,i; Xover1:1;

Xoverk_:

XoverkXoverk1penduga1k1piKk1SpricekSpricek1 Spricek1; XovTableXovern,n, 1, T;

(2)

 Perhitungan Galat 

galat TableYkYdk,k, 1, T;

persentasegalatTableAbs100galatkYk,k, 1, T; MAPEMeanpersentasegalat;

 Perhitungan Ketepatan Dugaan Observasi 

P ;

Fori1, iT, i,

IfYdi  Yi, AppendTo P, 1, AppendTo P, 0; pdugabenar NTotalP T100;

KekayaanCountNonNegativeXov, True;

Fori1, iT, i,

IfYdi Yi&&Yi1, AppendTo updown , 1, AppendTo updown , 0 ;

Fori1, iT, i,

IfYdi Yi&&Yi2, AppendTodownup , 1, AppendTo downup , 0 ;

 Perhitungan Ketepatan Dugaan terhadap Barisan Observasi 

upup;updown ; downup; downdown; Fori1, iT, i,

IfYdi  Yi&&Yi1, AppendTo upup , 1, AppendTo upup , 0 ;

Fori1, iT, i,

IfYdi Yi&&Yi 2, AppendTo

### 

downdown , 1, AppendTo downdown , 0 ;

Mencetak Hasil

Column

Grid

### 

"Ketepatan Dugaan Barisan Observasi", "", pdugabenar, ""

,

### 

"Mean Absolute Percentage Error", "", N

MAPE

, ""

,

### 

"Waktu", "", TimeUsed

, "detik"

,

### 

"Banyaknya Iterasi", "", iterasi

, Grid

"Nilai Awal"

,

### 

"A", "", MatrixForm

A0

,

### 

"C", "", MatrixForm

C0

,

### 

"phi", "", MatrixForm

pi

N

, Frame True

, Grid

"Nilai Dugaan"

,

### 

"A", "", MatrixForm

AsT

,

### 

"C", "", MatrixForm

CsT

,

(3)

### Input Nilai Awal

ClearAllT, W, A0, C0, pi, hasil TLengthY;

W5; banyaknya state penyebab kejadian 

M2; proses observasi hanya mengambil nilai u,d  SeedRandom1234;

pdugabenar0; iterasi 1;

Whilepdugabenar85  Kekayaan T, A0transisiAW;

C0transisiCM , W;

piFlattenfsSolPiA0, W; hasilfungsiHMMA0, C0, W; iterasiiterasi1;; Printhasil

Ketepatan Dugaan Barisan Observasi  93.6264  Mean Absolute Percentage Error  3.62637 

Waktu  1039.06 detik

Banyaknya Iterasi  53

Nilai Awal

A

0.219239 0.265296 0.00269254 0.0592465 0.0919489 0.0260482 0.00482551 0.382789 0.287271 0.313777

0.389637 0.471724 0.251329 0.061809 0.199585 0.219043 0.21496 0.361164 0.257371 0.149265 0.146033 0.043194 0.0020262 0.334302 0.245424 C 0.43372 0.113953 0.689629 0.685286 0.149391

0.56628 0.886047 0.310371 0.314714 0.850609 

phi

0.113555 0.223327 0.260343 0.254544 0.148231

TableForm Tablei, NumberForm Stimei1,5, 2, NumberForm Spricei1,6, 2, NumberForm penduga1 i,6, 5, NumberForm piKi,7, 5,

NumberFormSpricei1SpriceiSpricei,6, 5, NumberFormXoveri1,6, 5, i, 1, 55,

TableHeadings None,"k", "k", "Sk1", "k11", "k1", "Sk1Sk11Sk11", "Xkx,",

TableAlignmentsCenter

Grid"Observasi", Grid"Dugaan",Grid"Up", "Down", Spacings2,

"Up", GridTotalupup, Totalupdown, Spacings2,

"Down", GridTotaldownup, Totaldowndown, Spacings2, Spacings2, DividersTrue, True,True, True, FrameTrue

(4)

Nilai Dugaan

A

1.03019 1057 1.71829 1057 9.99785 1060 7.24894 1058 1.32787 1057 3.51199 1048 5.31457 1049 8.07139 1047 2.67619 1046 8.56062 1047

1. 1. 1. 1. 1.

