Bab4 IntegralTentu TujuanInstruksionalKhusus

Bab 4   

Integral Tentu

 

 

Tujuan )nstruksional Khusus. Mahasiswa mampu:   

. mencari  antiturunan  fungsi  dan  menggunakan  antiturunan  untuk  menyelesaikan 

persamaan diferensial orde satu peubah terpisah, 

. menggunakan definisi untuk menghitung integral tentu sebagai limit penjumlahan, 

. menghitung jumlah Riemann dengan menggunakan titik evaluasi kiri, kanan, dan 

tengah  dengan  bantuan  Teknologi  )nformasi  dan  Komputer  T)K   dan  menggunakannya untuk menjelaskan pengertian intuitif dari integral tentu, 

. menghitung integral dengan menggunakan sifat integral tentu, aturan pangkat, dan 

substitusi umum,   

. membangun  dan  mengevaluasi  integral  untuk  menghitung  luas  bidang  datar, 

volume  benda  putar,  luas  permukaan  benda  putar,  kerja  yang  dilakukan  oleh  perubahan  gaya,  momen  dan  pusat  massa  lamina  datar  dan  sentroit  dari  daerah  bidang datar.   

Waktu pembelajaran :   minggu.

Pada  Bab    kita  telah  mempelajari  konsep  diferensiasi  differentiation ,  yaitu  pencarian 

turunan  derivative  dari fungsi. Pada bab ini kita akan mempelajari kebalikan dari konsep 

diferensiasi,  yaitu  pencarian  antiturunan  antiderivative   dari  fungsi.  Konsep  ini  dikenal 

sebagai antidiferensiasi  antidifferentation  atau integrasi  integration . Selain itu, kita juga 

akan mempelajari beberapa aplikasi konsep ini.

4.1   

Antiturunan (integral tak­tentu)

 

Proses  pencarian  antiturunan  fungsi  merupakan  proses  kebalikan  dari  proses  pencarian  turunan  fungsi.  Namun  demikian  ada  perbedaan  hasil  dari  kedua  proses  tersebut.  Dalam  proses  diferensiasi,  turunan  suatu  fungsi  merupakan  suatu  fungsi  pula,  sedangkan  dalam  proses  antidiferensiasi,  antiturunan  suatu  fungsi  merupakan  suatu  keluarga fungsi satu‐parameter  1­parameter function family , bukan suatu fungsi.

Definisi  4.1    Fungsi   disebut  suatu  antiturunan    fungsi   pada  interval   jika 

 pada  , yaitu:   untuk setiap    di  . 

Contoh  4.1    Fungsi  ,  ,  dan   

merupakan  beberapa  antiturunan  fungsi     pada  ∞, ∞ .  Hal  ini 

disebabkan   

F   ,

   

   

F   ,

untuk setiap    di  ∞, ∞ . 

Secara umum,  , dengan    adalah sembarang bilangan riil, merupakan 

antiturunan umum dari    .    ‹

Maple  dapat  digunakan  untuk  mencari  suatu  antiturunan  umum  fungsi.  Perintah  yang  digunakan  adalah  int fungsi,peubah .  Untuk  Contoh  . ,  masukannya  adalah    int *x   + ,x ;, sedangkan keluarannya adalah x   +x.

Perhatian. (asil yang diberikan Mapple tidak memuat konstanta  .   

   

 

Gambar  . : Grafik fungsi    kurva sambung ,  

  kurva putus‐putus  dan    kurva titik‐titik . 

Adakah  perbedaan  antar  anggota  keluarga  fungsi  satu‐parameter?  Gambar  .   memuat grafik beberapa anggota tersebut untuk Contoh  . . Grafik anggota keluarga fungsi  dapat diperoleh dengan cara menggeser secara vertikal suatu grafik anggota fungsi. 

 

Perhatian.  Untuk  selanjutnya,  yang  dimaksud  dengan  antiturunan  adalah  antiturunan  umum.   

Notasi untuk menyatakan antiturunan fungsi    adalah     

    .

Notasi ini dicetuskan pertama kali oleh matematikawan Jerman G.W. Leibniz  ‐ . 

Simbol     disebut tanda integral   integral sign . Simbol ini merupakan "pemanjangan" 

huruf  S  dari  kata  Latin summa  yang  berarti  jumlah.  Suku    dalam  notasi  tersebut 

disebut integran    integrand ,  sedangkan    menyatakan  bahwa  integralnya terhadap 

variabel  .  Leibniz  menyebut  antiturunan  sebagai  integral  tak­tentu    indefinite 

integral . Sepertinya ia menggunakan kata "tak‐tentu" karena adanya konstanta sembarang 

  pada antiturunan fungsi.       

Perhatikan bahwa     

  ,        .  

   

    .        .  

Contoh 4.2 Carilah         jika   √ . 

Penyelesaian.     

         

   

         Pers.   .

   

 

√ .        

 

Teorema berikut memberikan antiturunan fungsi pangkat.   

Teorema 4.1 (Aturan pangkat)   Jika    adalah bilangan rasional dan  , maka   

      .

Bukti. Misalkan    adalah bilangan rasional dan  . Perhatikan   

               terdefinisi karena 

      .

Jadi      untuk bilangan rasional    dan  .      â       

Untuk  , Aturan pangkat memberikan      .

Contoh 4.3 Carilah   √    dan   

√   . 

Penyelesaian. Dengan menggunakan Aturan pangkat kita dapatkan   

 √     /     /    _{√ ,}

   

 

√     /     /  √ .      

Antiturunan  untuk  fungsi  trigonometri  dasar  diberikan  oleh  teorema  berikut.  Cobalah  untuk membuktikannya!

Teorema 4.2     

 sin   cos

   

 cos   sin .

 

Perhatian.  Untuk  membuktikan  pernyataan      ,  yang  perlu 

ditunjukkan adalah  .

Dalam  Bab  ,  kita  tahu  bahwa  turunan  merupakan  operator  linear.  Teorema  berikut  menyatakan hal yang sama untuk integral tak‐tentu.

Teorema 4.3 (Kelinearan integral tak­tentu)      Misalkan fungsi   dan    mempunyai  antiturunan (integral tak­tentu) dan   adalah konstanta, maka   

i          ,

   

ii          .

 

Bukti. Kita akan membuktikan butir  i .     

                  

       

  .          Contoh 4.4   Carilah   | |  . 

Penyelesaian. Kita tahu     

| | .

Kita tuliskan  | |   , dengan  . Selanjutnya,     

 | |        

       

             Kelinearan integral tak tentu

       

   | |

   

Contoh 4.5 Carilah      .  Penyelesaian. 

  sin         sin            Kelinearan integral tak tentu

       sin            Kelinearan integral tak tentu

       cos

      cos .       

   

Teorema 4.4 (Aturan pangkat yang diperumum)      Misalkan   adalah fungsi yang  terdiferensialkan dan    adalah bilangan rasional dan  . Maka   

      .       .  

 

Kunci utama untuk memakai Aturan pangkat yang digeneralisasi adalah kita harus dapat 

menentukan fungsi yang menjadi  .

Contoh 4.6 Carilah      . 

Penyelesaian.  Kita  akan  menggunakan  Aturan  pangkat  yang  digeneralisasi.  Misalkan 

sin , sehingga  cos , maka 

   

 sin cos        

   

   

sin

.    

Aturan pangkat yang digeneralisasi merupakan generalisasi Aturan pangkat. Untuk lebih 

memudahkan  melihat  kebenaran  pernyatan  tersebut,  kita  misalkan  ,  sehingga 

  . Selanjutnya, persamaan  .  dapat ditulis menjadi   

    ,

yang merupakan Aturan pangkat dengan    sebagai peubah. Contoh 4.7 Carilah        . 

Penyelesaian. Misalkan  sin , maka  cos   . Selanjutnya,   

 cos   sin      

       

sin

.          

Persamaan  diferensial  adalah  persamaan  yang  tidak‐diketahuinya  the unknown  

adalah  fungsi  dan  melibatkan  turunan  dari  fungsi  yang  tidak‐diketahui  tersebut.  Suatu  fungsi  disebut  solusi  dari  persamaan  diferensial  jika  fungsi  ini  disubstitusi  ke  dalam  persamaan diferensialnya, maka persamaan tersebut menjadi benar.

Ada  banyak  jenis  persamaan  diferensial.  Di  sini,  kita  akan  meninjau  persamaan  diferensial  orde‐satu  yang  dapat  dipisah,  maksudnya  persamaan  ini  melibatkan  hanya  turunan pertama dari fungsi yang tidak‐diketahui dan peubahnya dapat dipisahkan. Secara  umum persamaan diferensial ini mempunyai bentuk 

   

.       .    

Persamaan diferensial dengan bentuk seperti persamaan  .  dapat ditulis sebagai    .       .  

Fungsi    yang  memenuhinya  dapat  dicari  dengan  cara  mengintegralkan  kedua  ruas 

persamaan  . .

Contoh  4.8  Buktikanlah  bahwa  ,  ,  dan   adalah  solusi 

persamaan diferensial  . 

