batasan terhadap berbagai pilihan alternatif yang tersedia. Sedangkan pada optimasi dengan kendala, faktor-faktor yang menjadi kendala terhadap fungsi tujuan diperhatikan dalam
menentukan titik maksimum atau minimum fungsi tujuan . Optimasi dengan kendala pada dasarnya merupakan persoalan dalam menentukan nilai variabel suatu fungsi menjadi
maksimum atau minimum dengan memperhatikan keterbatasan-keterbatasan yang ada. Keterbatasan-keterbatasan itu meliputi input atau faktor-faktor produksi seperti modal, bahan
baku, tenaga kerja dan mesin. Optimasi produksi dengan kendala perlu memperhatikan faktor-faktor yang menjadi kendala pada fungsi tujuan karena kendala menentukan nilai
maksimum dan minimum. Fungsi tujuan merupakan suatu pernyataan matematis yang digunakan untuk mempresentasikan kriteria dalam mengevaluasi solusi suatu masalah.
Fungsi tujuan dalam teknik optimasi produksi merupakan unsur yang penting karena akan menentukan kondisi optimal suatu keadaan . Fungsi tujuan dan kendala merupakan suatu
fungsi garis lurus atau linier. Salah satu metode untuk memecahkan masalah optimasi produksi yang mencakup fungsi tujuan dan kendala adalah metode Linear Programming.
Metode ini adalah suatu teknik perencanaan analitis dengan menggunakan model matematika yang bertujuan untuk menemukan beberapa kombinasi alternatif solusi.
2.3 Persyaratan Karush Kuhn Tucker
Pada tahun 1951 Kuhn Tucker mengemukakan suatu teknik optimasi yang dapat digunakan untuk pencarian titik optimum dari suatu fungsi berkendala. Metode Karush Kuhn Tucker ini
dapat dipergunakan untuk mencari solusi yang optimum darisuatu fungsi tanpa memandang sifat dari fungsi tersebut apakah linier atau non linier. Jadi metode Karush Kuhn Tucker ini
bersifat teknik yang umum dalam pencarian titik optimum dari setiap fungsi.Metode Krush Kuhn Tucker dapat digunakan untuk memecahkan persoalan baik yang nonlinier maupun
linier. Jika menghadapi masalah optimasi dalam bentuk:
Maksimumkanminimumkan : Z=fX dengan X={
1 Dengan kendala
: X
dengan i=1,2,3,...,m X
X m
njumlah kendala lebih kecil dari variabel
Universitas Sumatera Utara
Pertama tuliskan kembali persyaratan-persyaratan yang tak negatif seperti 0,
0,..., , sehingga himpunan kendalanya adalah m+n persyaratan ketidaksamaan
yang masing-masing dengan tanda lebih kecil daripada atau sama dengan. Kemudian tambahkan variabel-variabel kurang
, , ...,
berturut-turut pada ruas kiri dari kendala-kendala tadi, yang demikian merubah tiap-tiap ketidaksamaan menjadi suatu
kesamaan. Variabel-variabel kendur slack variabels yang ditambahkan di sini berbentuk suku-suku kuadrat untuk menjamin bahwa mereka tak negatif. Kemudian bentuk fungsi
lagrange: ∑
[ ]– ∑
[ ]
2
Untuk adalah pengali-pengali Lagrange. Terakhir selesaikan sistem
persamaan:
i=1, 2, ..., m+n 3
j=1, 2, ..., m+n 4
j=1, 2, ..., m+n 5
Persamaan-persamaan 3,4,5,di atas membentuk Persyaratan Kuhn-Tucker untuk maksimasiminimasi program linier dan non linier.
