dan 2.36
2.9 Getaran Bebas Pada Struktur MDOF
2.9.1 Nilai Karakteristik
Pada kenyataannya getaran bebas free vibration system jarang terjadi pada struktur MDOF, tetapi dengan menganalisis jenis getaran ini akan diperoleh suatu
besarankarakteristik dari struktur yang akan berguna berupa frekuensi sudut
ω
,
periode getar T, frekuensi alami f dan normal modes.
Pada getaran bebas di struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak MDOF, maka matriks persamaan diferensial gerakannya adalah,
2.37 Pada struktur dengan redaman, frekuensi sudut yang dihasilkan hampir sama dengan
frekuensi sudut pada struktur yang dianggap tanpa redaman. Hal ini akaan diperoleh apabila nilai rasio redaman relatif kecil. Apabila prinsip ini digunakan untuk struktur
dengan derajat kebebasan banyak, maka nilai C = 0, persamaan 2.37 akan menjadi, 2.38
Karena persamaan 2.38 adalah persamaan diferensial pada struktur MDOF yang dianggap tidak mempunyai redaman, maka penyelesaian persamaan diferensial
tersebut diharapkan dalam fungsi harmonik menurut bentuk,
Universitas Sumatera Utara
2.39 dimana, {Ø}
i
adalah suatu ordinat massa pada mode yang ke-i.persamaan 2.39 disubstitusikan ke dalam persamaan 2.38 maka akan diperoleh,
2.40 2.41
Persamaan 2.41 merupakan persamaan yang sangat penting dan biasa disebut persamaan
eigenproblem atau karakteristik problem atau eigenvalue
problem .Persamaan 2.41 tersebut adalah persamaan simultan yang harus dicari
penyelesaiannya. Salah satu cara yang dapat dipakai adalah dengan memakai dalil Cramer 1704-1752. Gabriel Cramer adalah salah satu ahli matematika dari Swiss.
Dalil tersebut menyatakan bahwa penyelesaian persamaan simultan yang homogen akan ada nilainya apabila determinan dari matriks yang merupakan koefisien dari
vektor {Ø}
i
adalah nol, sehingga, 2.42
Jumlah mode pada struktur dengan derajat kebebasan banyak biasanya dapat dihubungkan dengan jumlah massa. Mode adalah jenispolaragam getarangoyangan
suatu struktur bangunan. Mode merupakan fungsi dari properti dinamik struktur yang bersangkutan dalam hal ini hanya massa dan kekakuan dan bebas dari pengaruh
waktu dan frekuensi getaran. Dengan adanya hubungan antara jumlah mode dengan jumlah massa struktur, maka bangunan yang mempunyai 5-tingkat akan mempunyai
5 derajat kebebasan dan akan mempunyai 5 jenis “mode” gerakan dan akan mempunyai 5 nilai frekuensi sudut yang berhubungan langsung dengan jenisnomor
Universitas Sumatera Utara
modenya. Apabila jumlah derajat kebebasan adalah n, maka persamaan 2.42 akan menghasilkan suatu polinomial pangkat n yang selanjutnya akan menghasilkan
untuk i = 1, 2, 3, …n. selanjutnya substitusi masing-masing frekuensi ω
i
ke dalam persamaan 2.41 akan diperoleh nilai Ø
1
, Ø
2
, …Ø
n
.
2.9.2 Frekuensi Sudut ω dan Normal Modes
Kategori