Penyelesaian.  Untuk  sin ,  kita  tahu  bahwa  cos .  Selanjutnya, 

cos sin .  Sedangkan  untuk  ,  kita  dapatkan  , 

sehingga  .      ‹   

Contoh 4.9 Tentukanlah persamaan kurva di bidang   yang melalui titik  ,  dan  kemiringannya di tiap titik adalah sepertiga akar ordinatnya! 

Penyelesaian.  Misalkan    adalah  persamaan  kurva  yang  dicari.  Diketahui   

dan  √ . Selanjutnya, 

   

   

   

 

   

Karena  ,  maka  kita  dapatkan  .  Jadi  persamaan  kurva  yang  dicari  adalah 

.        ‹

Contoh 4.10 Dari ketinggian berapa dari permukaan bumi suatu bola harus dilepas agar  mencapai  permukaan  bumi  dengan  kecepatan  ­50  m/s?  Percepatan  gravitasi  bumi  dimisalkan ­10 m/s2_. 

Penyelesaian.  Misalkan    adalah  ketinggian  bola  dari  permukaan  bumi  pada  saat  , 

dengan    adalah  waktu  ketika  bola  dilepas.  Percepatan  jatuhnya  bola  mengikuti 

percepatan  gravitasi  bumi,  sehingga    ,  dan  kecepatan  bola  pada  saat   

ditentukan  oleh        .  Karena  bola  dilepas  bukan  dilempar , 

maka  kecepatan  awal  bola  adalah    m/s  .  Akibatnya,  .  Dari 

  ,  kita  tahu  bola  tersebut  menyentuh  tanah  pada  saat  .  Selanjutnya, 

      .  Karena  ,  maka  .  Jadi  ketinggian 

awal bola adalah   m.      ‹

Contoh 4.11 Populasi badak di suatu cagar alam bertumbuh dengan laju sebanding akar  kubik besar populasinya. Jika pada tahun 1980 terdapat 100 badak di cagar alam tersebut  dan menjadi 120 badak pada tahun 1990, pada tahun berapa populasi badak di cagar alam  tersebut mencapai 140 ekor? Diasumsikan tidak ada kematian badak sejak tahun 1980.  Penyelesaian. Pertama‐tama kita buat acuan waktu    tahun berkorespondensi dengan 

tahun   dan kita misalkan    adalah besar populasi badak pada saat    tahun. Dari 

soal, kita tahu   √ ,  , dan  . Parameter    menyatakan laju 

pertumbuhan populasi badak per kapita. Selanjutnya,   

 

√      

   

   

   

 √

 √   / .

Dari  ,  kita  dapatkan  √ .  Lalu  dari  ,  kita  dapatkan 

√ √ _{. Selanjutnya kita cari    yang memenuhi  . )ni dipenuhi untuk} 

, . Jadi pada tahun  , populasi badak di cagar alam tersebut menjadi   ekor. 

Latihan 4.1 Buku Latihan subbab 4.1. 

Bahan pendalaman.   

1. Subbab  .  dan  .  dari Kalkulus, Jilid  , E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed.  , 

Penerbit Erlangga, Jakarta,  .

2. Subbab  .  dan  .  dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon,   ed., Pearson 

Education )nternational, New Jersey,  . 

   

4.2.

 

Luas

 

dan

 

jumlah

 

Riemann

 

 

Dalam  bagian  ini  kita  akan  mempelajari  jumlah  Riemann.  Jumlah  Riemann  ini  berkaitan dengan luas aproksimasi dari daerah antara kurva dan  sumbu    dan menjadi  konsep dasar untuk integral tentu pada subbab  . .

Untuk  memudahkan  penulisan  jumlah  Riemann,  akan  diperkenalkan  notasi  sigma 

∑   .  Jumlah      suku  riil    dapat  ditulis  secara  ringkas  sebagai 

∑    .  Jumlah      dapat  ditulis  secara  ringkas 

menjadi  ∑      .

Perhatian. )ndeks dalam jumlah merupakan indeks boneka  dummy index , sehingga 

  ∑   ∑   ∑   .

Teorema 4.5 (Kelinearan jumlah)   Jika   adalah konstanta, maka   

i             

   

ii               .

 

Rumus 4.1   Beberapa rumus jumlah yang penting:   

i          

   

ii        

   

iii        

iv           .  

Contoh 4.12 Tentukanlah ∑    , jika ∑     dan  ∑    .  Penyelesaian. 

                        Teorema  . .

       

.

. .         Rumus  .         

   

Contoh 4.13 Hitunglah ∑   . 

Penyelesaian.   

 

       

.          

Maple dapat dipakai untuk menyederhanakan jumlah. Untuk mendefinisikan suatu  jumlah dalam Maple, kita menggunakan perintah sum pola,iterasi .

Contoh 4.14 Kita tinjau jumlah  ∑   . Dengan masukan sebagai  berikut

t  := sum i   , i= ..n ; simplify t ;

factor t ;

kita dapatkan  ∑       .             

Misalkan  kita  ingin  mencari  luas  daerah    yang  dibatasi  kurva  , 

sumbu‐ ,  sumbu‐ ,  dan  garis    lihat  Gambar  .   A .  Luas  daerah  tersebut  dapat 

diaproksimasi dengan bantuan persegi panjang.        

         

 

  Gambar  . : A : Daerah    yang dibatasi kurva  , sumbu‐ , sumbu‐ , 

dan garis  . B, C, dan D : Daerah    diaproksimasi berturut‐turut dengan persegi 

panjang kanan, kiri dan tengah.    

Mula‐mula kita bentuk partisi    dari interval  ,   menjadi    subinterval  lebar  tiap  subinterval  tidak  harus  sama,  namun  untuk  memudahkan  perhitungan  lebar,  tiap  subinterval  dipilih  sama .  Lalu  kita  konstruksi    persegi  panjang  tegak.  Makin  banyak  persegi panjang yang digunakan    makin besar , tentulah hasil yang didapat akan makin  mendekati luas yang sebenarnya.

Berdasarkan  jenis  perpotongan  persegi  panjang  tersebut  dengan  kurva  yang  diberikan, ada   pendekatan persegi panjang, yaitu:   

1. persegi  panjang  kiri,  yaitu  titik  sudut  kiri  atas  masing‐masing  persegi  panjang  menyinggung kurva, lihat Gambar  .   C

2. persegi panjang kanan, yaitu titik sudut kanan atas masing‐masing persegi panjang 

menyinggung kurva, lihat Gambar  .   B  

3. persegi panjang tengah, yaitu titik tengah sisi atas masing‐masing persegi panjang 

memotong kurva, lihat Gambar  .   D . 

  Untuk  suatu  daerah  yang  sama,  umumnya  ketiga  pendekatan  tersebut  menghasilkan tinggi persegi panjang yang berbeda walaupun subintervalnya sama.

Contoh 4.15 Aproksimasikanlah luas daerah   yang dibatasi kurva  , sumbu­ ,  sumbu­ , dan garis   dengan menggunakan 5 persegi panjang kiri. Kemudian dengan  menggunakan   persegi panjang kiri, hitunglah luas daerah   sesungguhnya. 

Penyelesaian. Mula‐mula bagilah interval  ,   menjadi   subinterval sama panjang, yaitu 

     

  Gambar  . : Daerah    diaproksimasi dengan   persegi panjang kiri.  

       

      ,       ,       ,       ,    

      ,       ,       ,       ,    

      ,     ,       ,       ,       ,    

   

  Tabel  .  : Tabel luas   persegi panjang kiri     

Dengan menggunakan program spreadsheet Excell kita dapat memperoleh Tabel  . . 

Besaran    menyatakan  luas  persegi  panjang    yang  merupakan  hasil  kali  panjang 

  dan  lebar  .  Dari  tabel  tersebut  kita  dapatkan  luas  aproksimasi  daerah   

dengan menggunakan   persegi panjang adalah  ∑   , .  Cobalah untuk 

, , apa yang dapat disimpulkan?

Gambar  dan  hasil  di  atas  dapat  diperoleh  dengan  menggunakan  Mapple.  Perintahnya adalah sebagai berikut.

with student ; f := x   + ;

leftbox f, x= .. ,  ;

kiri := leftsum f, x= .. ,  ; value kiri ;

Jika kita menggunakan    persegi panjang kiri dalam mengaproksimasi daerah  , 

maka  . Panjang masing‐masing persegi panjang kiri    dapat dilihat pada Tabel   

. .

 

       

      /n      /n      /

      /   /       /  

   

  Tabel  .  : Tabel luas    persegi panjang kiri     

  Luas  daerah    yang  diaproksimasi  dengan    persegi  panjang  kiri  adalah 

sebagai berikut.     

   

   

 

   

             Teorema

   

                 Rumus

   

 

   

  .

Luas  daerah    yang  sesungguhnya  didapat  jika  banyaknya  persegi  panjang  yang 

digunakan tak hingga  ∞ , yaitu     

lim  

   

lim       .