Syarat Kuhn-Tucker untuk persamaan:
Minimumkan : Z=fX dengan X={
Dengan kendala : X
X i=1,2,3,..., m
dapat dinyatakan dalam satu set pernyataan sebagai berikut:
∑ i=1, 2, ..., n
6 j=1, 2, ..., m
j=1, 2, ..., m j=1, 2, ..., m
7
Universitas Sumatera Utara
Jika permasalahannya adalah memaksimumkan bukan meminimumkan, maka , jika
kendalanya adalah , maka
Jika permasalahannya adalah memaksimumkan dan jika kendalanya adalah
0, maka .
Menurut Luknanto dan Djoko,2000 ,penyelesaian optimasi secara analitis sudah jarang dipakai di lapangan yang sangat kompleks. Namun, metode Lagrange dan Kuhn
Tucker dapat dipilih dalam teknik optimasi karena prinsip kerjanya sederhana dan mudah dimengerti. Dalam penggunaannya syarat perlu bagi sebuah fungsi
dengan kendala dengan agar mempunyai minimun relatif pada titik
adalah derivasi parsial pertama dari fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai
terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol.
Hillier dan
Lieberman, 2001
membuat suatu
asumsi bahwa
merupakan fungsi yang dapat diturunkan sehingga menjadi solusi optimal untuk permasalahan pemrograman nonlinier hanya
jika terdapat sejumlah bilangan
, sehingga semua syarat kondisi Kuhn Tucker berikut terpenuhi :
vii ∑
pada untuk
viii
∑
pada untuk
ix untuk
x untuk
xi untuk
xii untuk
Universitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Pengoptimalan merupakan ilmu Matematika terapan dan bertujuan untuk mencapai suatu titik optimum. Dalam kehidupan sehari-hari, baik disadari maupun tidak, sebenarnya orang
selalu melakukan optimasi untuk memenuhi kebutuhannya. Tetapi optimasi yang dilakukan masyarakat awam lebih banyak dilandasi oleh intuisi daripada teori optimasi. Pengoptimalan
bertujuan untuk mengoptimalkan suatu hal yang memiliki kendala-kendala tertentu sesuai konteks masalah. Tujuan akhir dalam pengoptimalan ini disebut sebagai fungsi tujuan. Fungsi
tujuan dapat bersifat minimasi atau maksimasi.
Saat ini, dalam industri khususnya industri yang bergerak dalam bidang produksi yang berkaitan dengan taraf permintaan dan penawaran pastinya sudah memiliki suatu sistem
pemasaran. Sistem pemasaran di sini merupakan fungsi tujuan dalam penjualan hasil produksi yang diharapkan dapat mencapai keuntungan maksimum. Sistem pemasaran bisa
saja sudah mencapai keadaan yang optimal dan mungkin belum optimal.
Perusahaan-perusahaan yang bergerak dalam bidang produksi tentunya tahu bagaimana sistem yang dibuat agar pemasaran hasil produksi dapat mencapai kondisi yang
optimal atau mendapat keuntungan yang besar sekalipun ada beberapa kendala. Adanya suatu kendala tidak akan menjadi masalah besar jika dalam hal ini perusahaan tersebut tahu
bagaimana membuat kondisi menjadi optimal. Dengan demikian perusahaan tersebut akan memiliki kondisi yang stabil bahkan mampu bersaing dengan perusahaan lainnya.
Pabrik Roti WN merupakan salah satu perusahaan yang bergerak dalam bidang produksi di Indonesia. Bahan-bahan yang diproduksi yaitu dalam bentuk makanan jadi.
Sebagai salah satu produsen makanan ,Pabrik Roti WN memiliki tingkat penjualan dan secara otomatis akan mencapai keuntungan yang maksimum pada titik optimum sesuai sistem yang
sudah berlaku pada perusahaan tersebut. Dengan demikian metode dan fungsi tujuan dalam pengoptimalan mungkin sudah banyak di aplikasikan di Pabrik Roti WN. Namun metode dan
fungsi tujuan dalam pengoptimalan bisa saja dibuat berbeda dari sebelumnya karena kemungkinan kendala yang berubah dalam setiap periode. Salah satunya yaitu dengan
Universitas Sumatera Utara
