Cara lain kita gunakan grafik fungsi . Nilai dari | | dapat dicari
sebagai negatif dari luas segitiga kiri ditambah luas segitiga kanan, yaitu ‐ + = . Jadi nilai rata‐rata dari
| | pada , adalah . ‹
Latihan 4.3 Buku
Latihan subbab 4.3.
Bahan pendalaman.
1. Subbab . , . , . dari Kalkulus, Jilid , E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. ,
Penerbit Erlangga, Jakarta, .
2. Subbab . , . dan . dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, ed.,
Pearson Education nternational, New Jersey, .
4.4. Luas di bawah kurva
Gambar . : Daerah di antara kurva dan sumbu‐ pada
. Misalkan
pada , . Luas daerah di bawah kurva
pada , lihat Gambar . diberikan oleh
.
Contoh 4.26 Carilah
luas daerah di bawah kurva pada
, . Penyelesaian.
Grafik daerah di bawah kurva pada , dapat dilihat pada Gambar
. . Kita tahu fungsi kontinu pada , dan
.
Gambar . : Daerah di bawah kurva pada , .
Luas daerah yang dicari adalah | Teo. dasar Kalkulus
.
Contoh 4.27 Hitunglah
luas daerah yang dibatasi oleh kurva √ , garis
dan sumbu
. Penyelesaian.
Daerah yang dimaksud dapat dilihat pada Gambar . .
Gambar . : Daerah yang dibentuk dari kurva √ ,
garis dan sumbu .
Selanjutnya, √
√ |
| .
Jadi luas daerah yang diarsir adalah satuan luas. ‹
Perluasan.
Jika ada grafik yang sebagian berada di bawah sumbu dan sebagian lagi di atas sumbu , maka kita perlu membagi daerahnya dalam menghitung luasnya. Contoh
berikut membahas persoalan ini.
Contoh 4.28 Hitunglah
luas daerah yang diapit | | dan sumbu pada
, . Penyelesaian.
Daerah yang diapit | | dan sumbu pada
, dapat dilihat pada Gambar . . Selanjutnya,
| | | |
| | |
| | |
. Jadi luas daerah yang diapit
| | dan sumbu pada , adalah
satuan luas. Cara lain, luas segitiga yang dicari didapat dari luas segitiga kiri ditambah luas
segitiga kanan, yaitu + = . Jadi luas daerah yang diapit | | dan sumbu
pada , adalah satuan luas. ‹
Latihan 4.4 Buku
Latihan subbab 4.4
Bahan pendalaman.
1. Subbab . dari Kalkulus, Jilid , E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. , Penerbit
Erlangga, Jakarta, .
2. Subbab . dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, ed., Pearson
Education nternational, New Jersey, .
4.5. Sifat-sifat integral tentu
Teorema 4.10 Sifat gabungan interval
Jika terintegralkan pada interval yang memuat
titik , dan , maka .
Gambar . memberikan ilustrasi geometris dari Teorema Sifat gabungan interval.
Gambar . : llustrasi Sifat Gabungan nterval pada integral tentu.
Contoh 4.29 Hitunglah
, dengan √ ,
, .
Penyelesaian. √
√ |
| .
Teorema 4.11 Sifat perbandingan
Jika dan terintegralkan pada , dan
untuk setiap di , , maka
.
Contoh 4.30 Buktikanlah
√ tanpa menghitung integralnya.
Penyelesaian. Misalkan
sin√ dan dengan
. Karena dan
kontinu pada [ , ], maka berdasarkan Teorema Keterintegralan dan
terintegralkan pada [ , ]. Selain itu, untuk setiap di [ , ].
Berdasarkan Sifat Perbandingan integal tentu , kita miliki sin√
.
Teorema 4.12 Sifat keterbatasan
Jika terintegralkan pada , dan
untuk setiap di , , maka
.
Contoh 4.31 Carilah
batas bawah dan batas atas dari .
Penyelesaian. Misalkan
. Fungsi terbatas pada ,
, karena pada interval tersebut ,
, . Karena kontinu pada ,
, maka juga kontinu pada interval tersebut. Berdasarkan Teorema keterintegralan, fungsi
terintegralkan pada ,
. Berdasarkan Teorema Sifat keterbatasan, kita dapatkan
, ,
. Jadi batas bawah dan batas atas dari
berturut‐turut adalah , dan
, . ‹
Teorema 4.13 Kelinearan integral tentu
Misalkan dan terintegralkan pada , dan adalah konstanta, maka
dan terintegralkan dan
i
ii .
Contoh 4.32 Diketahui
dan .
Hitunglah .
Penyelesaian. Berdasarkan Teorema kelinearan integral tentu, kita dapatkan
. .
ngat, peubah dalam integral adalah peubah boneka. ‹
Latihan 4.5 Buku
Latihan subbab 4.5
Bahan pendalaman.
1. Subbab . , . dari Kalkulus, Jilid , E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. ,
Penerbit Erlangga, Jakarta, .
2. Subbab . dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, ed., Pearson
Education nternational, New Jersey, .
4.6. Substitusi dalam integral tentu