(asil ini dapat diperiksa dengan menggunakan perintah Maple sebagai berikut. kiri := leftsum f, x= .. , n ;

value kiri ;

limit value kiri , n=infinity ;

Jadi luas daerah    sesungguhnya adalah    satuan luas.      ‹     

Contoh 4.16   Aproksimasilah luas daerah   yang dibatasi kurva  , sumbu­ ,  sumbu­ ,  dan  garis   dengan  menggunakan  5  persegi  panjang  kanan.  Kemudian  dengan menggunakan    persegi panjang kanan, hitunglah luas daerah   sesungguhnya.  Penyelesaian. Dengan membagi interval  ,   menjadi   subinterval  yang sama  panjang, 

    Gambar  .  : Daerah    diaproksimasi dengan   persegi panjang kanan.      

       

      ,       ,       ,       ,      

        ,       ,     ,       ,      

      ,       ,     ,       ,       ,  

 

    Tabel  . : Tabel luas   persegi panjang kanan     

Tabel  .  berisi luas   persegi panjang yang digunakan. Dari tabel ini kita dapatkan  luas  aproksimasi  daerah    dengan  menggunakan    persegi  panjang  kanan  adalah 

∑   , .

Gambar  dan  hasil  di  atas  dapat  diperoleh  dengan  menggunakan  perintah  Mapple  sebagai berikut.

with student ; f := x   + ;

rightbox f, x= .. ,  ;

kanan := rightsum f, x= .. ,  ; value kanan ;

Jika  kita  menggunakan    persegi  panjang  kanan  dalam  mengaproksimasi  luas 

daerah  , maka  . Panjang masing‐masing persegi panjang dapat dilihat pada Tabel 

. .

 

       

      /n      /n      /        

        /     /         /        

   

  Tabel  . : Tabel panjang    persegi panjang kanan       

   

   

 

   

             Teorema  .

   

                 Rumus  .

   

 

   

  .

Selanjutnya, luas daerah    sesungguhnya adalah     

lim  

   

lim       .

  (asil di atas dapat diperiksa dengan menggunakan perintah Mapple sebagai berikut. kanan := rightsum f, x= .. , n ;

value kanan ;

limit value kanan , n=infinity .

Jadi luas daerah    sesungguhnya adalah    satuan luas.      ‹

Perhatian. Perhatikan perbedaan mulainya indeks dalam notasi sigma yang dipakai pada  dua contoh di atas.

Misalkan    adalah  fungsi  yang  terdefinisi  pada  interval  tutup  , .  Fungsi    tersebut tidak harus kontinu pada  ,   dan dapat bernilai positif, nol ataupun negatif.

Konstruksilah  partisi    pada  interval  ,   menjadi    subinterval  tidak  perlu  sama  panjang,  namun  untuk  memudahkan  perhitungan  biasanya  dipilih  sama  panjang , 

yaitu  .  Misalkan  panjang  subintervalnya  adalah 

.  Ambil  sembarang  titik  sampel    dari  tiap  subinterval  dengan 

     

  Gambar  .  : Partisi    pada interval tutup  , .    

Jumlah     

   

disebut  jumlah  Riemann   Riemann  sum     untuk    bersesuaian  dengan  partisi  . 

Jumlah ini mempunyai interpretasi geometri seperti pada Gambar  . , yaitu jumlah luas 

bertanda  persegi  panjang  di  antara  kurva    dengan  sumbu  .  Persegi  panjang  yang 

berada di atas sumbu    bertanda positif  karena  , sedangkan yang berada di 

bawah sumbu    bertanda negatif  karena  . Jika dikaitkan dengan notasi dalam 

materi tentang luas, kita dapatkan     

  /   .

     

  Gambar  .  : Jumlah Riemann untuk    sesuai partisi    pada interval tutup  , .    

Berdasarkan letak titik sampel  , ada   jenis jumlah Riemann, yaitu:   

1. Jumlah  Riemann  kiri  jika    yang  digunakan  adalah  batas  kiri  subintervalnya.  Di  sini  kita  dapatkan  luas  aproksimasi  bertanda  dengan  pendekatan  persegi  panjang  kiri.

      

Georg Riemann (1826-1866) adalah matematikawan Jerman yang meletakkan pengembangan dasar konsep keintegralan fungsi.

2. Jumlah Riemann kanan jika    yang digunakan adalah batas kanan subintervalnya.  Di sini digunakan pendekatan persegi panjang kanan. 

3. Jumlah Riemann tengah jika    yang digunakan adalah titik tengah subintervalnya. 

Contoh  4.17  Carilah  jumlah  Riemann  tengah  untuk   pada  interval  ,   dengan menggunakan titik­titik partisi yang berjarak sama  .  Penyelesaian. Karena titik‐titik partisi yang digunakan berjarak sama, maka  . 

 

       

      ‐ ,       ‐ ,       ,       ,       ,    

        ‐       ‐      

      ‐       ‐      

 

  Tabel  . : Tabel Riemann tengah 

Dari tabel berikut kita dapatkan  .    ‹

Latihan 4.2 Buku Latihan subbab 4.2. 

Bahan pendalaman.   

1. Subbab  .  dan  .  dari Kalkulus, Jilid  , E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed.  , 

Penerbit Erlangga, Jakarta,  .

2. Subbab  .  dan  .  dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon,   ed., Pearson 

Education )nternational, New Jersey,  . 

   

4.3.

 

Integral

 

tentu

 

dan

 

teorema

 

dasar

 

Kalkulus

 

       

Definisi 4.2   Misalkan   adalah fungsi yang didefinisikan pada interval tutup  , . Jika   

lim

| |      

ada,  maka    dikatakan  terintegralkan    integrable   pada  , .  Lebih  lanjut, 

       disebut integral tentu    definite integral  atau integral Riemann  Riemann 

integral       dari    ke    dan diberikan oleh   

     _{| |}lim       .

Notasi  | |  pada definisi di atas disebut norm      dan mempunyai makna panjang 

Definisi 4.3     

    ,

   

        ,         .

 

)ntegral  tentu  fungsi    dari    hingga    ditulis  sebagai      .  Yang  perlu 

diingat  dalam  penulisan  tersebut,  peubah    merupakan  peubah  boneka    dummy 

variable ,  sehingga  dapat  diganti  dengan  huruf  lain  dan  tetap  mempunyai  makna  yang 

sama, maksudnya 

      .

Perlu  diingat,       dapat  diinterpretasikan  sebagai luas daerah bertanda    dari 

daerah di antara kurva    dan sumbu‐   dalam interval  , .

Contoh 4.18 Hitunglah integral      . 

Penyelesaian. Kita akan menggunakan Riemann kanan dengan panjang tiap subintervalnya 

sama, yaitu  / . Akibatnya contoh ini mempunyai data seperti dalam Contoh  . . 

Dari contoh tersebut kita dapatkan tabel berikut.  

       

      /n      /n        /      

        /     /       /      

 

Jumlah  Riemann  kanan  untuk    yang  bersesuaian  untuk  partisi  ini 

adalah   

            .

  Karena   

lim

| |       lim

   

  ,

maka    terintegralkan pada  , . Selanjutnya,      .    ‹ 

Contoh  4.19  Tinjau  fungsi   pada interval  tutup  , .  Untuk   yang merupakan  bilangan  rasional  berlaku  ,  sedangkan   jika    merupakan  bilangan  irasional . Perhatikan, fungsi ini tidak mempunyai limit dan tidak kontinu di mana pun pada  interval tutup  , .

      

Jika  kita  pilih    adalah  bilangan  rasional  dan    sangat  kecil,  maka  jumlah 

Riemann  ∑     .  Namun,  jika  kita  pilih    adalah  bilangan  irasional,  maka 

jumlah  Riemann  ∑     .  Akibatnya,  lim| |  ∑       tidak  ada.  Jadi, 

fungsi    tidak terintegralkan.    ‹

Teorema berikut memberikan syarat fungsi agar mempunyai integral tentu.

Teorema 4.6 (Teorema keterintegralan)     Jika   terbatas pada  ,  dan   kontinu  pada  ,  (kecuali  pada  sejumlah  hingga  titik),  maka    terintegralkan  pada  , .  Secara khusus, jika   kontinu pada seluruh interval  , , maka   terintegralkan pada 

, . 

Contoh 4.20 Periksalah apakah fungsi bilangan bulat terbesar   terintegralkan pada  interval  , . 

Penyelesaian.  Fungsi   terbatas  pada  , ,  karena  pada  interval  tersebut 

.  Lebih  lanjut    kontinu  pada  , ,  kecuali  pada  , , , , . 

Berdasarkan  Teorema  keterintegralan,  fungsi  bilangan  bulat  terbesar    _{terintegralkan} 

pada interval  , .      ‹

 

Teorema  berikut  ini  memberikan  hubungan  antara  konsep  turunan  dan  integral  tentu.

Teorema 4.7 (Teorema dasar Kalkulus I)      Misalkan   kontinu pada interval tutup 

,  dan   adalah peubah pada interval buka  , , maka   

    .

Yang  perlu  diperhatikan  dalam  memakai  Teorema  dasar  Kalkulus  )  adalah  batas  bawah  integralnya  konstan,  sedangkan  batas  atas  integral  dan  turunannya  terhadap 

peubah yang sama, yaitu  .

