Integral tentu dan teorema dasar Kalkulus

2. Jumlah Riemann kanan jika yang digunakan adalah batas kanan subintervalnya. Di sini digunakan pendekatan persegi panjang kanan. 3. Jumlah Riemann tengah jika yang digunakan adalah titik tengah subintervalnya. Contoh 4.17 Carilah jumlah Riemann tengah untuk pada interval , dengan menggunakan titik­titik partisi yang berjarak sama . Penyelesaian. Karena titik‐titik partisi yang digunakan berjarak sama, maka . ‐ , ‐ , , , , ‐ ‐ ‐ ‐ Tabel . : Tabel Riemann tengah Dari tabel berikut kita dapatkan . ‹ Latihan 4.2 Buku Latihan subbab 4.2. Bahan pendalaman. 1. Subbab . dan . dari Kalkulus, Jilid , E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. , Penerbit Erlangga, Jakarta, . 2. Subbab . dan . dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, ed., Pearson Education nternational, New Jersey, .

4.3. Integral tentu dan teorema dasar Kalkulus

Definisi 4.2 Misalkan adalah fungsi yang didefinisikan pada interval tutup , . Jika lim | | ada, maka dikatakan terintegralkan integrable pada , . Lebih lanjut, disebut integral tentu definite integral atau integral Riemann Riemann integral dari ke dan diberikan oleh lim | | . Notasi | | pada definisi di atas disebut norm dan mempunyai makna panjang maksimum dari subinterval‐subinterval dalam partisi . Definisi 4.3 , , . ntegral tentu fungsi dari hingga ditulis sebagai . Yang perlu diingat dalam penulisan tersebut, peubah merupakan peubah boneka dummy variable , sehingga dapat diganti dengan huruf lain dan tetap mempunyai makna yang sama, maksudnya . Perlu diingat, dapat diinterpretasikan sebagai luas daerah bertanda dari daerah di antara kurva dan sumbu‐ dalam interval , . Contoh 4.18 Hitunglah integral . Penyelesaian. Kita akan menggunakan Riemann kanan dengan panjang tiap subintervalnya sama, yaitu . Akibatnya contoh ini mempunyai data seperti dalam Contoh . . Dari contoh tersebut kita dapatkan tabel berikut. n n Jumlah Riemann kanan untuk yang bersesuaian untuk partisi ini adalah . Karena lim | | lim , maka terintegralkan pada , . Selanjutnya, . ‹ Contoh 4.19 Tinjau fungsi pada interval tutup , . Untuk yang merupakan bilangan rasional berlaku , sedangkan jika merupakan bilangan irasional . Perhatikan, fungsi ini tidak mempunyai limit dan tidak kontinu di mana pun pada interval tutup , . Fungsi ini dikenal sebagai fungsi karakteristik dari bilangan rasional, biasa ditulis sebagai . Jika kita pilih adalah bilangan rasional dan sangat kecil, maka jumlah Riemann ∑ . Namun, jika kita pilih adalah bilangan irasional, maka jumlah Riemann ∑ . Akibatnya, lim | | ∑ tidak ada. Jadi, fungsi tidak terintegralkan. ‹ Teorema berikut memberikan syarat fungsi agar mempunyai integral tentu. Teorema 4.6 Teorema keterintegralan Jika terbatas pada , dan kontinu pada , kecuali pada sejumlah hingga titik, maka terintegralkan pada , . Secara khusus, jika kontinu pada seluruh interval , , maka terintegralkan pada , . Contoh 4.20 Periksalah apakah fungsi bilangan bulat terbesar terintegralkan pada interval , . Penyelesaian. Fungsi terbatas pada , , karena pada interval tersebut . Lebih lanjut kontinu pada , , kecuali pada , , , , . Berdasarkan Teorema keterintegralan, fungsi bilangan bulat terbesar terintegralkan pada interval , . ‹ Teorema berikut ini memberikan hubungan antara konsep turunan dan integral tentu. Teorema 4.7 Teorema dasar Kalkulus I Misalkan kontinu pada interval tutup , dan adalah peubah pada interval buka , , maka . Yang perlu diperhatikan dalam memakai Teorema dasar Kalkulus adalah batas bawah integralnya konstan, sedangkan batas atas integral dan turunannya terhadap peubah yang sama, yaitu . Contoh 4.21 Carilah jika . Penyelesaian. Perhatikan cos merupakan fungsi kontinu pada ∞, ∞ . Selanjutnya, cos tan cos tan . Teo. dasar Kalkulus Contoh 4.22 Carilah jika . Penyelesaian. Kita tahu cos kontinu pada ∞, ∞ . Misalkan , maka . Selanjutnya, cos cos Aturan Rantai cos Teo. dasar Kalkulus cos . Konsep integral tak‐tentu berbeda dengan konsep integral tentu. Teorema berikut memberikan hubungan antara integral tentu dengan integral tak‐tentu. Teorema 4.8 Teorema dasar Kalkulus II Misalkan kontinu pada interval , dan suatu antiturunan dari , maka | . Teorema dasar Kalkulus sangat membantu dalam mencari suatu integral tentu. Jika kita tahu fungsi yang dicari integral tentunya mempunyai antiturunan, maka integral tentu tersebut dapat dicari melalui antiturunannya, sehingga tidak perlu dicari melalui limit jumlah Riemann. Perhatian. Mengapa kita tidak mendefinisikan sebagai , tetapi melalui jumlah Riemann lihat Definisi . ? Pertama, kita belum tentu tahu antiturunan . Ke dua, kalau kita mendefinisikan sebagai , kita tidak mempunyai makna geometri dari . Contoh 4.23 Hitunglah . Penyelesaian. Perhatikan, kontinu pada , dan . Berdasarkan Teorema dasar Kalkulus kita dapatkan | . Contoh 4.24 Carilah jika . Penyelesaian. . Kita tahu fungsi kontinu pada ∞, ∞ , sehingga dengan menggunakan Teorema dasar Kalkulus kita peroleh . Lebih lanjut, kita tahu , sehingga dari Teorema dasar Kalkulus kita dapatkan . Jadi, . Teorema 4.9 Teorema nilai rata­rata untuk integral Jika kontinu pada , , maka terdapat bilangan di antara dan , sedemikian sehingga . Besaran disebut nilai rata­rata average value dari pada , . Contoh 4.25 Hitunglah nilai rata­rata dari | | pada interval , . Penyelesaian. Grafik fungsi dapat dilihat pada Gambar . . Gambar . : Grafik | |. Nilai rata‐rata dari | | pada , diberikan oleh | | . Kita tahu dan | | | | lihat Contoh . . Berdasarkan Kelinearan integral tak‐tentu kita dapatkan | | | | . Lebih lanjut, karena fungsi | | kontinu pada , , maka berdasarkan Teorema dasar Kalkulus , kita dapatkan | | | | | . Jadi nilai rata‐rata dari | | pada , adalah . Cara lain kita gunakan grafik fungsi . Nilai dari | | dapat dicari sebagai negatif dari luas segitiga kiri ditambah luas segitiga kanan, yaitu ‐ + = . Jadi nilai rata‐rata dari | | pada , adalah . ‹ Latihan 4.3 Buku Latihan subbab 4.3. Bahan pendalaman. 1. Subbab . , . , . dari Kalkulus, Jilid , E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. , Penerbit Erlangga, Jakarta, . 2. Subbab . , . dan . dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, ed., Pearson Education nternational, New Jersey, .

4.4. Luas di bawah kurva