Antiturunan integral tak­tentu

Bab 4 Integral Tentu

Tujuan nstruksional Khusus. Mahasiswa mampu: . mencari antiturunan fungsi dan menggunakan antiturunan untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde satu peubah terpisah, . menggunakan definisi untuk menghitung integral tentu sebagai limit penjumlahan, . menghitung jumlah Riemann dengan menggunakan titik evaluasi kiri, kanan, dan tengah dengan bantuan Teknologi nformasi dan Komputer TK dan menggunakannya untuk menjelaskan pengertian intuitif dari integral tentu, . menghitung integral dengan menggunakan sifat integral tentu, aturan pangkat, dan substitusi umum, . membangun dan mengevaluasi integral untuk menghitung luas bidang datar, volume benda putar, luas permukaan benda putar, kerja yang dilakukan oleh perubahan gaya, momen dan pusat massa lamina datar dan sentroit dari daerah bidang datar. Waktu pembelajaran : minggu. Pada Bab kita telah mempelajari konsep diferensiasi differentiation , yaitu pencarian turunan derivative dari fungsi. Pada bab ini kita akan mempelajari kebalikan dari konsep diferensiasi, yaitu pencarian antiturunan antiderivative dari fungsi. Konsep ini dikenal sebagai antidiferensiasi antidifferentation atau integrasi integration . Selain itu, kita juga akan mempelajari beberapa aplikasi konsep ini.