Contoh 4.21 Carilah   jika        . 

Penyelesaian.  Perhatikan  cos   merupakan  fungsi  kontinu  pada  ∞, ∞ . 

Selanjutnya,     

   cos  tan  

   

        cos  tan .         Teo.  dasar Kalkulus )

Penyelesaian.  Kita  tahu  cos   kontinu  pada  ∞, ∞ .  Misalkan  ,  maka 

    . Selanjutnya,     

   cos  

   

 cos            Aturan Rantai

   

cos                Teo.  dasar Kalkulus )

   

   cos .    

Konsep integral tak‐tentu berbeda dengan konsep integral tentu. Teorema berikut 

memberikan hubungan antara integral tentu dengan integral tak‐tentu.

Teorema 4.8 (Teorema dasar Kalkulus II)     Misalkan   kontinu pada interval  ,   dan   suatu antiturunan dari  , maka   

    | .

Teorema  dasar  Kalkulus  ))  sangat  membantu  dalam  mencari  suatu  integral  tentu. 

Jika kita tahu fungsi yang dicari integral tentunya mempunyai antiturunan, maka integral 

tentu  tersebut  dapat  dicari  melalui  antiturunannya,  sehingga  tidak  perlu  dicari  melalui  limit jumlah Riemann.

 

Perhatian.  Mengapa  kita  tidak  mendefinisikan        sebagai  ,  tetapi 

melalui jumlah Riemann  lihat Definisi  . ? Pertama, kita belum tentu tahu antiturunan  . 

Ke dua, kalau kita mendefinisikan        sebagai  , kita tidak mempunyai 

makna geometri dari      .

Contoh 4.23 Hitunglah      . 

Penyelesaian.  Perhatikan,    kontinu  pada  ,   dan      . 

Berdasarkan Teorema dasar Kalkulus )) kita dapatkan   

    | .      

   

Contoh 4.24 Carilah   jika        . 

         

   

      .

Kita  tahu  fungsi    kontinu  pada  ∞, ∞ ,  sehingga  dengan  menggunakan 

Teorema  dasar  Kalkulus  )  kita  peroleh      .  Lebih  lanjut,  kita  tahu 

    ,  sehingga  dari  Teorema  dasar  Kalkulus  ))  kita  dapatkan      . 

Jadi,     

.             

Teorema 4.9 (Teorema nilai rata­rata untuk integral)   Jika   kontinu pada  , ,  maka terdapat bilangan   di antara   dan  , sedemikian sehingga   

      .

Besaran        disebut nilai rata­rata  average value  dari    pada  , .

Contoh 4.25 Hitunglah nilai rata­rata dari    | | pada interval  , .  Penyelesaian. Grafik fungsi    dapat dilihat pada Gambar  . . 

     

  Gambar  . : Grafik  | |.

Nilai rata‐rata dari    | |  pada  ,   diberikan oleh       | |  .

Kita  tahu      dan   | |   | |   lihat  Contoh  . . 

Berdasarkan  Kelinearan  integral  tak‐tentu  kita  dapatkan      | |   | |   . 

Lebih  lanjut,  karena  fungsi    | |  kontinu  pada  , ,  maka  berdasarkan 

Teorema dasar Kalkulus )), kita dapatkan     

    | |   | |   | .

Cara  lain  kita  gunakan  grafik  fungsi  .  Nilai  dari       | |    dapat  dicari  sebagai negatif dari luas segitiga kiri ditambah luas segitiga kanan, yaitu ‐   +   =  . Jadi 

nilai rata‐rata dari    | |  pada  ,   adalah  .      ‹

Latihan 4.3 Buku Latihan subbab 4.3. 

Bahan pendalaman.   

1. Subbab  . ,  . ,  .  dari Kalkulus, Jilid  , E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed.  , 

Penerbit Erlangga, Jakarta,  .

2. Subbab  . ,  .   dan  .   dari Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,    ed., 

Pearson Education )nternational, New Jersey,  . 

       

4.4. Luas di bawah kurva

 

     

  Gambar  . : Daerah di antara kurva    dan sumbu‐   pada  .

   

Misalkan    pada  , .  Luas  daerah  di  bawah  kurva    pada 

,   lihat Gambar  .  diberikan oleh   

    .

Contoh 4.26 Carilah luas daerah di bawah kurva   pada  , . 

Penyelesaian. Grafik daerah di bawah kurva    pada  ,   dapat dilihat pada Gambar 

. . Kita tahu fungsi    kontinu pada  ,   dan      . 

   

  Gambar  . : Daerah di bawah kurva    pada  , .    

Luas daerah yang dicari adalah     

    |          Teo.  dasar Kalkulus ))

   

.      

Contoh 4.27 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva  √ , garis    dan  sumbu  . 

Penyelesaian. Daerah yang dimaksud dapat dilihat pada Gambar  . . 

     

  Gambar  . : Daerah yang dibentuk dari kurva  √ ,   

garis    dan sumbu  .

 

Selanjutnya,     

 √      

   

  √ _|  

| .

Jadi luas daerah yang diarsir adalah    satuan luas.      ‹

Perluasan. Jika ada grafik    yang sebagian berada di bawah sumbu    dan sebagian lagi  di atas sumbu  , maka kita perlu membagi daerahnya dalam menghitung luasnya. Contoh  berikut membahas persoalan ini.

Contoh  4.28  Hitunglah  luas  daerah  yang  diapit    | | dan  sumbu   pada 

, . 

Penyelesaian.  Daerah  yang  diapit    | |  dan  sumbu    pada  ,   dapat 

    | |      | | 

   

 | |  

|  | |   |

   

.

Jadi  luas  daerah  yang  diapit    | |  dan  sumbu    pada  ,   adalah   

satuan luas.

Cara  lain,  luas  segitiga  yang  dicari  didapat  dari  luas  segitiga  kiri  ditambah  luas 

segitiga kanan, yaitu   +   =  . Jadi luas daerah yang diapit    | |  dan sumbu   

pada  ,   adalah   satuan luas.      ‹

Latihan 4.4 Buku Latihan subbab 4.4 

Bahan pendalaman.   

1. Subbab  .  dari Kalkulus, Jilid  , E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed.  , Penerbit 

Erlangga, Jakarta,  .

2. Subbab  .   dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,    ed.,  Pearson 

Education )nternational, New Jersey,  . 

 

4.5. Sifat-sifat integral tentu

Teorema  4.10  (Sifat  gabungan  interval)    Jika    terintegralkan pada  interval yang  memuat titik  ,   dan  , maka   

             .

Gambar  .  memberikan ilustrasi geometris dari Teorema Sifat gabungan interval. 

     

  Gambar  . : )llustrasi Sifat Gabungan )nterval pada integral tentu.    

Contoh 4.29 Hitunglah      , dengan   

√ ,        

,         .

 

Penyelesaian.     

     √      

   

√ _{| | .}    

   

Teorema  4.11  (Sifat  perbandingan)    Jika   dan   terintegralkan  pada  ,  dan 

  untuk setiap   di  , , maka 

   

        .

Contoh 4.30 Buktikanlah    √    tanpa menghitung integralnya. 

Penyelesaian.  Misalkan  sin√   dan    dengan  .  Karena   

dan    kontinu  pada  [ , ],  maka  berdasarkan  Teorema  Keterintegralan    dan 

  terintegralkan  pada  [ , ].  Selain  itu,    untuk  setiap    di  [ , ]. 

Berdasarkan Sifat Perbandingan  integal tentu , kita miliki   

 sin√       .      

Teorema 4.12 (Sifat keterbatasan)   Jika   terintegralkan pada  ,  dan 

 untuk setiap    di  , , maka   

        .

Contoh 4.31 Carilah batas bawah dan batas atas dari      . 

Penyelesaian.  Misalkan  .  Fungsi    terbatas  pada  , ,  karena  pada 

interval  tersebut  , , .  Karena    kontinu  pada  , ,  maka    juga 

kontinu  pada  interval  tersebut.  Berdasarkan  Teorema  keterintegralan,  fungsi   

terintegralkan pada  , .

,       ,   .

Jadi batas bawah dan batas atas dari        berturut‐turut adalah  ,  dan 

, .      ‹

Teorema  4.13  (Kelinearan  integral  tentu)    Misalkan   dan   terintegralkan pada 

,  dan   adalah konstanta, maka    dan    terintegralkan dan    

i             

   

ii          .

 

Contoh  4.32  Diketahui       dan      .  Hitunglah     

  . 

Penyelesaian. Berdasarkan Teorema kelinearan integral tentu, kita dapatkan   

       

       

. .

)ngat, peubah dalam integral adalah peubah boneka.    ‹ 

Latihan 4.5 Buku Latihan subbab 4.5 

Bahan pendalaman.   

1. Subbab  . ,  .   dari Kalkulus,  Jilid  ,  E.J.  Purcell,  D.  Varberg,  S.E.  Rigdon,  Ed.  , 

Penerbit Erlangga, Jakarta,  .

