20
Pergerakan harga saham yang kecil dan tidak signifikan yaitu harga saham yang
berada dalam
interval
1 1
,
k k
S S
2 2
dengan 0,1,...
k dapat dihilangkan dalam
diagram PF,
dan hanya
ciri-ciri terpentinglah yaitu harga saham yang
melewati interval
1 1
,
k k
S S
2 2
dengan 0,1,...
k yang berada dalam
diagram tersebut. Beberapa analis teknikal berpendapat bahwa metode tersebut seperti
sebuah filter yang hanya menampilkan informasi terpenting dari harga saham.
Portofolio
yang hanya
berdasarkan informasi yang termuat dalam diagram PF
disebut portofolio PF. Seorang investor yang
mengikuti portofolio
PF akan
memperjual-belikan sahamnya hanya pada waktu
{ :
}
k
k . Setiap waktu
k
hanya berdasarkan
pengamatan
1 1
,...,
k
S S
. Optimisasi portofolio PF merupakan
masalah pemilihan
portofolio diskret.
Catatan bahwa diskretisasi dari perubahan harga saham diberikan oleh dua nilai, yaitu x
atau o. Hal ini mempunyai beberapa keuntungan dari sudut pandang matematika
ketika harga sample digambarkan dalam Model
Cox-Ross-Rubinstein sehingga
diperlukan metode
martingale dari
optimisasi portofolio. Definisi 1 : Model Cox-Ross-Rubinstein
CRR adalah bentuk khusus dari model biner multiperiodik untuk setiap interval
waktu dari harga saham yang bergerak dari nilai sekarang S ke salah satu Su atau Sd
dengan u dan d adalah konstanta tetap dengan
r T
d e
u
2
. Catatan :
Bentuk seperti ini berupa model binomial. Peluang dari harga saham pada waktu k :
1
k j
j k
j j
k
k P S
S u d p
p j
dengan 0,1,...,
j k
1 .
r T
e d
p u
d u
d
2
Untuk menentukan portofolio PF yang optimal, diperlukan pendugaan sebaran
peluang terhadap proses harga sample. Gagasan
utamanya ialah
untuk menjelaskan harga sample dengan Model
Hidden Markov HMM. Model tersebut
menyediakan dua alat yang sangat penting, yaitu algoritma yang memaksimumkan nilai
harapan EM-Algorithm
dan metode
peluang acuan
Reference Probability
Method . EM-Algorithm sesuai dengan
Model Hidden Markov yang berdasarkan data historis, sedangkan metode peluang
acuan yang
dikombinasikan dengan
pendekatan martingale terhadap pemilihan portofolio untuk mendapatkan portofolio PF
yang optimal.
IV. PORTOFOLIO PF
Misalkan {
: 0}
S t
t adalah harga
aset bebas resiko dan
1
{ :
0} S t
t adalah
harga aset
beresiko saham
yang mempunyai dinamika :
1 1
1
, 1;
, 0,
dS t
S t r t dt S
dS t S t b t dt
t dW t S
dengan { :
0} r t
t adalah tingkat bunga,
{ : 0}
b t t
adalah rataan tingkat return dan
{ : 0}
t t
adalah volatilitas standar deviasi dari return harga saham. Ketiganya
adalah proses stokastik yang terukur dan adapted
dalam ruang
peluang , , ,{
: 0}
t
P t
dengan filtrasi
{ :
0}
t
t adalah kontinu kanan dan
{ ,
: 0}
t
W t t
adalah gerak Brown. Misalkan
., . r
b ,
. dan
1
. adalah
terbatas, .
r adalah deterministik dan
. 0 hampir pasti
t
.
Misalkan
t
adalah filtrasi lengkap yang dihasilkan oleh
1
{ :
0} S t
t .
t
menunjukkan informasi dari pengamatan atas harga saham sampai waktu t.
Asumsikan bahwa
t
adalah satu-satunya
21
informasi yang tersedia untuk investor pada waktu t.
Berikut ini adalah beberapa definisi yang
dibutuhkan dalam
membahas portofolio PF.
Definisi 2 : Suatu portofolio .
3 adalah pasangan
1
., .
3 3
dari {
: 0}
t
t yang prosesnya terukur dan adapted
dengan
2 t
i
s ds
3 hampir pasti
0,1 i
t . Dalam hal ini,
i
t 3
menunjukkan jumlah unit aset ke–i 0,1
i yang dimiliki pada waktu t.
Definisi 3 : Proses kekayaan investor yang bersesuaian dengan
. 3 pada waktu t
adalah
1
;
i i
i
X t
t S t t
3
3 .
Definisi 4 : Portofolio
. 3
disebut self- financed
pada waktu t
, jika
1
;
t i
i i
X t
X u dS u
t
3 3
3 dengan asumsi bahwa investor tidak
melibatkan konsumsi. Catatan :
Self-financed
merupakan strategi
perdagangan dimana pembelian terhadap sejumlah aset hanya didanai dari hasil
penjualan aset dalam portofolio.
Seorang investor dalam melakukan investasinya
mementingkan tingkat
kepuasan. Tingkat
kepuasan investor
bergantung pada tingkat return dan resiko. Dalam ilmu ekonomi, tingkat kepuasan
diukur dengan fungsi utilitas.
