Pemrograman Non Linier Tak Berkendala

BAB 2 LANDASAN TEORI

2.1 Pemrograman Non Linier

Pemrograman Non linier merupakan pemrograman dengan fungsi tujuannya saja atau bersama dengan fungsi kendala berbentuk non linier yaitu pangkat dari variabelnya lebih dari satu. Salah satu bentuk umum masalah pemrograman non linier adalah untuk menentukan sehingga mencapai tujuan untuk: Maksimumkanminimiumkan : Dengan kendala : dan : Dengan dan merupakan fungsi yang diketahui dengan variabel keputusan. Terdapat banyak jenis makalah pemrograman non linier dalam berbagai bentuk. Hal ini tergantung pada karakteristik fungsi tujuan dan kendalanya .Program Non linier juga memiliki penyelesaian kompleks berdasarkan kendala-kendala untuk Pemrograman persamaan Kuadratis atau cembung. Pemrograman nonlinier dapat mempunyai kendala ataupun tidak mempunyai kendalaHemmecke, 2009.

2.1.1. Pemrograman Non Linier Tak Berkendala

Pemrograman non linier tak berkendala merupakan masalah optimasi yang tidak memiliki batasan-batasan, sehingga untuk mempunyai fungsi tujuan adalah: Maksimumkanminimumkan : Syarat perlu dan cukup agar suatu penyelesaian merupakan penyelesaian optimal saat merupakan fungsi yang dapat diturunkan adalah pada untuk Universitas Sumatera Utara Sebuah pemrograman nonlinear satu variabel tanpa kendala berbentuk: Optimisasi: di mana adalah sebuah fungsi nonlinear dari variabel tunggal , dan pencarian nilai optimumnya maksimum dan minimum ditinjau dari selang tak terhingga . Untuk kasus multivariabel tanpa kendala berbentuk: Optimisasi : dimana Sebagai maksimisasi, jika diganti dengan – maka semua hasilnya dapat diterapkan pada pemrograman minimisasi. Dalam masalah pemrograman nonlinear, fungsi nonlinear yang akan dioptimalkan disebut fungsi objektif. Setiap titik yang akan koordinatnya tidak negatif yang memenuhi sistem dari tanpa kendala disebut nilai akhir. Jadi masalahnya adalah menentukan satu titik nilai akhir yang meminimumkan atau memaksimumkan fungsi objektif Taha, 2007. Dimana merupakan fungsi konkaf,kondisi ini juga mencukupi ,sehingga mencari solusi untuk tereduksi menjadi penyelesaian dari sistem persamaan yang diperoleh dengan turunan parsial sama dengan nol. Stewart,1999. 2.1.2.Pemrograman Non Linier Berkendala Pemrograman non linier berkendala merupakan masalah optimasi yang memiliki batasan- batasan , sehingga untuk maka bentuk standard untuk program-program tak linier yang mengandung hanya kendala-kendala kesamaan equality adalah Maksimumkanminimiumkan : Dengan kendala : Disini jumlah kendala lebih kecil daripada variabel, jika terjadi bahwa ,maka biasanya tidak dapat diselesaiakan. Pada program minimasi dapat diubah ke dalam bentuk program maksimasi dengan mengalikan fungsi objektif -1. Universitas Sumatera Utara Suatu metode yang dapat dipakai untuk menyelesaikan masalah optimasi ini adalah metode pengali Lagrange. Metode penggali lagrange dipilih karena prinsip kerjanya sederhana dan mudah dimengerti. Metode ini dimulai dengan pembentukan fungsi Lagrangean yang didefinisikan sebagai: ∑ Dimana adalah fungsi Lagrange yang disusun sebagai teknik optimasi pendukung metode Kuhn Tucker dalam perhitungan program non linier yang memiliki kendala ketidaksamaan. adalah suatu fungsi kerangka dalam penyusunan fungsi Lagrange. Dan adalah variabel-variabel keputusan yang merupakan tujuan optimasi, adalah suatu pengali dalam optimasi kendala. Sementara adalah merupakan kendala-kendala yang muncul dalam optimisasi. Syarat perlu bagi sebuah fungsi dengan kendala , dengan agar mempunyai minimum relatif pada titik adalah derivasi parsial pertama dari fungsi Lagrange-nya yang didefinisikan sebagai terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol. Stewart, 1999. Pengali Lagrange mempunyai arti secara fisik yang menarik. Misalkan terdapat permasalahan optimasi dengan ssatu kendala sebagai berikut: Maksimumkan Minimumkan : Dengan kendala : Fungsi Lagrange-nya adalah Syarat perlu untuk penyelesaian di atas adalah untuk dan Persamaan di atas menghasilkan Universitas Sumatera Utara untuk atau Maka: untuk ∑ ∑ ∑ ∑ Karena ∑ adalah dan ∑ adalah Maka persamaan final dari ∑ ∑ adalah atau Dari persamaan ini dapat ditarik kesimpulan bahwa pada penyelesaian optimum, perubahan fungsi tujuan , berbanding lurus dengan perubahan kendala dengan faktor sebesar pengali lagrange . Bentuk standard dari program-program tak linier yang mengandung hanya kendala-kendala ketidaksamaan adalah: Maksimumkan Minimumkan : Dengan kendala untuk Universitas Sumatera Utara Kunci dari penanganan permasalahan di atas adalah merubah kendala pertidaksamaan menjadi persamaan dengan menambah variabel slack . Masalah pemrograman ini ditandai dengan adanya kendala-kendala yang sama sepenuhnya dengan pemrograman linier. Semua fungsi kendala adalah linier,tetapi fungsi tujuan berbentuk non linier. Masalah ini dipertimbangkan secara sederhana dengan hanya memiliki satu fungsi non linier yang diperhitungkan, bersama dengan daerah layak dari pemrograman linier. Sejumlah algoritma khusus yang didasari atas perluasan metode simpleks telah dikembangkan untuk memperhitungkan fungsi tujuan yang nonlinier. 2.2 Hasil Produksi 2.2.1 Definisi Hasil Produksi Secara umum, istilah “produksi” diartikan sebagai penggunaan atau pemanfaatan sumber daya yang mengubah suatu komoditi menjadi komoditi lainnya yang sama sekali berbeda, baik dalam pengertian apa, dan dimana atau kapan komoditi-komoditi itu dilokasikan, maupun dalam pengertian apa yang dapat dikerjakan oleh konsumen terhadap komoditi itu. Istilah produksi berlaku untuk barang maupun jasa, karena istilah “komoditi” memang mengacu pada barang dan jasa. Keduanya sama-sama dihasilkan dengan mengerahkan modal dan tenaga kerja. Produksi merupakan konsep arus flow concept, maksudnya adalah produksi merupakan kegiatan yang diukur sebagai tingkat-tingkat output per unit periodewaktu. Sedangkan outputnya sendiri senantiasa diasumsikan konstan kualitasnya Warsana. 2007. 2.2.2 Fungsi Produksi Perkembangan atau pertambahan produksi dalam kegiatan ekonomi tidak lepas dari peranan faktor-faktor produksi atau input. Untuk menaikkan jumlah output yang diproduksi dalam perekonomian dengan faktor-faktor produksi, para ahli teori pertumbuhan neoklasik menggunakan konsep produksi. Fungsi produksi adalah hubungan teknis yang menghubungkan antara faktor produksi input dan hasil produksi output. Disebut faktor produksi karena bersifat mutlak, supaya produksi dapat dijalankan untuk menghasilkan produk Warsana. 2007. Universitas Sumatera Utara

2.2.3 Optimisasi Hasil Produksi