2. Subbab  .   dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,    ed.,  Pearson 

Education )nternational, New Jersey,  . 

   

4.6. Substitusi dalam integral tentu

Teorema 4.14 Misalkan   mempunyai turunan yang kontinu pada  ,   dan   kontinu  pada daerah hasil dari  , maka   

      ,

dengan  . 

Contoh 4.33 Hitunglah    √

Penyelesaian.  Misalkan  √ ,  sehingga   

√   .  Karena  ,  maka 

.     

  √

√      

 

| .       

 

Perhitungan  integral  tentu  dari  fungsi  genap  dan  fungsi  ganjil  dapat  dipermudah  dengan menggunakan teorema berikut. 

 

Teorema 4.15 (Teorema Simetri)    Jika   adalah fungsi genap, maka   

        .

Jika    adalah fungsi ganjil, maka     

    .

Contoh 4.34 Hitunglah   | |  . 

Penyelesaian.  Fungsi  sin   merupakan  fungsi  ganjil,  sedangkan  fungsi  |sin | 

adalah fungsi genap. Akibatnya, 

   

 |sin |   |sin |           Teorema simetri

   

         sin cos | .   

   

Contoh 4.35 Misalkan    fungsi genap dan      . Tentukanlah        .  Penyelesaian.  Kita  tahu    adalah  fungsi  ganjil  dan    adalah  fungsi  genap,  maka 

perkalian  kedua  fungsi  itu,  yaitu    ,  menghasilkan  fungsi  ganjil.  Selanjutnya, 

berdasarkan Teorema simetri kita dapatkan        .        ‹   

 

Beri  keterangan  bahwa  periode  ini  sdh  dibahas  di  bab    Fungsi    disebut  periodik    jika ada bilangan  , sedemikian sehingga    untuk setiap    di  daerah  asal  dari  .  Bilangan  positif  terkecil  dari    tersebut  disebut periode    dari  .  Contoh  fungsi  periodik  adalah  fungsi  trigonometri.  Keperiodikan  suatu  fungsi  dapat  dipakai  dalam  menghitung  integral  tentu  fungsi  tersebut  seperti  yang  tertulis  dalam  teorema berikut.

        .

Contoh 4.36 Hitunglah   sin   . 

Penyelesaian.  )ngat,  fungsi  sin   merupakan  fungsi  ganjil  dan  fungsi  periodik  dengan 

periode    . Selanjutnya, dengan Teorema  .  dan Teorema simetri, kita dapatkan   

 sin    sin    sin  

   

         sin    sin   .     

   

Latihan 4.6 Buku Latihan subbab 4.6. 

Bahan pendalaman.

1. Subbab  .  dari Kalkulus, Jilid  , E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed.  , Penerbit 

Erlangga, Jakarta,  .

2. Subbab  .   dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,    ed.,  Pearson 

Education )nternational, New Jersey,  . 

       

4.7.

 

Penerapan

 

dari

 

integral

 

tentu

 

 

4.7.1

   

Luas

 

daerah

 

bidang

 

datar

 

   

 

  Gambar  . : Daerah di antara kurva    dan sumbu‐   pada  .

   

Konsep pencarian luas daerah di bawah kurva pada subbab  .  dapat dimodifikasi 

sebagai  berikut.  Misalkan    pada  , .  Luas  daerah  di  antara  kurva   

    .

Contoh 4.37 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva     dan sumbu  .  Penyelesaian. Daerah yang dibatasi oleh kurva      dan sumbu    dapat dilihat 

pada Gambar  .  berikut ini. 

     

  Gambar  . : Daerah yang dibatasi oleh kurva      dan sumbu  .

     

        | .

Jadi luas daerah yang dibatasi oleh      dan sumbu    adalah    satuan luas. ‹     

Selanjutnya, kita akan mempelajari cara mencari  , yaitu luas daerah bidang datar 

  yang terletak di antara dua kurva    dan    seperti yang terdapat pada 

Gambar  . .  Di  sini,  batas  bawah  daerah  yang  sebelummnya  dibatasi  oleh  sumbu‐  

diganti dengan kurva  .

     

  Gambar  . : Daerah    di antara kurva  ,    dan  .

   

)de untuk mendapatkan luas daerah    tersebut adalah berikut ini.   

masing‐masing pita  . 

     

  Gambar  . : Daerah    dibagi dalam pita‐pita vertikal.   

Luas    =    .

     

2. Approksimasi luas daerah pita  , yaitu  , dengan menganggap pita    sebagai 

persegi panjang, sehingga     

  .

 

3. Luas daerah    dapat diaproksimasi dengan jumlah luas aproksimasi semua pita, 

yaitu     

      .

 

4. Ambil limit lebar semua pita mendekati  , sehingga didapat integral tentu yang 

memberikan luas daerah yang dimaksud, yaitu     

lim       .

Untuk  memudahkan  kita  dalam  pencarian  luas  daerah  bidang  datar,  kita  ringkas  idenya sebagai berikut.   

1. Iris daerah yang dimaksud menjadi potongan vertikal dan ambil satu potongan.

2. Aproksimasi luas potongan tersebut.    

  3. Integralkan luas daerah yang dicari.     

     

  Gambar  . : Daerah    dibagi dalam pita‐pita horizontal.   

Luas    =    .

   

Dengan  cara  penurunan  yang  mirip,  kita  dapatkan  prosedur  untuk  mendapatkan  luas daerah    seperti dalam Gambar  . , yaitu:   

1. Iris daerah    menjadi potongan horizontal dan ambil satu potongan horizontal.

2. Aproksimasi luas potongan tersebut.    

  3. Integralkan luas daerah yang dicari.     

 

Contoh  4.38  Carilah  luas  daerah  yang  dibatasi  oleh   dan   dengan  menggunakan partisi vertikal. 

Penyelesaian.  Kurva    dan  garis    berpotongan  di  .  Sketsa  daerah 

yang dimaksud dapat dilihat pada Gambar  . . Kita ambil satu potongan vertikal dan kita  aproksimasi luas potongan tersebut, yaitu:     

     

  Gambar  . : Daerah yang dibatasi oleh    dan  .

 

Selanjutnya,     

   

   

              adalah fungsi genap

   

  | .

Jadi luas daerah yang dibatasi oleh    dan    adalah    satuan luas.      ‹

Contoh  4.39  Carilah  luas  daerah  yang  dibatasi  oleh   dan   dengan  menggunakan partisi horizontal. 

Penyelesaian.  Tulis    sebagai    dan  , 

dengan  .  Sketsa  daerah  yang  dimaksud  dapat  dilihat  pada  Gambar  . .  Kita 

ambil satu potongan horizontal dan kita aproksimasi luas potongan tersebut, yaitu:   

   

     

  Gambar  . : Daerah yang dibatasi oleh    dan  .        

Selanjutnya,     

   

   

   

| .

Jadi luas daerah yang dibatasi oleh    dan    adalah    satuan luas.      ‹

Latihan 4.7 Buku Latihan subbab 4.7.1. 

Bahan pendalaman.   

1. Subbab  .  dari Kalkulus, Jilid  , E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed.  , Penerbit 

Erlangga, Jakarta,  .

2. Subbab  .   dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,    ed.,  Pearson 

Education )nternational, New Jersey,  . 

 

4.7.2 Volume benda putar 

 

Benda  putar    adalah  benda  yang  terbentuk  akibat  suatu  kurva  atau  daerah  diputar  mengelilingi  suatu  garis.  Benda  putar  hasil  pemutaran  suatu  daerah  merupakan 

benda pejal  solid . Untuk menghitung volume benda putar  pejal , kita akan meninjau tiga 

metode,  yaitu  metode  cakram,  metode  cincin  dan  metode  kulit  tabung.  Untuk  jelasnya,  ketiga metode tersebut akan dibahas langsung melalui contoh soal.

4.7.2.1 Metode cakram

)de  metode  cakram  method  of  disks     adalah  volume  benda  putar  dapat 

diaproksimasi dari penjumlahan sejumlah cakram, dan cakram tersebut adalah hasil rotasi 

suatu persegi panjang mengelilingi garis sumbu  lihat Gambar  . .

   

 

  Gambar  . : Kiri: Persegi panjang diputar mengelilingi suatu sumbu putar.  Kanan: Benda putar hasil rotasi persegi panjang tersebut.

   

Contoh 4.40 Misalkan   adalah daerah di kuadran I yang dibatasi kurva    dan  garis  .  Hitunglah  volume  benda  putar  yang  terbentuk  jika  daerah    diputar  mengelilingi sumbu  . 

Penyelesaian. 

       

 

  Gambar  . : Kiri: Daerah    pada kwadran ) yang dibatasi oleh    dan   

garis  . Kanan: Benda putar dari daerah    mengelilingi sumbu  .

   

Sketsa daerah    dapat dilihat pada Gambar  . . Prosedur untuk mencari volume  mirip dengan prosedur mencari luas dengan pita vertikal yang telah kita pelajari, yaitu:   

1. Iris daerah yang dimaksud menjadi potongan vertikal, ambil satu potongan vertikal, 

dan putar potongan tersebut mengelilingi sumbu  .

