180
Buku Guru Kelas X SMA MA SMK MAK Edisi Revisi
3. Transpos Matriks
Pak Susilo, pensiunan pegawai PLN, memiliki banyak koleksi buku, majalah, dan novel yang pernah dia beli
maupun terima selama dia masih aktif sebagai pegawai PLN. Karena begitu banyak koleksi buku tersebut,
ditambah lagi ruang koleksinya tidak memadai, Pak Susilo berniat akan menghibahkan semua buku-buku tersebut
ke kampung halamannya, yaitu di Tegal. Sebelum dibawa pengangkutan, Parman, cucunya, membantu menyusun
buku-buku tersebut dalam tumpukan-tumpukan seperti pada gambar di bawah ini.
Gambar 4.5. Diagram susunan koleksi buku-buku
Buku Komik
200 Buku
Kimia 475
Koleksi Kamus
126 Buku
Motivasi 400
Buku Rohani
2222 Buku
Sejarah 1174
Majalah Teknik
275 Majalah
Furniture 640
Buku Peta
247 Buku
Fisika 330
Bahasa Inggris
989 Majalah
Fashion 340
Majalah Sport
350 Novel
Petualang 120
Majalah Intisari
113 Buku
Matematika 200
Buku Budaya
1402
Buku Autbio-
graphy 111
Ruang Baca
P e
n g
a n
g k
u t
a n
Jika direpresentasikan semua koleksi tersebut dalam matriks, dengan sudut pandang dari ruang baca, akan
diperoleh matriks persegi panjang berordo 3 × 6. Kita sebut
matriks B,
3 6
200 350
275 400
200 330
475 120
640 2222
1402 989
126 113
247 1174
111
×
3 340
B
3 ×6
= Selanjutnya, karena halaman rumah Pak Susilo yang
tidak cukup untuk ruang gerak truk sehingga truk harus diparkir di sebelah kiri ruang baca Pak Susilo. Pihak
pengangkutan menyusun semua koleksi tersebut menurut barisan buku yang terdekat ke truk. Matriks B, berubah
menjadi: Berikan ilustrasi berikut
sebagai informasi untuk mengetahui tentang kon-
sep transpos matriks.
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
181
Mat emat ika
B
6 3
200 475
126 350
120 113
275 640
247 400
2222 1174
200 1402
111 330
98
×
=
9 9
340
Dengan memperhatikan kedua matriks B
3 ×6
dan B
6 ×3
, dalam kajian yang sama, ternyata memiliki relasi. Relasi
yang dimaksud dalam hal ini adalah “perubahan posisi elemen matriks”, atau disebut transpos matriks, yang diberi
simbol B
t
sebagai transpos matriks B. Namun beberapa buku menotasikan transpos matriks B dengan B atau B.
Perubahan yang dimaksud dalam hal ini adalah, setiap elemen baris ke-1 pada matriks B menjadi elemen kolom
ke-1 pada matriks B
t
, setiap elemen baris ke-2 pada matriks B
menjadi elemen kolom ke-2 pada matriks B
t
, demikian seterusnya, hingga semua elemen baris pada matriks
matriks B menjadi elemen kolom pada matriks B
t
. Hal inilah yang menjadi aturan menentukan transpos suatu
matriks.
Cont oh 4 .2
a. Diberikan matriks S =
2
3 5
7 5 10 15
20 3
6 9
12 ,
maka transpos matriks S adalah
S S
t
=
3 5
7 5
20 9
12 2
5 3
3 10
6 5
15 9
7 20
23
A C
Untuk lebih memahami tentang transpos matriks,
ajukan beberapa contoh berikut. Minta siswa me-
mahami tentang peruba- han ordo matriks akibat
adanya transpos matriks tersebut.
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
182
Buku Guru Kelas X SMA MA SMK MAK Edisi Revisi
b. Jika A
= [–3 4 6 8 19], maka A
t
= −
3
4 6
8 19
,
c. Jika C
C
t
=
=
1 5
3 14
9 4
2 2
5 8
6 3
7 12
4 1
14 2
3 9
5 7
5 4
8 12 3
2 , maka
6 6
4
.