Definisi 5 : Suatu fungsi
1
0, U
C disebut fungsi utilitas jika fungsi tersebut
merupakan strictly concave dan fungsi naik, dan U merupakan fungsi turun dengan
lim
z
U z dan
lim
z
U z
.
Definisikan max
, 0 U
U ,
dengan U
adalah bagian negatif dari U
.
Fungsi utilitas tersebut dapat berupa fungsi objektif dengan kendala yang ada.
Fungsi utilitas pada karya ilmiah ini berupa fungsi
objektif investor
yang memaksimumkan nilai harapan utilitas dari
kekayaan selama horison waktu periode perencanaan investasi. Fungsi objektifnya
dapat ditulis sebagai berikut :
sup E U X T
3 3
. Adapun kendalanya adalah kekayaan yang
dimiliki oleh investor selama horison waktu tidak negatif.
Berikut ini adalah masalah optimisasi portofolio yang berkaitan dengan horison
waktu kontinu.
Masalah 0 : Diberikan fungsi utilitas U , endowment
awal 0,
x dan
horison waktu
berhingga 0,
T untuk menentukan
. 3
yang memberikan
supremum E U X
T
3
3 pada
himpunan . :
3 portofolio
self-financed, X
x
3
, .
E U X
T
3
Untuk memperoleh .
3 , saham harus
diperdagangkan secara kontinu. Hal ini tidak mungkin terjadi secara nyata dalam pasar
dunia. Selain
itu, aproksimasi
dari perdagangan tersebut melibatkan biaya
transaksi yang tinggi. Untuk alasan itulah, diperlukan suatu sampling waktu dalam
diagram PF.
Untuk membahas lebih lanjut mengenai sampling waktu, definisikan terlebih dahulu
proses harga didiskon yang merupakan harga saat ini present value.
Definisi 6 : Proses harga didiskon
1
S t didefinisikan sebagai
:
1 1
: ,
0. S t
S t t
S t Catatan :
1 S
t adalah faktor diskon.
Diberikan 1
d u
. Definisikan secara
rekursif barisan
hampir pasti
22
berhingga {
: }
k
k stopping time-
{ :
0}
t
t :
: 0 ,
1 1
1 1
: inf :
,
k k
k k
t S t
d S u S
- 1
1 untuk proses harga didiskon
1
S t .
Definisikan proses waktu acak diskret oleh sampling :
1 1
1 1
: ,
: ,
: ,
k k
k k
k k
k
S S
S S
S S
k .
...1 Diketahui bahwa
1
:
k
S k
memenuhi persamaan rekursif :
1 1
1 1
k k
k
S S y
...2 dengan
{ :
1}
k
y k
adalah proses stokastik yang mengambil nilai pada
{ , } d u
dengan 1
k
P y d
1 k
.
Definisi 7 : Suatu portofolio self-financed
. 3
disebut portofolio PF jika t
berlaku :
1 1
0 [ , ]
, ]
1
: 1
1 ,
0,1
k k
i i
i k
k
t t
t i
3 3
3 ... 3
{ :
}
k
k 3
dan
1
{ :
}
k
k 3
adalah adapted-
, dengan
1
: :
1 :
: 1 .
j j
S j
k k
y j
k k
✁
Catatan : Jika
. 3
adalah self-financed, maka kekayaan
. X
3
memenuhi :
1 1
1
,
i i
i k
k k
k k
i
X X
S S
3 3
3 k
. Dalam hal ini, kekayaan tidak akan
dimaksimumkan pada waktu T , tetapi pada waktu acak
n
. Hal ini dikarenakan oleh penggantian masalah optimisasi dari waktu
kontinu ke waktu diskret dalam rangka memperkenalkan sampling waktu acak.
Berikut ini adalah masalah optimisasi portofolio yang berkaitan dengan waktu
acak
n
.
Masalah 1 : Diberikan fungsi utilitas U , endowment
awal 0,
x dan horison waktu n
untuk menentukan portofolio PF .
3 yang
memberikan supremum
n
E U X
3
3 pada
himpunan =
. : A x
3 portofolio PF,
, X
x
3
0 .
n
X
3
Masalah ini akan diselesaikan dengan teknik optimisasi portofolio waktu diskret.
Untuk menyelesaikan
masalah ini,
definisikan proses :
,
1 1
1 1
:
x
k k
j j
j j
X x
S S
, ,
,
x x
k k
k
X S X
k ... 4
untuk setiap {
: }
k
k adapted
-
,
dan 0,
x .
Misalkan pula
x
J merupakan
portofolio PF seperti dalam persamaan 3
dengan
,
: ,
x
k k
k
X 3
1
: ,
k k
3 .
k ... 5
Misalkan diketahui proses :
,
: :
- dengan
x
n
a x adapted
X untuk
0, .
x Suatu perhitungan langsung lihat
lampiran A menunjukkan bahwa jika supremum
, x
n
E U X pada
a x diberikan
oleh ,
maka supremum
E U X T
3
3 pada himpunan
A x diberikan
oleh
x
J .
Masalah 1
merupakan masalah optimisasi portofolio waktu diskret.
23
V. MODEL WAKTU DISKRET
