10
Buku Guru Kelas X SMA MA SMK MAK Edisi Revisi
2. Pangkat Bulat Negatif
Deinisi 1.2
Untuk a bilangan real dan a ≠ 0, m bilangan bulat positif,
dideinisikan a
a
m m
−
=
1
Deinisi di atas dijelaskan sebagai berikut: a
a a
a a
a
m m
−
=
=
×
×
× ×
1
1 1
1 1
...
sebany yak
faktor
faktor m
m m
a a a a
a 1
2 4444
3 4444
1 2
44 3
44 =
× × × × =
1
1 ...
Cont oh 1 .1
Jika x = –2 dan y = 2, tentukan nilai x
-3
y
4
Alternatif Penyelesaian
x y
y x
−
= =
− =
− = −
3 4
4 3
4 3
2 2
16 8
2
3. Pangkat Nol
Deinisi 1.3
Untuk a bilangan real dan a ≠ 0, maka a
= 1.
6. Untuk x ∝ menuju ∝,
diperoleh y menuju ∝.
Untuk x menuju - ∝, di-
peroleh y menuju 0.
Ajukan beberapa con- toh yang dipahami siswa
tentang perpangkatan di SMP, dalam membangun
pemahaman terhadap
Deinisi 1.2 di samping. Misalnya
3 1
3 1
3
3 3
3 −
= =
=
×
×
1
3 1
3 1
3 =
1 3
3 3
1 9
× × =
Selanjutnya menga- jak siswa mencermati
penjelasan Deinisi 1.2 secara deduktif, seperti
disajikan disamping.
Untuk lebih memahami Deinisi 1.2, minta siswa
mencermati Contoh 1.1 di
samping. Cek kebenaran hasil kerja siswa mener-
apkan Deinisi 1.2, dalam menyelesaikan soal pada
Contoh 1.1.
Arahkan siswa memahami Deinisi
1.4 di samping, dengan mengajukan be-
berapa pertanyaan, sep- erti:
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
11
Mat emat ika
Untuk lebih memahami deinisi di atas, perhatikan pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut.
2
3
= 8 3
3
= 27 2
2
= 4 3
2
= 9 2
1
= 2 3
1
= 3 2
= 1 3
= 1 Perhatikan hasil pemangkatan 2 dengan 0, dan hasil
pemangkatan 3 dengan 0, hasil perpangkatannya adalah 1.
4. Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif
Coba cermati bukti sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif menggunakan deinisi bilangan berpangkat
yang kamu telah pelajari sebelumnya.
Sifat-1
Jika a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif maka a
m
× a
n
= a
m +n
Bukti:
a a
a a a a a a a
a
m n
m faktor n faktor
× = × × × × × × × × ×
... ...
1 2
44 3
44 1
2 44
3 44
= ×
= × × × × ×
+
a a
a a a a a a
m n
m n
1 2
44 4
3 444
= a
m+n
• Perhatikan a a a a
a
m m faktor
= × × × × ...
1 2
44 3
44 . Diskusikan dalam kelompokmu,
apakah benar perpangkatan adalah perkalian berulang?
• Bagaimana jika m dan n bukan bilangan bulat positif?
Mengapa batasan bilan- gan real dan . Bagaimana
hasil a0, ketika a = 0. Beri
penjelasan bahwa ketika a =
0 maka a =
, hasil- nya taktentu. Selanjutnya
ajak siswa mengamat pola hasil perpangkatan bilan-
gan 2 dan 3 di samping.
Untuk meyakinkan siswa bahwa a
= 1, a
≠ 0 Minta siswa untuk dapat
membuktikan Sifat-1 se- hingga siswa dapat me-
nyimpulkan bahwa sifat tersebut benar untuk m
dan n bilangan bulat posi- tif.
Jelaskan pada siswa bah- wa perpangkatan adalah
perkalian berulang. Si- fat-
1, hanya berlaku a bilangan real, m dan n bi-
langan bulat positif. Jika m dan n bukan bilangan
bulat positif, Sifat- 1 tidak
berlaku, misalnya a = dan m = n =
0, tidak ber- laku
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
12
Buku Guru Kelas X SMA MA SMK MAK Edisi Revisi
Sifat-2
Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n bilangan bulat
positif, maka
a a
a
m n
m n
=
−
. Bukti:
a a
a a a a
a a a a
m n
m n
= × × × ×
× × × × ...