2. Aproksimasi volume potongan putar tersebut sebagai tabung atau cakram 

jari‐jari    dan tinggi  , sehingga     

      .

 

3. Integralkan volume benda putar yang dicari,        .

Dengan memakai prosedur tersebut, kita dapatkan     

   

   

         

   

 

|   .

Jadi volume benda putar yang terbentuk dari daerah    yang diputar mengelilingi sumbu 

  adalah      satuan volume.      ‹

Contoh 4.41 Misalkan   adalah daerah di kuadran I yang dibatasi kurva    dan  garis  .  Hitunglah  volume  benda  putar  yang  terbentuk  jika  daerah    diputar  mengelilingi sumbu  . 

Penyelesaian. Sketsa daerah    dapat dilihat pada Gambar  . . Tulis    sebagai 

.  Prosedurnya  mirip  dengan  prosedur  mencari  luas  dengan  pita  horizontal,  yaitu:   

1. Iris daerah yang dimaksud menjadi potongan horizontal, ambil satu potongan 

horizontal, dan putar potongan tersebut mengelilingi sumbu  . 

2. Aproksimasi volume potongan putar tersebut sebagai tabung atau cakram 

jari‐jari    dan tinggi  , yaitu     

    .

3. Integralkan volume benda putar yang dicari        .

 

         

  Gambar  . : Kiri: Daerah    pada kwadran ) yang dibatasi oleh    dan 

garis  . Kanan: Benda putar dari daerah    mengelilingi sumbu  .

 

Dengan memakai prosedur tersebut, kita dapatkan   

     

   

        | ,   .

Jadi volume benda putar yang terbentuk dari daerah    yang diputar mengelilingi sumbu 

  adalah  ,     satuan volume.      ‹

Latihan 4.8 Buku Latihan subbab 4.7.2. 

Bahan pendalaman.   

1. Subbab  .  dari Kalkulus, Jilid  , E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed.  , Penerbit 

Erlangga, Jakarta,  .

2. Subbab  .  dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon,   ed., Pearson 

Education )nternational, New Jersey,  . 

 

 

Metode  cincin  method of washers     adalah  perluasan  metode  cakram.  Di  sini 

daerah yang diputar tidak berpotongan dengan sumbunya, sehingga ketika hasil putarnya  menghasilkan lubang di tengah  cakram berubah menjadi seperti cincin .

     

  Gambar  . : Kiri: Persegi panjang diputar mengelilingi suatu sumbu putar.  Kanan: Benda putar hasil rotasi persegi panjang tersebut.

   

Contoh 4.42 Misalkan daerah   dibatasi oleh   dan  . Hitunglah volume benda  putar yang terbentuk jika daerah   diputar mengelilingi sumbu­ . 

Penyelesaian. Sketsa daerah yang dimaksud dapat dilihat pada Gambar  . . Untuk mencari 

volume benda putarnya, kita menggunakan prosedur berikut:   

1. Iris daerah yang dimaksud menjadi potongan vertikal, ambil satu potongan vertikal 

dan putar potongan tersebut mengelilingi sumbu  . 

2. Aproksimasi  volume  potongan  putar  tersebut  sebagai cincin  jari‐jari  lingkaran 

luar dan dalamnya berturut‐turut adalah  ,    dan tebal  , yaitu   

    .

 

3. Integralkan volume benda putar yang dicari,        .

     

  Gambar  . : Kiri: Daerah    yang dibatasi oleh    dan  .   

Kanan: Benda putar hasil daerah    yang diputar pada sumbu    bagian tengah  yang tidak diarsir .

   

Pada  contoh  ini,    dan  .  Dengan  menerapkan  prosedur  di  atas,  kita 

dapatkan   

   

   

   

   

               daerah A simetris terhadap sumbu y

   

    |   .

Jadi volume benda putar yang terbentuk dari daerah    yang diputar mengelilingi sumbu 

  adalah  ,     satuan volume.      ‹

Contoh  4.43  Misalkan daerah   terletak di kuadran I dan dibatasi kurva  .  Hitunglah volume benda putar yang terbentuk jika daerah   diputar mengelilingi garis 

. 

Penyelesaian. Kita tuliskan    sebagai  . Sketsa daerah yang dimaksud 

dapat dilihat pada Gambar  . . Untuk mencari volume benda putarnya, kita menggunakan  prosedur berikut: 

       

 

  Gambar  . : Kiri: Daerah    di kwadaran ) yang dibatasi oleh  . 

Kanan: Benda putar hasil daerah    yang diputar pada garis     

antara silinder dengan "kerucut" lengkung terbalik .        

1. Iris daerah yang dimaksud menjadi potongan horizontal dan ambil satu potongan 

horizontal. 

2. Aproksimasi volume potongan putar tersebut. 

    ,

      dengan    adalah jari‐jari luar dan    adalah jari‐jari dalam. 

3. Integralkan volume benda putar yang dicari.       

Dalam  contoh  ini,    menentukan  jari‐jari  luar  dan   

menentukan  jari‐jari  dalam.  )ngat,  jari‐jarinya  dihitung  terhadap  sumbu  putar  , 

bukan sumbu‐ . Dengan menerapkan prosedur di atas, kita dapatkan   

     

   

   

   

    / _{|    ,   .}

Jadi  volume  benda  putar  yang  terbentuk  dari  daerah    yang  diputar  mengelilingi  garis 

  adalah  ,     satuan volume.      ‹

Latihan 4.9 Buku Latihan subbab 4.7.2. 

Bahan pendalaman.   

1. Subbab  .  dari Kalkulus, Jilid  , E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed.  , Penerbit 

Erlangga, Jakarta,  . 

2. Subbab  .   dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,    ed.,  Pearson 

Education )nternational, New Jersey,  . 

 

4.7.2.3 Metode kulit tabung   

Kalau  dalam  metode  cakram  dan  metode  cincin,  irisan  yang  dibuat tegak lurus 

dengan sumbu putarnya, maka dalam metode kulit tabung  method of shells , irisan yang 

dibuat sejajar dengan sumbu putarnya.

     

  Gambar  . : Kiri: Persegi panjang diputar mengelilingi suatu sumbu putar.  Tengah: Benda putar hasil rotasi persegi panjang tersebut.   

   

Contoh  4.44  Misalkan    adalah  daerah  di  kuadran  I  yang  berada  di  bawah  kurva 

 pada interval  , . Hitunglah volume benda putar yang terbentuk jika daerah 

 diputar mengelilingi sumbu­ . 

Penyelesaian.  Sketsa  daerah    dapat  dilihat  pada  Gambar  . .  Langkah  untuk  mencari 

volume benda putar dengan metode kulit tabung  tegak  adalah sebagai berikut:   

1. Iris daerah yang dimaksud menjadi potongan vertikal dan ambil satu potongan dan 

putar mengelilingi sumbu‐ .

2. Aproksimasi volume potongan putar tersebut sebagai balok  panjang  , lebar 

, tinggi  , sehingga 

   

  ,

      dengan    menentukan tutup tabung dan    menentukan alas tabung. 

3. Integralkan volume benda putar yang dicari. 

   

     

    Gambar  . : Daerah A pada kuadran ) yang dibatasi oleh    dengan 

.    

Aproksimasi volume pita vertikal rotasi adalah 

   

        .

  Selanjutnya, volume benda putarnya adalah   

        |   .    

   

Contoh 4.45 Suatu daerah yang dibatasi kurva  , garis   dan sumbu­   diputar  mengelilingi garis  . Hitunglah volume benda pejal yang terbentuk. 

Penyelesaian.  Sketsa  daerah    dapat  dilihat  pada  Gambar  . .  Langkah  untuk  mencari 

volume benda putar dengan metode kulit tabung  mendatar  adalah sebagai berikut: 

     

  Gambar  . : Daerah    di kuadran ) yang dibatasi oleh kurva    garis 

  dan sumbu‐ .        

1. Iris daerah yang dimaksud menjadi potongan horizontal dan ambil satu potongan 

horizontal. 

2. Aproksimasi volume potongan putar tersebut  panjang      , lebar  , tinggi  , sehingga 

   

        ,

      dengan    adalah tutup kanan tabung dan    adalah tutup kiri tabung. 

3. Integralkan volume benda putar yang dicari. 

   

     

Volume  aproksimasi  dari  pita  horizontal  yang  diputar  mengelilingi  garis   

adalah     

        .

Dalam contoh ini, jari‐jari tabungnya adalah  , bukan    karena jari‐jarinya dihitung 

terhadap sumbu putar  .

Selanjutnya,     

        |      .       

   

Latihan 4.10 Buku Latihan subbab 4.7.2. 

Bahan pendalaman.   

1. Subbab  .  dari Kalkulus, Jilid  , E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed.  , Penerbit 

Erlangga, Jakarta,  . 

2. Subbab  .   dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,    ed.,  Pearson 

 

4.7.3 Luas permukaan benda putar   

Misalkan fungsi    dapat diturunkan secara kontinu pada  , . Panjang kurva      dari 

titik  ,   hingga titik  , , dengan  , , diberikan oleh   

    .

