Data-data strukur portal 4 lantai tersebut adalah sebagai berikut : -
Kolom tepi lantai 1
s d
4 berukuran 30 x 40 cm -
Kolom tengah lantai 1 2 berukuran 30 x 60 cm -
Kolom tengah lantai 3 4 berukuran 30 x 50 cm -
Balok lantai 1
s d
4 berukuran 30 x 40 cm -
Massa lantai 4 = 0.12 kN.s
2
cm -
Massa lantai 3 = 0.24 kN.s
2
cm -
Massa lantai 2 = 0.24 kN.s
2
cm -
Massa lantai 1 = 0.24 kN.s
2
cm -
Elastisitas E = 2,5 x 10
6
Ncm
2
- Tinggi lantai h = 400 cm
- Lebar portal l = 500 cm
- Kurva spektrum yang digunakan sebagai contoh dalam perhitungan
adalah kurva spektrum wilayah gempa 3 tanah lunak berdasarkan SNI 03-1726-2002.
3.2 Penyelesaian Perhitungan Pemodelan Struktur
Pada pemodelan struktur 4 lantai ini akan menggunakan prinsip bangunan geser shear building dan massa tergumpal lumped mass pada tiap lantai. Dengan
anggapan seperti ini, maka massa akan terkumpul pada satu titik dan hanya mempunyai 1 derajat kebebasan serta akan menghasilkan 4 mode shapes. Untuk
mendapatkan nilai-nilai koordinat mode shapes, frekuensi sudut ω dan periode
getar struktur T digunakan persamaan getaran bebas tanpa redaman Undamped
Universitas Sumatera Utara
Free Vibration System dan dianalisis dengan menggunakan metode stodola atau
matriks iterasi.
Gambar 3.2 Pemodelan Lumped Mass struktur 4 lantai Dalam memulai menganalisis pemodelan struktur tersebut, hal pertama yang
perlu dilakukan adalah menggambarkan free body diagram dari pemodelan struktur 4 lantai tersebut berdasarkan prinsip getaran bebas tanpa redaman.
Gambar 3.3 Free body diagram dari struktur 4 lantai M4
M3
M2 K
M1 K4
K2
K1
M
1
.ӱ K
2
y
2
- K
1
.y
1
M
2
.ӱ K
4
y
4
– K
3
y
3
– M
3
.ӱ M
4
.ӱ
Universitas Sumatera Utara
Berdasarkan gambar free body diagram pada gambar 3.3, dapat disusun persamaan diferensial simultan gerakan massa yaitu,
3.1 Persamaan 3.1 di atas dapat ditulis juga menjadi,
3.2 Persamaan 3.2 selanjutnya dapat ditulis ke dalam bentuk matriks sebagai
berikut,
3.3
Dari persamaan 3.3 maka dapat ditulis matriks massa dan matriks kekakuannya adalah sebagai berikut,
3.4
3.5
Dengan menggunakan persamaan 3.4, maka matriks massa dari persoalan diatas adalah,
Universitas Sumatera Utara
Sedangkan untuk matriks kekakuannya adalah, -
Kolom tepi berukuran 30 x 40 cm
- Kolom tepi berukuran 30 x 50 cm
- Kolom tepi berukuran 30 x 60 cm
- Kekakuan kolom lantai 1 K1 adalah
- Kekakuan kolom lantai 2 K2 adalah
- Kekakuan kolom lantai 3 K3 adalah
Universitas Sumatera Utara
- Kekakuan kolom lantai 4 K4 adalah
Maka matriks kekakuannya dapat ditulis sebagai berikut,
Nilai K = 442.969 kNcm merupakan nilai yang ditarik keluar dan ditinggalkan untuk sementara waktu dari matriks kekakuan kolom agar angka dalam matriks kekakuan
lebih sederhana dan nantinya nilai tersebut akan digunakan dalam perhitungan frekuensi sudut.