2.23031 1013 1.7603 1013 5.65081 1013 1.59551 1012 2.87977 1013 9.25183 1058 4.11117 1058 1.01321 1059 6.19077 1057 5.19749 1057

C 0.185505 0.467836 0.968799 0.960989 0.0988463

0.814495 0.532164 0.0312014 0.039011 0.901154 

phi

6.25318 108 1. 6.25318 108 6.25318 108 6.46132 108

### 4

(5)

k k Sk1 k11 k1 Sk1Sk11Sk11 Xkx , 1 12.59 950.95 1.00000 6.09031 0.04500 1.27406 2 14.09 993.74 0.90164 5.89674 0.04500 1.51332 3 16.46 1038.46 0.76088 4.97345 0.04500 1.68361 4 20.17 1085.19 0.62357 4.81281 0.04500 1.81866 5 27.67 1036.36 0.50991 4.83836 0.04500 1.70764 6 30.86 1082.99 0.60231 5.92010 0.04500 1.86810 7 32.04 1131.73 0.57042 6.68759 0.04500 2.03976 8 33.63 1182.66 0.49381 5.12243 0.04500 2.15359 9 43.79 1235.88 0.40567 4.79561 0.04500 2.24113 10 44.66 1180.26 0.33139 4.82643 0.04500 2.16916 11 55.34 1233.37 0.39153 5.91760 0.04500 2.27342 12 61.72 1288.88 0.37076 6.68768 0.04500 2.38500 13 70.56 1346.88 0.32097 5.12255 0.04500 2.45899 14 83.55 1407.48 0.26368 4.79563 0.04500 2.51589 15 86.08 1470.82 0.21540 4.82642 0.04500 2.56267 16 95.31 1537.01 0.17631 4.85142 0.04500 2.60116 17 95.88 1606.17 0.14441 4.85394 0.04500 2.63270 18 96.73 1678.45 0.11828 4.85289 0.04500 2.65854 19 98.84 1602.92 0.09688 4.85256 0.04500 2.63738 20 102.75 1675.05 0.11441 5.92296 0.04500 2.66787 21 104.00 1750.43 0.10837 6.68758 0.04500 2.70049 22 104.47 1829.20 0.09381 5.12230 0.04500 2.72211 23 104.95 1911.51 0.07707 4.79559 0.04500 2.73874 24 108.86 1825.50 0.06296 4.82643 0.04500 2.72507 25 113.35 1907.64 0.07438 5.91760 0.04500 2.74487 26 114.49 1993.49 0.07043 6.68768 0.04500 2.76607 27 115.33 2083.19 0.06098 5.12255 0.04500 2.78013 28 118.62 2176.94 0.05009 4.79563 0.04500 2.79094 29 124.00 2274.90 0.04092 4.82642 0.04500 2.79982 30 124.58 2377.27 0.03349 4.85142 0.04500 2.80714 31 127.79 2484.25 0.02743 4.85394 0.04500 2.81313 32 128.77 2596.04 0.02247 4.85289 0.04500 2.81804 33 129.59 2712.86 0.01840 4.85256 0.04500 2.82206 34 131.84 2590.78 0.01507 4.85256 0.04500 2.81876 35 138.10 2707.37 0.01780 5.92297 0.04500 2.82351 36 146.76 2585.53 0.01686 6.68758 0.04500 2.81843 37 149.25 2469.19 0.01913 6.32220 0.04500 2.81299 38 150.68 2358.07 0.01985 6.34281 0.04500 2.80733 39 151.46 2464.19 0.02103 6.35320 0.04500 2.81334 40 151.90 2575.07 0.01988 6.49605 0.04500 2.81915 41 156.46 2459.20 0.01708 5.06551 0.04500 2.81526 42 156.91 2348.53 0.02015 5.96053 0.04500 2.80985 43 157.47 2242.85 0.02117 6.31799 0.04500 2.80384 44 158.70 2343.78 0.02242 6.35962 0.04500 2.81025 45 167.42 2449.25 0.02120 6.49674 0.04500 2.81645 46 168.19 2559.46 0.01822 5.06528 0.04500 2.82060 47 170.43 2674.64 0.01495 4.79566 0.04500 2.82383 48 172.16 2795.00 0.01221 4.82985 0.04500 2.82648 49 173.83 2920.77 0.01000 4.85201 0.04500 2.82867 50 179.18 3052.21 0.00819 4.85384 0.04500 2.83045 51 180.12 3189.56 0.00671 4.85284 0.04500 2.83192 52 181.44 3333.08 0.00549 4.85255 0.04500 2.83312 53 186.42 3483.07 0.00450 4.85256 0.04500 2.83410 54 189.72 3639.81 0.00369 4.85258 0.04500 2.83491 55 192.79 3476.02 0.00302 4.85259 0.04500 2.83425

