, ,
. Jadi batas bawah dan batas atas dari
berturut‐turut adalah , dan
, . ‹
Teorema 4.13 Kelinearan integral tentu
Misalkan dan terintegralkan pada , dan adalah konstanta, maka
dan terintegralkan dan
i
ii .
Contoh 4.32 Diketahui
dan .
Hitunglah .
Penyelesaian. Berdasarkan Teorema kelinearan integral tentu, kita dapatkan
. .
ngat, peubah dalam integral adalah peubah boneka. ‹
Latihan 4.5 Buku
Latihan subbab 4.5
Bahan pendalaman.
1. Subbab . , . dari Kalkulus, Jilid , E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. ,
Penerbit Erlangga, Jakarta, .
2. Subbab . dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, ed., Pearson
Education nternational, New Jersey, .
4.6. Substitusi dalam integral tentu
Teorema 4.14 Misalkan
mempunyai turunan yang kontinu pada , dan kontinu
pada daerah hasil dari , maka
, dengan
.
Contoh 4.33 Hitunglah
√ √
.
Penyelesaian. Misalkan
√ , sehingga
√
. Karena , maka
. √
√ |
. Perhitungan integral tentu dari fungsi genap dan fungsi ganjil dapat dipermudah
dengan menggunakan teorema berikut.
Teorema 4.15 Teorema Simetri Jika
adalah fungsi genap, maka .
Jika adalah fungsi ganjil, maka .
Contoh 4.34 Hitunglah
| | .
Penyelesaian. Fungsi sin
merupakan fungsi ganjil, sedangkan fungsi |sin |
adalah fungsi genap. Akibatnya, |sin
| |sin
| Teorema simetri
sin cos
| .
Contoh 4.35 Misalkan
fungsi genap dan .
Tentukanlah .
Penyelesaian. Kita tahu
adalah fungsi ganjil dan adalah fungsi genap, maka perkalian kedua fungsi itu, yaitu
, menghasilkan fungsi ganjil. Selanjutnya, berdasarkan Teorema simetri kita dapatkan
. ‹ Beri keterangan bahwa periode ini sdh dibahas di bab Fungsi disebut
periodik
jika ada bilangan , sedemikian sehingga untuk setiap di
daerah asal dari . Bilangan positif terkecil dari tersebut disebut periode dari .
Contoh fungsi periodik adalah fungsi trigonometri. Keperiodikan suatu fungsi dapat dipakai dalam menghitung integral tentu fungsi tersebut seperti yang tertulis dalam
teorema berikut.
Teorema 4.16
Jika adalah fungsi periodik dengan periode , maka
.
Contoh 4.36 Hitunglah
sin . Penyelesaian.
ngat, fungsi sin merupakan fungsi ganjil dan fungsi periodik dengan
periode . Selanjutnya, dengan Teorema . dan Teorema simetri, kita dapatkan sin
sin sin
sin sin
.
Latihan 4.6 Buku
Latihan subbab 4.6.
Bahan pendalaman.
1. Subbab . dari Kalkulus, Jilid , E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. , Penerbit
Erlangga, Jakarta, .
2. Subbab . dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, ed., Pearson
Education nternational, New Jersey, .
4.7. Penerapan dari integral tentu 4.7.1 Luas daerah bidang datar