a Mode ke-1 Nilai invers dari matriks kekakuan diatas adalah,
Maka matriks dinamik fleksibilitas Dynamic Flexibility Matrix stuktur tersebut adalah,
Universitas Sumatera Utara
Apabila koefisien 1442.969 ditinggalkan untuk sementara agar angka perhitungan menjadi lebih sederhana maka,
Dengan cara coba-coba, diambil modal vektor untuk mode ke-1 misalnya,
Dengan demikian maka ,
Maka,
Dengan nilai = 1.069. Terlihat bahwa nilai belum sama dengan
, maka iterasi dilanjutkan berikutnya iterasi ke-2,
Universitas Sumatera Utara
Maka,
Dengan nilai = 1.149 dan
masih belum sama dengan . Maka proses iterasi
diteruskan pada iterasi ke-3,
Maka,
Dengan nilai = 1.156 dan
masih belum sama dengan . Maka proses iterasi
diteruskan dan pada iterasi ke-4 diperoleh,
Maka,
Pada iterasi ke-4 , nilai = 1.157 hampir sama dengan nilai
= 1.156, dan nilai sudah sama dengan
maka proses iterasi sudah dapat dihentikan. Nilai K =
Universitas Sumatera Utara
442.969 kNcm yang ditinggalkan sementara pada perhitungan sebelumnya digunakan dalam menghitung frekuensi sudut. Maka nilai frekuensi sudut yang
dihasilkan adalah,
rads
b Mode ke-2
Pada mode ke-2, maka perlu dihitung nilai sweeping matrix [S
1
] yaitu dengan persamaan,
Universitas Sumatera Utara
Maka,
Setelah [S1] didapatkan maka matriks dinamik fleksibilitas yang baru adalah,
Dengan cara coba-coba, diambil modal vektor untuk mode ke-2 misalnya,
Dengan demikian maka ,
Universitas Sumatera Utara
Maka,
Dengan nilai = 0.164. Terlihat bahwa nilai
belum sama dengan , maka
iterasi dilanjutkan berikutnya iterasi ke-2,
Maka,
Dengan nilai = 0.167 dan
masih belum sama dengan . Maka proses iterasi
diteruskan pada iterasi ke-3,
Maka,
Dengan nilai = 0.169 dan
masih belum sama dengan . Maka proses iterasi
diteruskan dan pada iterasi ke-4 diperoleh,
Universitas Sumatera Utara
Maka,
Pada iterasi ke-4 , nilai = 0.169 sama dengan nilai
= 0.169, dan nilai mendekati nilai
maka proses iterasi sudah dapat dihentikan. Maka nilai frekuensi sudut yang dihasilkan adalah,
rads
c Mode ke-3
Pada mode ke-3, nilai sweeping matrix [S
2
] dihitungan dengan persamaan,
Universitas Sumatera Utara
Maka,
Setelah [S2] didapatkan maka matriks dinamik fleksibilitas yang baru adalah,
Dengan cara coba-coba, diambil modal vektor untuk mode ke-3 misalnya,
Dengan demikian maka ,
Universitas Sumatera Utara
Maka,
Dengan nilai = 0.068. Terlihat bahwa nilai
belum sama dengan , maka
iterasi dilanjutkan berikutnya iterasi ke-2,
Maka,
Dengan nilai = 0.072 dan
masih belum sama dengan . Maka proses iterasi
diteruskan pada iterasi ke-3,
Maka,
Universitas Sumatera Utara
Pada iterasi ke-3 , nilai = 0.072 sama dengan nilai
= 0.072, dan nilai mendekati nilai
maka proses iterasi sudah dapat dihentikan. Maka nilai frekuensi sudut yang dihasilkan adalah,
rads
d Mode ke-4
Pada mode ke-4, nilai sweeping matrix [S
3
] dihitungan dengan persamaan,
Maka,
Universitas Sumatera Utara
Setelah [S
3
] didapatkan maka matriks dinamik fleksibilitas yang baru adalah,
Dengan cara coba-coba, diambil modal vektor untuk mode ke-4 misalnya,
Dengan demikian maka ,
Maka,
Universitas Sumatera Utara
Dengan nilai = 0.002. Terlihat bahwa nilai
belum sama dengan , maka
iterasi dilanjutkan berikutnya iterasi ke-2,
Maka,
Dengan nilai = 0.053 dan