Cara lain menentukan transpos matriks persegi.
Jika matriks, C =
1
5 3
14 9
4 2
2 5
8 6
3 7
12 4
maka transpos matriks
C dapat ditentukan melalui, 1
5 3
14 9
4 2
2 5
8 6
3 7
12 4
Ubah posisi elemen matriks yang simetris dengan diagonal
utama matriks.
Akibatnya, C
t
=
1 14
2 3
9 5
7 5
4 8
12 3
2 6
4 Ajukan pertanyaan kepa-
da siswa bagaimana cara lain menentukan transpos
suatu matriks. Misalnya seperti cara di samping.
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
183
Mat emat ika
Dari pembahasan contoh di atas, dapat kita pahami perubahan ordo matriks. Misalnya, jika matriks awal
berordo m × n, maka transposnya berordo n × m.
Coba kamu pikirkan… • Mungkinkah suatu matriks sama dengan transposnya?
Berikan alasanmu • Periksa apakah A
t
+ B
t
= A + B
t
, untuk setiap matriks A dan B berordo
m × n?
Alternatif Penyelesaian
Ada matriks yang transposnya sama dengan matriks itu sendiri, diantaranya matriks identitas I
n × n
, misalnya: Jika I
3 3
1 1
1
×
=
, maka
I
t t
3 3
1 1
1 1
1 1
×
=
=
. Selanjutnya untuk memeriksa apakah A
t
+ B
t
= A + B
t
, diberikan:
A a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
m n n
n n
m ×
=
11 12
13 1
21 22
23 2
31 32
33 3
1
... ...
...
a a
a a
m m
mn 2
3
...
,
B b
b b
b b
b b
b b
b b
b b
m n n
n n
m ×
=
11 12
13 1
21 22
23 2
31 32
33 3
1
... ...
...
b b
b b
m m
mn 2
3
...
Berikan kesempatan ke-
pada siswa untuk men- coba menemukan suatu
matriks yang transposnya sama dengan matriks itu
sendiri. Misalnya seperti alterna-
tif penyelesaian di sam- ping.
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
184
Buku Guru Kelas X SMA MA SMK MAK Edisi Revisi
maka,
A a
a a
a a
a a
a a
a a
a
m n t
m m
m ×
=
11 21
31 1
12 22
32 2
13 23
33 3
... ...
...
a a
a a
a
n n
n mn
1 2
3
...
,
B b
b b
b b
b b
b b
b b
b
m n t
m m
m ×
=
11 21
31 1
12 22
32 2
13 23
33 3
... ...
...
b b
b b
b
n n
n mn
1 2
3
...
Oleh karena itu,
A B
a b
a b
a b
a b
a b
a
m n t
m n t
m m
× ×
+ =
+ +
+ +
+ +
11 11
21 21
31 31
1 1
12 12
22
... b
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
m m
m m
22 32
32 2
2 13
13 23
23 33
33 3
3
+ +
+ +
+ +
... ...
1 1
1 2
2 3
3 n
n n
n n
n mn
mn
b a
b a
b a
b +
+ +
+
...
.
Disisi lain, matriks
A B
a b
a b
a b
a b
a b
a b
m n m n
t n
n ×
×
+ =
+ +
+ +
+ +
11 11
12 12
13 13
1 1
21 21
22 22
... a
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a
n n
n n
m 23
23 2
2 31
31 32
32 33
33 3
3 1
+ +
+ +
+ +
+ ...
...
b b
a b
a b
a b
m m
m m
m mn
mn t
1 2
2 3
3
+ +
+
...
A B
a b
a b
a b
a b
a b
a b
m n m n
t m
m ×
×
+ =
+ +
+ +
+ +
11 11
21 21
31 31
1 1
12 12
22 22
... a
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a
m m
m m
n 32
32 2
2 13
13 23
23 33
33 3
3 1
+ +
+ +
+ +
+ ...
...
b b
a b
a b
a b
n n
n n
n mn
mn 1
2 2
3 3
+ +
+
...
.
Jadi ditemukan, matriks A
t
+ B
t
= A + B
t
.
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
185
Mat emat ika
4. Kesamaan Dua Matriks