Latihan 4.1 Buku
Latihan subbab 4.1.
Bahan pendalaman.
1. Subbab . dan . dari Kalkulus, Jilid , E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. ,
Penerbit Erlangga, Jakarta, .
2. Subbab . dan . dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, ed., Pearson
Education nternational, New Jersey, .
4.2. Luas dan jumlah Riemann
Dalam bagian ini kita akan mempelajari jumlah Riemann. Jumlah Riemann ini berkaitan dengan luas aproksimasi dari daerah antara kurva dan sumbu dan menjadi
konsep dasar untuk integral tentu pada subbab . . Untuk memudahkan penulisan jumlah Riemann, akan diperkenalkan notasi sigma
∑ . Jumlah suku riil dapat ditulis secara ringkas sebagai
∑ . Jumlah
dapat ditulis secara ringkas menjadi ∑
.
Perhatian. ndeks dalam jumlah merupakan indeks boneka dummy index , sehingga
∑ ∑
∑ .
Teorema 4.5 Kelinearan jumlah
Jika adalah konstanta, maka i
ii .
Rumus 4.1
Beberapa rumus jumlah yang penting: i
ii
iii
iv .
Contoh 4.12 Tentukanlah
∑ ,
jika ∑
dan ∑
. Penyelesaian.
Teorema . . .
. . Rumus .
Contoh 4.13 Hitunglah
∑ .
Penyelesaian.
. Maple dapat dipakai untuk menyederhanakan jumlah. Untuk mendefinisikan suatu
jumlah dalam Maple, kita menggunakan perintah sum pola,iterasi .
Contoh 4.14 Kita
tinjau jumlah ∑
. Dengan masukan sebagai
berikut t := sum i , i= ..n ;
simplify t ; factor t ;
kita dapatkan ∑ .
Misalkan kita ingin mencari luas daerah yang dibatasi kurva ,
sumbu‐ , sumbu‐ , dan garis lihat Gambar . A . Luas daerah tersebut dapat
diaproksimasi dengan bantuan persegi panjang.
Gambar . : A : Daerah yang dibatasi kurva , sumbu‐ , sumbu‐ ,
dan garis . B, C, dan D : Daerah diaproksimasi berturut‐turut dengan persegi
panjang kanan, kiri dan tengah. Mula‐mula kita bentuk partisi dari interval , menjadi subinterval lebar
tiap subinterval tidak harus sama, namun untuk memudahkan perhitungan lebar, tiap subinterval dipilih sama . Lalu kita konstruksi persegi panjang tegak. Makin banyak
persegi panjang yang digunakan makin besar , tentulah hasil yang didapat akan makin mendekati luas yang sebenarnya.
Berdasarkan jenis perpotongan persegi panjang tersebut dengan kurva yang diberikan, ada pendekatan persegi panjang, yaitu:
1. persegi panjang kiri, yaitu titik sudut kiri atas masing‐masing persegi panjang
menyinggung kurva, lihat Gambar . C 2.
persegi panjang kanan, yaitu titik sudut kanan atas masing‐masing persegi panjang menyinggung kurva, lihat Gambar . B
3. persegi panjang tengah, yaitu titik tengah sisi atas masing‐masing persegi panjang
memotong kurva, lihat Gambar . D . Untuk suatu daerah yang sama, umumnya ketiga pendekatan tersebut
menghasilkan tinggi persegi panjang yang berbeda walaupun subintervalnya sama. Contoh 4.15 Aproksimasikanlah
luas daerah yang dibatasi kurva ,
sumbu , sumbu
, dan garis dengan menggunakan 5 persegi panjang kiri. Kemudian dengan
menggunakan persegi panjang kiri, hitunglah luas daerah sesungguhnya.
Penyelesaian. Mula‐mula bagilah interval , menjadi subinterval sama panjang, yaitu
, . Perhatikan Gambar . berikut ini.
Gambar . : Daerah diaproksimasi dengan persegi panjang kiri.
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, Tabel . : Tabel luas persegi panjang kiri
Dengan menggunakan program spreadsheet Excell kita dapat memperoleh Tabel . . Besaran
menyatakan luas persegi panjang yang merupakan hasil kali panjang dan lebar
. Dari tabel tersebut kita dapatkan luas aproksimasi daerah dengan menggunakan persegi panjang adalah
∑ , . Cobalah untuk
, , apa yang dapat disimpulkan? Gambar dan hasil di atas dapat diperoleh dengan menggunakan Mapple.
Perintahnya adalah sebagai berikut. with student ;
f := x + ; leftbox f, x= .. , ;
kiri := leftsum f, x= .. , ; value kiri ;
Jika kita menggunakan persegi panjang kiri dalam mengaproksimasi daerah ,
maka . Panjang masing‐masing persegi panjang kiri
dapat dilihat pada Tabel . .
n n
Tabel . : Tabel luas persegi panjang kiri
Luas daerah yang diaproksimasi dengan persegi panjang kiri adalah sebagai berikut.