masih belum sama dengan . Maka proses iterasi
diteruskan pada iterasi ke-3,
Maka,
Pada iterasi ke-3 , nilai = 0.053 sama dengan nilai
= 0.053, dan nilai sama
dengan nilai maka proses iterasi sudah dapat dihentikan. Maka nilai frekuensi
sudut yang dihasilkan adalah,
rads
Agar proses hitungan menjadi lebih sistematis, maka hasil dari nilai-nilai yang didapatkan dalam perhitungan diatas akan ditabelkan sebagai berikut,
Universitas Sumatera Utara
Tabel 3.1 Nilai-nilai ω, dan Ø pada tiap-tiap mode
NO Frekuensi Sudut
ω Mode-1
Ø
1
Mode-2 Ø
2
Mode-3 Ø
3
Mode-4 Ø
4
1 ω
1
= 19.569 rads Ø
11
= 1 Ø
12
= 1 Ø
13
= 1 Ø
14
= 1
2 ω
2
= 51.136 rads Ø
21
= 1.860 Ø
22
= 1.044 Ø
23
= -0.238 Ø
24
= -1.040 3
ω
3
= 78.277 rads Ø
31
= 2.748 Ø
32
= -0.364 Ø
33
= -1.280 Ø
34
= 0.609
4 ω
4
= 91.126 rads Ø
41
= 3.066 Ø
42
= -1.263 Ø
43
= 1.930 Ø
44
= -0.483
Untuk menggambarkan nilai Ø tiap mode, maka untuk lantai teratas dianggap nilai Ø
4
= 1, maka nilai-nilai Ø yang digunakan dalam penggambaran tiap koordinat mode adalah,
Ø
41
= 1 Ø
42
= 1 Ø
43
= 1 Ø
44
= 1 Ø
31
= 0.896 Ø
32
= 0.291 Ø
33
= -0.663 Ø
34
= -1.262 Ø
21
= 0.607 Ø
22
= -0.827 Ø
23
= -0.123 Ø
24
= 2.155 Ø
11
= 0.326 Ø
12
= -0.793 Ø
13
= 0.518 Ø
14
= -2.072
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.4 Mode shapes struktur 4 lantai Setelah nilai ordinat tiap-tiap mode didapat, maka perhitungan dapat dilanjutkan ke
tahapan berikutnya yaitu analisis pembebanan gempa dengan metode respon spektrum. Namun sebelumnya terlebih dahulu dicari nilai-nilai periode getar struktur
T dari masing-masing mode dengan menggunakan rumus T = .
ω
1
= 19.569 rads , T
1
= 0,321 s
ω
2
= 51.136 rads , T
2
= 0,123 s
ω
3
= 78.277 rads , T
3
= 0,080 s
Ø
11
Ø
21
Ø
31
Ø
41
Ø
32
Ø
42
Ø
22
Ø
12
Ø
43
Ø
33
Ø
23
Ø
13
Ø
44
Ø
34
Ø
24
Ø
14
Mode -1
ω
1
= 19.569 rads
Mode -2
ω
2
= 51.136 rads
Mode -3
ω
3
= 78.277 rads
Mode -4
ω
4
= 91.126 rads
Universitas Sumatera Utara
ω
4
= 91.126 rads , T
4
= 0,069 s
Setelah nilai-nilai periode getar T masing-masing mode didapat, maka nilai koefisien gempa dasar C bisa didapatkan berdasarkan kurva spectrum gempa
wilayah 3, dengan kondisi tanah lunak.
Gambar 3.5 Kurva Spektrum Wilayah Gempa 3 SNI 03-1726-2002 Berdasarkan kurva spektrum tanah lunak wilayah gempa 3, maka nilai koefisien
gempa dasar C berdasarkan tiap-tiap mode adalah, T
1
= 0,321 s C
1
= 0.75 T
2
= 0,123 s C
2
= 0.58 T
3
= 0,080 s C
3
= 0.48
Universitas Sumatera Utara
T
4
= 0,069 s C
4
= 0.46
1. Partisipasi Mode
a Mode -1
Partisipasi mode - 1, Γ
1
adalah,
b Mode -2
Partisipasi mode - 2, Γ
2
adalah,
Universitas Sumatera Utara
c Mode -3
Partisipasi mode - 3, Γ
3
adalah,
d Mode -4
Universitas Sumatera Utara
Partisipasi mode - 4, Γ
4
adalah,
Sebagai control, partisipasi semua mode harus sama dengan 1 maka,
2. Gaya Horisontal Mode atau Modal Seimic Force F
ij
Gaya horisontal mode yang bekerja pada setiap massa akibat kontribusi setiap mode dapat dihitung dengan menggunakan persamaan,
a Mode – 1,
b Mode – 2,
c Mode – 3,
d Mode – 4,
Universitas Sumatera Utara
Dengan memakai prinsip SRSS, maka gaya horisontal tingkat storey seismic force adalah,
Gambar 3.6 Gaya Horisontal Mode dan Gaya Horisontal Tingkat
3.3 Perhitungan Analisis dengan Metode Elemen Hingga FEM