(6)

TableForm Tablei, NumberForm Stimei1,5, 2, NumberForm Spricei1,6, 2, Zi, MatrixForm Yi, MatrixFormYdi,i, 1, 55,

TableHeadings None,"k", "k", "S1k", "UpDown", "Yk", "Yk", TableAlignmentsCenter

k k Sk1 UpDown Yk Yk

1 12.59 950.95 u 1 1

2 14.09 993.74 u 1 1

3 16.46 1038.46 u 1 1

4 20.17 1085.19 u 1 1

5 27.67 1036.36 d 2 1

6 30.86 1082.99 u 1 1

7 32.04 1131.73 u 1 1

8 33.63 1182.66 u 1 1

9 43.79 1235.88 u 1 1

10 44.66 1180.26 d 2 1

11 55.34 1233.37 u 1 1

12 61.72 1288.88 u 1 1

13 70.56 1346.88 u 1 1

14 83.55 1407.48 u 1 1

15 86.08 1470.82 u 1 1

16 95.31 1537.01 u 1 1

17 95.88 1606.17 u 1 1

18 96.73 1678.45 u 1 1

19 98.84 1602.92 d 2 1

20 102.75 1675.05 u 1 1

21 104.00 1750.43 u 1 1

22 104.47 1829.20 u 1 1

23 104.95 1911.51 u 1 1

24 108.86 1825.50 d 2 1

25 113.35 1907.64 u 1 1

26 114.49 1993.49 u 1 1

27 115.33 2083.19 u 1 1

28 118.62 2176.94 u 1 1

29 124.00 2274.90 u 1 1

30 124.58 2377.27 u 1 1

31 127.79 2484.25 u 1 1

32 128.77 2596.04 u 1 1

33 129.59 2712.86 u 1 1

34 131.84 2590.78 d 2 1

35 138.10 2707.37 u 1 1

36 146.76 2585.53 d 2 1

37 149.25 2469.19 d 2 2

38 150.68 2358.07 d 2 2

39 151.46 2464.19 u 1 1

40 151.90 2575.07 u 1 1

41 156.46 2459.20 d 2 2

42 156.91 2348.53 d 2 2

43 157.47 2242.85 d 2 2

44 158.70 2343.78 u 1 1

45 167.42 2449.25 u 1 1

46 168.19 2559.46 u 1 1

47 170.43 2674.64 u 1 1

48 172.16 2795.00 u 1 1

49 173.83 2920.77 u 1 1

50 179.18 3052.21 u 1 1

51 180.12 3189.56 u 1 1

52 181.44 3333.08 u 1 1

53 186.42 3483.07 u 1 1

54 189.72 3639.81 u 1 1