Denggan menggunakan Teorema dasar Kalkulus ), kita dapatkan   

.

Akibatnya, diferensial panjang kurva      dapat ditulis sebagai     

  .

Frustum kerucut  adalah  bagian  permukaan  kerucut  yang  terletak  di  antara   

bidang yang tegak lurus sumbu kerucut  permukaan yang diarsir pada Gambar  . . Jika 

suatu frustum kerucut mempunyai jari‐jari    dan    dan tinggi miring  , maka luasnya 

diberikan oleh     

      .

   

Gambar  . : Suatu frustum kerucut.    

     

  Gambar  . : Permukaan benda putar dan suatu irisannya.    

Misalkan  ,  ,  menentukan  suatu  kurva  mulus  yang  terletak  di 

atas  sumbu‐ .  Jika  kurva  tersebut  diputar  mengelilingi  sumbu‐ ,  maka  akan  terbentuk 

permukaan  irisan  benda  putar  sebagai  frustum  kerucut      dan integral  lihat 

Gambar  . , maka luas permukaan benda putar yang terbentuk dapat dicari dengan   

       

   

         .

Contoh 4.46 Carilah luas permukaan benda putar yang terbentuk akibat kurva  ,  untuk  √ , diputar mengelilingi sumbu­ . 

Penyelesaian. Diketahui  , maka  . Luas permukaan yang dicari adalah   

    √       

   

 

√

  

   

|√      √ _.        

   

Latihan 4.11 Buku Latihan subbab 4.7.3. 

Bahan pendalaman.   

1. Subbab  .  dari Kalkulus, Jilid  , E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed.  , Penerbit 

Erlangga, Jakarta,  . 

2. Subbab  .   dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,    ed.,  Pearson 

Education )nternational, New Jersey,  . 

 

4.7.4 Kerja   

Pada bagian ini kita akan membahas konsep kerja  work     suatu gaya pada sebuah 

garis lurus.

Kerja yang dilakukan sebuah gaya konstan    sepanjang    pada sebuah garis lurus 

diberikan oleh    .

Contoh  4.47 Kerja yang diperlukan untuk mengangkat seember air dengan berat 5 N  setinggi 2 m adalah 10 Nm atau 10 J.     ‹

Kerja  yang  dilakukan  gaya    di  sini  gaya  tidak  konstan,  bergantung  pada 

lurus  diberikan oleh     

   

   

Contoh 4.48 Sebuah bak mandi berbentuk kubus dengan panjang sisinya adalah 1 m. Tiga  per empat bagian bak tersebut berisi air. Setelah Andi mandi, ketinggian air di bak tersebut  berkurang 30 cm. Hitunglah kerja yang dilakukan Andi dalam mengambil air hingga ke  permukaan bak mandi! Misalkan berat jenis air adalah 10 N/m3_. 

Penyelesaian.  Sketsa  bak  mandi  tersebut  dapat  dilihat  pada  Gambar  . .  Pada  bidang 

depan bak mandi tersebut kita buat sistem koordinat. 

     

  Gambar  . : Sketsa bak mandi.    

Kita  akan  menentukan  usaha  yang  dilakukan  untuk  mengangkat  air  dalam  partisi 

balok  dengan  ketebalan  .  Volume  air  dalam  partisi  balok  tersebut  adalah    m , 

sehingga air dalam partisi tersebut mempunyai berat sebesar      N. Partisi balok air 

tersebut  akan  diangkat  ke  permukaan  bak  mandi,  sehingga  berpindah  sejauh    m 

selalu positif . Selanjutnya, usaha memindahkan partisi balok air tersebut ke permukaan 

air adalah     

    J.

Ketinggian air  dalam m  yang digunakan Andi mandi adalah  , , . Akibatnya, 

usaha yang dilakukan Andi adalah   

 

,

,       | ,

, _{, .}

Jadi usaha yang dilakukan Andi adalah  ,  J.      ‹

Latihan 4.12 Buku Latihan subbab 4.7.4. 

1. Subbab  .  dari Kalkulus, Jilid  , E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed.  , Penerbit 

Erlangga, Jakarta,  .

2. Subbab  .   dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,    ed.,  Pearson 

Education )nternational, New Jersey,  . 

 

4.7.5 Momen dan pusat massa   

Besaran momen  moment     adalah  hasil  kali  suatu  partikel  bermasa    dengan 

"jarak berarah"    directed distance  partikel tersebut terhadap suatu titik acuan. Besaran 

ini  mengukur  kecenderungan  partikel  untuk  menghasilkan  rotasi  terhadap  titik  acuan  tersebut. Pada Gambar  . , momen partikel terhadap segitiga tumpuannya adalah    . 

     

  Gambar  . : )llustrasi konsep momen.    

     

  Gambar  . : Jungkat jungkit dengan   partikel.    

Misalkan ada dua partikel bermassa    dan    yang terletak pada suatu jungkat 

jungkit  lihat  Gambar  . .  Jarak  kedua  partikel  tersebut  terhadap  segitiga  tumpuan 

sebagai  acuan  koordinat   adalah    dan  ,  sedangkan  "jarak  berarah"  atau 

koordinatnya  adalah    karena  di  sebelah  kiri    dan  .  Jungkat  jungkit 

akan  dalam  keadaan  setimbang  mendatar   jika  momen  total  kedua  partikel  tersebut 

terhadap titik   adalah nol      . Jungkat jungkit 

akan  miring  ke  arah  partikel    jika  momen  totalnya  positif    dan  akan  miring  ke 

arah partikel   jika momen totalnya negatif  .

     

  Gambar  . : Jungkat jungkit dengan    partikel.    

dan  mempunyai  koordinat  , , … ,   terhadap  titik    yang  berfungsi  sebagai  acuan. 

Momen total    partikel tersebut terhadap segi tiga tumpuan adalah   

        .

  Misalkan  keadaan  awal  jungkat  jungkit  tersebut  tidak  setimbang  ,  lihat  Gambar 

.  Atas  dan kita ingin menjadikannya setimbang. Agar jungkat jungkit tersebut menjadi  setimbang,  maka  kita  perlu  menggeser  segi  tiga  tumpuannya  ke  suatu  posisi  baru 

misalkan   yang menghasilkan    lihat Gambar  .  Bawah . Akibatnya, 

   

.        .    

  Dari persamaan  . , kita dapatkan     

∑    

∑   .

Titik    merupakan titik setimbang  balance point     dan disebut pusat massa  center of 

mass  . Singkatnya, titik ini didapat dari hasil bagi momen dengan massa.

     

  Gambar  . : Kawat tipis dengan densitas nonhomogen.    

Sekarang  kita  akan  meninjau  pusat  massa  dari  suatu  kawat  lurus  tipis  yang  mempunyai  densitas  massa  per  panjang   yang  nonhomogen.  Pertama‐tama  kita  buat 

koordinat  garis  untuk  kawat  tersebut  lihat  Gambar  . .  Misalkan  densitas  kawatnya 

pada posisi    adalah  . Untuk mendapatkan massa dan momen kawat tersebut, kita 

akan  menerapkan  langkah  iris, aproksimasi  dan integralkan.  Massa  irisannya  dapat 

diaproksimasi  dengan    ,  sehingga  massa  kawat  tersebut  adalah 

    . Lebih lanjut, momen irisannya terhadap titik    dapat diaproksimasi dengan 

    ,  sehingga  momen  kawat  tersebut  terhadap  titik    adalah 

      . Jadi pusat massa kawat tipis nonhomogen tersebut adalah   

     

    .

Lalu bagaimana dengan pusat massa dari    partikel jika partikel‐partikel tersebut  terdistribusi dalam suatu bidang seperti pada Gambar  . ?

     

  Gambar  . : Distribusi    partikel di bidang.    

  Untuk kasus ini, pusat massanya diberikan oleh   

∑    

∑   ,

   

∑    

∑   ,

dengan    dan    berturut‐turut  adalah  momen  total  terhadap  sumbu‐   dan 

sumbu‐ .

     

  Gambar  . : Lamina yang dibatasi kurva  ,    dan  .

   

Lamina    adalah suatu lempengan tipis. Kita akan meninjau lamina homogen, yang 

berarti  densitas  massanya    sama  di  setiap  titik.  Sebuah  lamina  berbentuk  persegi 

panjang mempunyai pusat massa di perpotongan kedua diagonalnya.

Sekarang kita akan meninjau pusat massa dari lamina yang tidak berbentuk persegi 

panjang.  Misalkan  kita  mempunyai  lamina  yang  dibatasi  oleh  ,    dan 

     

  Gambar  . : Lamina diiris menjadi pita‐pita vertikal.    

Dengan menggunakan prosedur iris, aproksimasi dan integralkan, kita dapatkan 

massa lamina tersebut adalah   

    .

Lebih  lanjut,  momen  lamina  tersebut  terhadap  sumbu‐   dan  sumbu‐   berturut‐turut 

diberikan oleh     

      ,

   

      .

