modenya. Apabila jumlah derajat kebebasan adalah n, maka persamaan 2.42 akan menghasilkan suatu polinomial pangkat n yang selanjutnya akan menghasilkan
untuk i = 1, 2, 3, …n. selanjutnya substitusi masing-masing frekuensi ω
i
ke dalam persamaan 2.41 akan diperoleh nilai Ø
1
, Ø
2
, …Ø
n
.
2.9.2 Frekuensi Sudut ω dan Normal Modes
Pada struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak MDOF dalam menghitung frekuensi sudut, diambil suatu anggapan bahwa struktur tersebut
dianggap tidak mempunyai redaman atau C = 0. Dalam menghitung dan menggambarkan normal modes, maka diambil suatu model struktur seperti pada
gambar berikut.
Gambar 2.9 Bangunan 2-DOF dan Model Matematik Setiap struktur yang dibebani dengan beban dinamik akan mengalami goyangan,
untuk struktur derajat kebebasan banyak, maka struktur yang bersangkutan akan mempunyai banyak ragampola goyangan. Normal modes adalah suatu istilah yang
dipakai pada problem dinamika struktur, yang diterjemahkan sebagai ragampola goyangan.
a Struktur dengan 2 DOF c Free body diagram
b Model Matematik
Universitas Sumatera Utara
Suatu persamaan diferensial gerakan dapat diperoleh dengan memperhatikan free body diagram
pada gambar 2.9 dan diperoleh,
2.43 Persamaan 2.43 dapat ditulis dalam bentuk yang sederhana yaitu,
2.44 Persamaan 2.44 dapat ditulis ke dalam bentuk matriks yaitu,
2.45
Selanjutnya persamaan eigenproblem pada persamaan 2.45 adalah, 2.46
Dengan Ø
i
adalah suatu nilaiordinat yang berhubungan dengan massa ke-i pada ragampola goyangan massa ke-i. persamaan 2.46 akan mempunyai penyelesaian
apabila dipenuhi nilai determinan, 2.47
Apabila persamaan 2.47 tersebut diteruskan maka nilai determinannya adalah,
2.48
Universitas Sumatera Utara
Agar pembahasan tersebut memiliki nilai, maka perlu diberikan nilai m
1
, m
2
, k
1
, dan k
2
. Misalnya nilai-nilai tersebut diberikan menurut unitnya masing-masing m
1
= 2, m
2
= 1, k
1
= k
2
= 1, maka diperoleh, 2.49
Nilai yang akan dicari adalah nilai-nilai percepatan sudut ω. Dengan
memakai rumus abc, maka nilai-nilai tersebut adalah,
2.50 Persamaan 2.50 umumnya disebut eigenvalue dari eigenproblem persamaan
2.42. Berdasarkan pada persamaan 2.50, maka dapat dimengerti bahwa struktur yang mempunyai dua tingkat atau struktur degan 2-derajat kebebasan akan
mempunyai 2 nilai frekuensi sudut. Frekuensi sudut ω
1
adalah frekuensi sudut untuk mode ke-1 atau untuk polaragam goyangan ke-1, sedangkan
ω
2
adalah frekuensi sudut untuk mode ke-2.
Substitusi nilai ω
1
ke dalam persamaan 2.46, misalnya substitusi baris pertama persamaan tersebut dengan catatan bahwa Ø
1
menjadi Ø
11
dan Ø
2
menjadi Ø
21
maka akan diperoleh,
maka 2.51
Universitas Sumatera Utara
Secara umum nilai-nilai penyelesaian persamaan simultan homogen tidak akan memberikan suatu nilai yang pastitetap tetapi nilai-nilai tersebut hanya akan
sebanding antara satu dengan yang lain persamaan 2.51. dengan memperhatikan sifat tersebut maka umumnya diambil nilai Ø
11
=1, maka akan diperoleh, , maka
2.52 Nilaikoordinat yang berhubungan dengan suatu massa pada setiap pola
goyangan umumnya dapat ditulis dalam bentuk baku, 2.53
Dimana indeks i menunjukkan massa dan indeks j menunjukkan nomor ragampola goyangan. Dengan demikian Ø
ij
adalah suatu koordinat yang berhubungan dengan massa ke-i pada ragampola goyangan ke-j.
Nilai-nilai koordinat yang berhubungan dengan massa struktur untuk pola goyangan ke-1 seperti persamaan 2.53 dapat ditulis menjadi,
2.54
Persamaan 2.54 umumnya disebut sebagai eigenvector untuk ragampola goyangan atau mode shape untuk mode ke-1. Nilai-nilai koordinat untuk ragampola
goyangan ke-2 dapat diperoleh dengan substitusi nilai ω
2
ke dalam persamaan 2.47, misalnya disubstitusikan pada baris pertama persamaan tersbut dengan catatan Ø
1
menjadi Ø
12
dan Ø
2
menjadi Ø
22
maka akan diperoleh,
Universitas Sumatera Utara
2.55
Apabila , maka
Sesuai dengan persamaan 2.54, maka nilai-nilai koordinat yang berhubungan dengan massa struktur untuk ragampola goyanganmode ke-2 dapat ditulis menjadi,
2.56 Sesuai dengan persamaan 2.54 maka persamaan 2.56 juga disebut dengan
eigenvector untuk ragampola goyangan mode ke-2. Dengan mengingat persamaan
2.50, persamaan 2.54 dan persamaan 2.56 maka dapat dipahami bahwa struktur dengan n-derajat kebebasan akan mempunyai n-frekuensi sudut dan n-modes.
Antara persamaan 2.54 dan persamaan 2.56 dapat ditulis menjadi suatu matriks yang umumnya disebut modal matrix yaitu,
2.57
Dengan diperolehnya nilai-nilai frekuensi sudut untuk tiap-tiap mode seperti pada persamaan 2.50, maka akan diperoleh juga nilai periode getar T tiap-tiap mode
yaitu,
dan 2.58
Nilai T
1
umumnya disebut periode getar dasar atau undamped fundamental period of vibrations
. Selanjutnya nilai periode getar akan berpengaruh terhadap
Universitas Sumatera Utara
koefisien gempa dasar C seperti yang tercantum pada spektrum respon. Nilai ordinat mode shape pada tiap-tiap massa untuk semua ragampola goyangan digambar
seperti berikut,
Gambar 2.10 Normal Modes Nilai-nilai ordinat mode shapes pada gambar 2.10 tidak tergantung pada beban luar,
melainkan hanya tergantung pada properti fisik struktur, misalnya massa m
i
dan kekakuan k
i
. Struktur dianggap tidak mempunyai redaman sehingga periode getar yang dicari adalah merupakan undamped free vibration periods. Nilai-nilai mode
shapes tidak dipengaruhi oleh waktu, artinya nilai-nilai tersebut akan tetap jika nilai-
nilai massa dan kekakuan tidak berubah. Karena nilai kekauan k
i
tidak berubah-ubah maka mode shapes merupakan nilai untuk struktur yang bersifat elastik, atau hanya
struktur yang elastiklah yang mempunyai nilai mode shapes. Nilai mode shapes juga tidak dipengaruhi oleh frekuensi beban. Dengan demikian menurut Widodo 2001,
dapat disimpulkan bahwa nilai-nilai mode shapesadalah : 1.
Bebas dari pengaruh redaman, 2.
Bebas dari pengaruh waktu a Struktur dengan 2 DOF
b Mode ke-1 c Mode ke-2
Universitas Sumatera Utara
3. Bebas dari pengaruh frekuensi beban
4. Hanya untuk struktur yang elastik
2.9.3 Metode Stodola Matriks Iterasi