4.1 Antiturunan integral tak­tentu

Proses pencarian antiturunan fungsi merupakan proses kebalikan dari proses pencarian turunan fungsi. Namun demikian ada perbedaan hasil dari kedua proses tersebut. Dalam proses diferensiasi, turunan suatu fungsi merupakan suatu fungsi pula, sedangkan dalam proses antidiferensiasi, antiturunan suatu fungsi merupakan suatu keluarga fungsi satu‐parameter 1­parameter function family , bukan suatu fungsi. Definisi 4.1 Fungsi disebut suatu antiturunan fungsi pada interval jika pada , yaitu: untuk setiap di . Contoh 4.1 Fungsi , , dan merupakan beberapa antiturunan fungsi pada ∞, ∞ . Hal ini disebabkan F , F , dan F , untuk setiap di ∞, ∞ . Secara umum, , dengan adalah sembarang bilangan riil, merupakan antiturunan umum dari . ‹ Maple dapat digunakan untuk mencari suatu antiturunan umum fungsi. Perintah yang digunakan adalah int fungsi,peubah . Untuk Contoh . , masukannya adalah int x + ,x ;, sedangkan keluarannya adalah x +x. Perhatian. asil yang diberikan Mapple tidak memuat konstanta . Gambar . : Grafik fungsi kurva sambung , kurva putus‐putus dan kurva titik‐titik . Adakah perbedaan antar anggota keluarga fungsi satu‐parameter? Gambar . memuat grafik beberapa anggota tersebut untuk Contoh . . Grafik anggota keluarga fungsi dapat diperoleh dengan cara menggeser secara vertikal suatu grafik anggota fungsi. Perhatian. Untuk selanjutnya, yang dimaksud dengan antiturunan adalah antiturunan umum. Notasi untuk menyatakan antiturunan fungsi adalah . Notasi ini dicetuskan pertama kali oleh matematikawan Jerman G.W. Leibniz ‐ . Simbol disebut tanda integral integral sign . Simbol ini merupakan pemanjangan huruf S dari kata Latin summa yang berarti jumlah. Suku dalam notasi tersebut disebut integran integrand , sedangkan menyatakan bahwa integralnya terhadap variabel . Leibniz menyebut antiturunan sebagai integral tak­tentu indefinite integral . Sepertinya ia menggunakan kata tak‐tentu karena adanya konstanta sembarang pada antiturunan fungsi. Kata integral dalam Kalkulus diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan Swiss Jakob Bernoulli 1654-1705. Perhatikan bahwa , . . . Contoh 4.2 Carilah jika √ . Penyelesaian. Pers. . √ . Teorema berikut memberikan antiturunan fungsi pangkat. Teorema 4.1 Aturan pangkat Jika adalah bilangan rasional dan , maka . Bukti. Misalkan adalah bilangan rasional dan . Perhatikan terdefinisi karena . Jadi untuk bilangan rasional dan . â Untuk , Aturan pangkat memberikan . Contoh 4.3 Carilah √ dan √ . Penyelesaian. Dengan menggunakan Aturan pangkat kita dapatkan √ √ , √ √ . Antiturunan untuk fungsi trigonometri dasar diberikan oleh teorema berikut. Cobalah untuk membuktikannya Teorema 4.2 sin cos cos sin . Perhatian. Untuk membuktikan pernyataan , yang perlu ditunjukkan adalah . Dalam Bab , kita tahu bahwa turunan merupakan operator linear. Teorema berikut menyatakan hal yang sama untuk integral tak‐tentu. Teorema 4.3 Kelinearan integral tak­tentu Misalkan fungsi dan mempunyai antiturunan integral tak­tentu dan adalah konstanta, maka i , ii . Bukti. Kita akan membuktikan butir i . . Contoh 4.4 Carilah | | . Penyelesaian. Kita tahu | | . Kita tuliskan | | , dengan . Selanjutnya, | | Kelinearan integral tak tentu | | . Contoh 4.5 Carilah . Penyelesaian. sin sin Kelinearan integral tak tentu sin Kelinearan integral tak tentu cos cos . Teorema 4.4 Aturan pangkat yang diperumum Misalkan adalah fungsi yang terdiferensialkan dan adalah bilangan rasional dan . Maka . . Kunci utama untuk memakai Aturan pangkat yang digeneralisasi adalah kita harus dapat menentukan fungsi yang menjadi . Contoh 4.6 Carilah . Penyelesaian. Kita akan menggunakan Aturan pangkat yang digeneralisasi. Misalkan sin , sehingga cos , maka sin cos sin . Aturan pangkat yang digeneralisasi merupakan generalisasi Aturan pangkat. Untuk lebih memudahkan melihat kebenaran pernyatan tersebut, kita misalkan , sehingga . Selanjutnya, persamaan . dapat ditulis menjadi , yang merupakan Aturan pangkat dengan sebagai peubah. Contoh 4.7 Carilah . Penyelesaian. Misalkan sin , maka cos . Selanjutnya, cos sin sin . Persamaan diferensial adalah persamaan yang tidak‐diketahuinya the unknown adalah fungsi dan melibatkan turunan dari fungsi yang tidak‐diketahui tersebut. Suatu fungsi disebut solusi dari persamaan diferensial jika fungsi ini disubstitusi ke dalam persamaan diferensialnya, maka persamaan tersebut menjadi benar. Ada banyak jenis persamaan diferensial. Di sini, kita akan meninjau persamaan diferensial orde‐satu yang dapat dipisah, maksudnya persamaan ini melibatkan hanya turunan pertama dari fungsi yang tidak‐diketahui dan peubahnya dapat dipisahkan. Secara umum persamaan diferensial ini mempunyai bentuk . . Persamaan diferensial dengan bentuk seperti persamaan . dapat ditulis sebagai . . Fungsi yang memenuhinya dapat dicari dengan cara mengintegralkan kedua ruas persamaan . . Contoh 4.8 Buktikanlah bahwa , , dan adalah solusi persamaan diferensial . Penyelesaian. Untuk sin , kita tahu bahwa cos . Selanjutnya, cos sin . Sedangkan untuk , kita dapatkan , sehingga . ‹ Contoh 4.9 Tentukanlah persamaan kurva di bidang yang melalui titik , dan kemiringannya di tiap titik adalah sepertiga akar ordinatnya Penyelesaian. Misalkan adalah persamaan kurva yang dicari. Diketahui dan √ . Selanjutnya, Karena , maka kita dapatkan . Jadi persamaan kurva yang dicari adalah . ‹ Contoh 4.10 Dari ketinggian berapa dari permukaan bumi suatu bola harus dilepas agar mencapai permukaan bumi dengan kecepatan ­50 ms? Percepatan gravitasi bumi dimisalkan ­10 ms 2 . Penyelesaian. Misalkan adalah ketinggian bola dari permukaan bumi pada saat , dengan adalah waktu ketika bola dilepas. Percepatan jatuhnya bola mengikuti percepatan gravitasi bumi, sehingga , dan kecepatan bola pada saat ditentukan oleh . Karena bola dilepas bukan dilempar , maka kecepatan awal bola adalah ms . Akibatnya, . Dari , kita tahu bola tersebut menyentuh tanah pada saat . Selanjutnya, . Karena , maka . Jadi ketinggian awal bola adalah m. ‹ Contoh 4.11 Populasi badak di suatu cagar alam bertumbuh dengan laju sebanding akar kubik besar populasinya. Jika pada tahun 1980 terdapat 100 badak di cagar alam tersebut dan menjadi 120 badak pada tahun 1990, pada tahun berapa populasi badak di cagar alam tersebut mencapai 140 ekor? Diasumsikan tidak ada kematian badak sejak tahun 1980. Penyelesaian. Pertama‐tama kita buat acuan waktu tahun berkorespondensi dengan tahun dan kita misalkan adalah besar populasi badak pada saat tahun. Dari soal, kita tahu √ , , dan . Parameter menyatakan laju pertumbuhan populasi badak per kapita. Selanjutnya, √ √ √ . Dari , kita dapatkan √ . Lalu dari , kita dapatkan √ √ . Selanjutnya kita cari yang memenuhi . ni dipenuhi untuk , . Jadi pada tahun , populasi badak di cagar alam tersebut menjadi ekor. ‹ Latihan 4.1 Buku Latihan subbab 4.1. Bahan pendalaman. 1. Subbab . dan . dari Kalkulus, Jilid , E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. , Penerbit Erlangga, Jakarta, . 2. Subbab . dan . dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, ed., Pearson Education nternational, New Jersey, .

4.2. Luas dan jumlah Riemann