Teorema
Rumus
. Luas daerah yang sesungguhnya didapat jika banyaknya persegi panjang yang
digunakan tak hingga ∞ , yaitu
lim
lim .
asil ini dapat diperiksa dengan menggunakan perintah Maple sebagai berikut. kiri := leftsum f, x= .. , n ;
value kiri ; limit value kiri , n=infinity ;
Jadi luas daerah sesungguhnya adalah satuan luas. ‹
Contoh 4.16
Aproksimasilah luas daerah yang dibatasi kurva ,
sumbu , sumbu
, dan garis dengan menggunakan 5 persegi panjang kanan. Kemudian
dengan menggunakan persegi panjang kanan, hitunglah luas daerah sesungguhnya.
Penyelesaian. Dengan membagi interval , menjadi subinterval yang sama panjang,
kita dapatkan , . Perhatikan Gambar . berikut ini.
Gambar . : Daerah diaproksimasi dengan persegi panjang kanan.
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, Tabel . : Tabel luas persegi panjang kanan
Tabel . berisi luas persegi panjang yang digunakan. Dari tabel ini kita dapatkan luas aproksimasi daerah dengan menggunakan persegi panjang kanan adalah
∑ , .
Gambar dan hasil di atas dapat diperoleh dengan menggunakan perintah Mapple sebagai berikut.
with student ; f := x + ;
rightbox f, x= .. , ; kanan := rightsum f, x= .. , ;
value kanan ; Jika kita menggunakan persegi panjang kanan dalam mengaproksimasi luas
daerah , maka . Panjang masing‐masing persegi panjang dapat dilihat pada Tabel
. .
n n
Tabel . : Tabel panjang persegi panjang kanan Luas daerah dapat diaproksimasi dengan persegi panjang sebagai berikut.
Teorema .
Rumus .
. Selanjutnya, luas daerah sesungguhnya adalah
lim
lim .
asil di atas dapat diperiksa dengan menggunakan perintah Mapple sebagai berikut. kanan := rightsum f, x= .. , n ;
value kanan ; limit value kanan , n=infinity .
Jadi luas daerah sesungguhnya adalah satuan luas. ‹
Perhatian.
Perhatikan perbedaan mulainya indeks dalam notasi sigma yang dipakai pada dua contoh di atas.
Misalkan adalah fungsi yang terdefinisi pada interval tutup , . Fungsi tersebut tidak harus kontinu pada , dan dapat bernilai positif, nol ataupun negatif.
Konstruksilah partisi pada interval , menjadi subinterval tidak perlu sama panjang, namun untuk memudahkan perhitungan biasanya dipilih sama panjang ,
yaitu . Misalkan panjang subintervalnya adalah
. Ambil sembarang titik sampel dari tiap subinterval dengan
lihat Gambar . .
Gambar . : Partisi pada interval tutup , . Jumlah
disebut jumlah Riemann Riemann sum untuk bersesuaian dengan partisi . Jumlah ini mempunyai interpretasi geometri seperti pada Gambar . , yaitu jumlah luas
bertanda persegi panjang di antara kurva dengan sumbu . Persegi panjang yang
berada di atas sumbu bertanda positif karena , sedangkan yang berada di
bawah sumbu bertanda negatif karena . Jika dikaitkan dengan notasi dalam
materi tentang luas, kita dapatkan .
Gambar . : Jumlah Riemann untuk sesuai partisi pada interval tutup , . Berdasarkan letak titik sampel , ada jenis jumlah Riemann, yaitu:
1. Jumlah Riemann kiri jika yang digunakan adalah batas kiri subintervalnya. Di
sini kita dapatkan luas aproksimasi bertanda dengan pendekatan persegi panjang kiri.
Georg Riemann 1826-1866 adalah matematikawan Jerman yang meletakkan pengembangan dasar konsep keintegralan fungsi.
2. Jumlah Riemann kanan jika yang digunakan adalah batas kanan subintervalnya.
Di sini digunakan pendekatan persegi panjang kanan. 3.
Jumlah Riemann tengah jika yang digunakan adalah titik tengah subintervalnya.
Contoh 4.17 Carilah
jumlah Riemann tengah untuk pada interval
, dengan
menggunakan titiktitik partisi yang berjarak sama .
Penyelesaian. Karena titik‐titik partisi yang digunakan berjarak sama, maka
.
‐ , ‐ ,
, ,
, ‐
‐ ‐
‐ Tabel . : Tabel Riemann tengah
Dari tabel berikut kita dapatkan . ‹
Latihan 4.2 Buku
Latihan subbab 4.2.
Bahan pendalaman.
1. Subbab . dan . dari Kalkulus, Jilid , E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. ,
Penerbit Erlangga, Jakarta, .
2. Subbab . dan . dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, ed., Pearson
Education nternational, New Jersey, .
4.3. Integral tentu dan teorema dasar Kalkulus