Momen  total  terhadap  sumbu‐     didapat  dari  aproksimasi  momen  suatu  irisan 

terhadap  sumbu‐ ,  yaitu      .  Jadi 

pusat massa  ,   lamina homogen tersebut diberikan oleh   

     

    ,

   

   

    .

  Pada  rumus  pusat  tersebut  ternyata  densitas  lamina  tidak  mempunyai  pengaruh,  sehingga masalah pusat massa lamina homogen menjadi masalah geometri semata, bukan 

masalah  fisika.  Oleh  karena  itu,  biasanya  kita  menyebut  titik  pusat  atau  sentroit   

centroid  daerah datar daripada pusat massa lamina homogen.

Contoh  4.49  Carilah sentroit daerah yang dibatasi oleh sumbu­ , sumbu­   dan kurva  . 

      |

   

      | ,

   

        | , .

Jadi pusat massa lamina tersebut adalah  , , .        ‹

Latihan 4.13 Buku Latihan subbab 4.7.5. 

Bahan pendalaman.   

1. Subbab  .  dari Kalkulus, Jilid  , E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed.  , Penerbit 

Erlangga, Jakarta,  . 

2. Subbab  .   dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,    ed.,  Pearson 

Education )nternational, New Jersey,  . 

     

lurus  diberikan oleh     

   

   

Contoh 4.48 Sebuah bak mandi berbentuk kubus dengan panjang sisinya adalah 1 m. Tiga  per empat bagian bak tersebut berisi air. Setelah Andi mandi, ketinggian air di bak tersebut  berkurang 30 cm. Hitunglah kerja yang dilakukan Andi dalam mengambil air hingga ke  permukaan bak mandi! Misalkan berat jenis air adalah 10 N/m3. 

Penyelesaian.  Sketsa  bak  mandi  tersebut  dapat  dilihat  pada  Gambar  . .  Pada  bidang  depan bak mandi tersebut kita buat sistem koordinat. 

     

  Gambar  . : Sketsa bak mandi.    

Kita  akan  menentukan  usaha  yang  dilakukan  untuk  mengangkat  air  dalam  partisi  balok  dengan  ketebalan  .  Volume  air  dalam  partisi  balok  tersebut  adalah    m ,  sehingga air dalam partisi tersebut mempunyai berat sebesar      N. Partisi balok air  tersebut  akan  diangkat  ke  permukaan  bak  mandi,  sehingga  berpindah  sejauh    m  selalu positif . Selanjutnya, usaha memindahkan partisi balok air tersebut ke permukaan 

air adalah     

    J.

Ketinggian air  dalam m  yang digunakan Andi mandi adalah  , , . Akibatnya,  usaha yang dilakukan Andi adalah   

  ,

,       | ,

, _{, .} Jadi usaha yang dilakukan Andi adalah  ,  J.      ‹

Latihan 4.12 Buku Latihan subbab 4.7.4.  Bahan pendalaman.     

1. Subbab  .  dari Kalkulus, Jilid  , E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed.  , Penerbit  Erlangga, Jakarta,  .

2. Subbab  .   dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,    ed.,  Pearson  Education )nternational, New Jersey,  . 

 

4.7.5 Momen dan pusat massa   

Besaran momen  moment     adalah  hasil  kali  suatu  partikel  bermasa    dengan  "jarak berarah"    directed distance  _{partikel tersebut terhadap suatu titik acuan. Besaran}  ini  mengukur  kecenderungan  partikel  untuk  menghasilkan  rotasi  terhadap  titik  acuan  tersebut. Pada Gambar  . , momen partikel terhadap segitiga tumpuannya adalah    . 

     

  Gambar  . : )llustrasi konsep momen.    

     

  Gambar  . : Jungkat jungkit dengan   partikel.    

Misalkan ada dua partikel bermassa    dan    yang terletak pada suatu jungkat  jungkit  lihat  Gambar  . .  Jarak  kedua  partikel  tersebut  terhadap  segitiga  tumpuan  sebagai  acuan  koordinat   adalah    dan  ,  sedangkan  "jarak  berarah"  atau  koordinatnya  adalah    karena  di  sebelah  kiri    dan  .  Jungkat  jungkit  akan  dalam  keadaan  setimbang  mendatar   jika  momen  total  kedua  partikel  tersebut 

terhadap titik   adalah nol      . Jungkat jungkit 

akan  miring  ke  arah  partikel    jika  momen  totalnya  positif    dan  akan  miring  ke  arah partikel   jika momen totalnya negatif  .

     

  Gambar  . : Jungkat jungkit dengan    partikel.    

dan  mempunyai  koordinat  , , … ,   terhadap  titik    yang  berfungsi  sebagai  acuan.  Momen total    partikel tersebut terhadap segi tiga tumpuan adalah   

        .

  Misalkan  keadaan  awal  jungkat  jungkit  tersebut  tidak  setimbang  ,  lihat  Gambar  .  Atas  dan kita ingin menjadikannya setimbang. Agar jungkat jungkit tersebut menjadi  setimbang,  maka  kita  perlu  menggeser  segi  tiga  tumpuannya  ke  suatu  posisi  baru 

misalkan   yang menghasilkan    lihat Gambar  .  Bawah . Akibatnya, 

   

.        .    

  Dari persamaan  . , kita dapatkan     

∑    

∑   .

Titik    merupakan titik setimbang  balance point     _dan disebut pusat massa  center of  mass  . Singkatnya, titik ini didapat dari hasil bagi momen dengan massa.

     

  Gambar  . : Kawat tipis dengan densitas nonhomogen.    

Sekarang  kita  akan  meninjau  pusat  massa  dari  suatu  kawat  lurus  tipis  yang  mempunyai  densitas  massa  per  panjang   yang  nonhomogen.  Pertama‐tama  kita  buat  koordinat  garis  untuk  kawat  tersebut  lihat  Gambar  . .  Misalkan  densitas  kawatnya  pada posisi    adalah  . Untuk mendapatkan massa dan momen kawat tersebut, kita  akan  menerapkan  langkah  iris, aproksimasi  dan integralkan.  Massa  irisannya  dapat  diaproksimasi  dengan    ,  sehingga  massa  kawat  tersebut  adalah 

    . Lebih lanjut, momen irisannya terhadap titik    dapat diaproksimasi dengan      ,  sehingga  momen  kawat  tersebut  terhadap  titik    adalah 

      . Jadi pusat massa kawat tipis nonhomogen tersebut adalah         

    .

Lalu bagaimana dengan pusat massa dari    partikel jika partikel‐partikel tersebut  terdistribusi dalam suatu bidang seperti pada Gambar  . ?

     

  Gambar  . : Distribusi    partikel di bidang.    

  Untuk kasus ini, pusat massanya diberikan oleh   

∑    

∑   ,

   

∑    

∑   ,

dengan    dan    berturut‐turut  adalah  momen  total  terhadap  sumbu‐   dan  sumbu‐ .

     

  Gambar  . : Lamina yang dibatasi kurva  ,    dan  .    

Lamina    adalah suatu lempengan tipis. Kita akan meninjau lamina homogen, yang 

berarti  densitas  massanya    sama  di  setiap  titik.  Sebuah  lamina  berbentuk  persegi  panjang mempunyai pusat massa di perpotongan kedua diagonalnya.

Sekarang kita akan meninjau pusat massa dari lamina yang tidak berbentuk persegi  panjang.  Misalkan  kita  mempunyai  lamina  yang  dibatasi  oleh  ,    dan 

     

  Gambar  . : Lamina diiris menjadi pita‐pita vertikal.    

Dengan menggunakan prosedur iris, aproksimasi dan integralkan, kita dapatkan  massa lamina tersebut adalah   

    .

Lebih  lanjut,  momen  lamina  tersebut  terhadap  sumbu‐   dan  sumbu‐   berturut‐turut 

diberikan oleh     

      ,

   

      .

Momen  total  terhadap  sumbu‐     didapat  dari  aproksimasi  momen  suatu  irisan 

terhadap  sumbu‐ ,  yaitu      .  Jadi 

pusat massa  ,   lamina homogen tersebut diberikan oleh   

     

    ,

   

   

    .

  Pada  rumus  pusat  tersebut  ternyata  densitas  lamina  tidak  mempunyai  pengaruh,  sehingga masalah pusat massa lamina homogen menjadi masalah geometri semata, bukan  masalah  fisika.  Oleh  karena  itu,  biasanya  kita  menyebut  titik  pusat  atau  sentroit   

centroid  daerah datar daripada pusat massa lamina homogen.

Contoh  4.49  Carilah sentroit daerah yang dibatasi oleh sumbu­ , sumbu­   dan kurva  . 

      |

   

      | ,

   

        | , .

Jadi pusat massa lamina tersebut adalah  , , .        ‹ Latihan 4.13 Buku Latihan subbab 4.7.5. 

Bahan pendalaman.   

1. Subbab  .  dari Kalkulus, Jilid  , E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed.  , Penerbit  Erlangga, Jakarta,  . 

2. Subbab  .   dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,    ed.,  Pearson  Education )nternational, New Jersey,  .