...
faktor faktor
1 2
44 3
44 1
2 44
3 44
sesuai Deinisi 1.1
• Pada persyaratan Sifat-2, mengapa a ≠ 0 dipersyaratkan?
• Bagaimana jika a = 0? Apa dampaknya pada hasil pembagian
a a
m n
? Jika kamu tidak tahu bertanya ke guru
Sifat-1 di atas hanya berkaitan dengan bilangan bulat positif m dan n. Ada 3 tiga kemungkinan, yaitu a m n,
b m = n, dan c m n.
a Kasus m
n Jika
m dan n bilangan bulat positif dan m n maka m
– n 0. Dengan demikian
a a
a a a a
a a a a
a
m n
m n
= × × × ×
× × × × =
× ...
...
faktor faktor
1 2
44 3
44 1
2 44
3 44
a a a
a a a a
a a a a
n n
× × × × × × ×
× × × × ...
... ..
faktor faktor
1 2
44 3
44 1
2 44
3 44
.. ...
× = × × × ×
=
− −
−
a a a a
a a
m n m n
m n faktor
faktor
1 2
44 3
44 1
2 44
3 44
Jadi
a a
m n
= a
m-n
, dengan m, n bilangan bulat positif dan m
n Selanjutnya bimbing
siswa agar memaha- mi tentang Sifat-2 dan
data menunjukkan bukti dari sifat tersebut. Beri
penjelasan pada siswa dalam Sifat-2, tidak diiz-
inkan a = 0, sebab ben- tuk perpangkatan pada
Sifat-2 adalah bentuk ra- sional. Dalam pecahan
penyebutnya tidak lazim nol.Ketika a =
0 dan m, n bilangan bulat positif,
maka a
m
atau a
n
dimung- kinkan hasilnya 0.Jika
hasil a
m
dan a
n
keduanya nol, maka hasil baginya
tak tentu. Jika a
m
= 0 dan a
n
≠ 0, maka hasil baginya 0. Tetapi jika
a
m
≠ 0 dan a
n
= 0, maka hasil baginya tak ter-
deinisi.
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
13
Mat emat ika
b Kasus m
= n Jika
m = n, maka
a a
m n
= 1 = a =
a
m–n
. Bukti:
a a
a a
m n
m m
= , sebab m = n
= a a a
a a a a
a
m m
× × × × × × × ×
... ...
faktor faktor
1 2
44 3
44 1
2 44
3 44
= 1
= a
Latihan 1.2
Buktikan sendiri untuk kasus m n. Jelaskan perbedaan hasilnya dengan kasus a.
Buktikan Jika a bilangan real dan a
≠ 0, m dan n bilangan bulat positif, m n, maka
a a
a
m n
m n
=
−
. Bukti:
Ambil sebarang m dan n bilangan bulat positif, m n. m
n ⇒ m – n 0.
a a
a a a a
a a a a
m n
m faktor n m faktor
= × × × ×
× × × ×
−
... ...
1 2
44 3
44 1
2 44
3 44
4 1
2 44
3 44
1 2
44 3
44 =
× × × × × × × ×
−
a a a a
a a a a
m faktor n m faktor
... ...
×
× × × ×
=
× × × 1
1 a a a
a
a a a
m faktor
...
... 1
2 44
3 44
× ×
=
= =
− −
− −
−
a
a a
a
n m faktor n m
n m m n
1 2
44 3
44 1
karena m n, maka m – n 0 Agar siswa benar-benar
dapat menguasai kon- sep tentang Sifat-
2 un- tuk kasus m n, sesuai
Latihan 1.2. Alternatif
jawaban yang diharap- kan dari siswa sebagai
bukti Sifat- 1.2 untuk kasus
m n, dapat dicermati di samping.
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
14
Buku Guru Kelas X SMA MA SMK MAK Edisi Revisi
Sifat-3
Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n bilangan bulat
positif, maka a
m n
= a
mn
Bukti: a
a a
a a
a a a a
m n
m m
m m
n m
= ×
× × ×
= × × × ×
... ...
faktor faktor
1 2
444 3
444 1
2 4
44 3
44 1
2 44
3 44
× × × ×
× × × × a a a
a a a a
a
m
... ...
faktor m
m m
a a a a
faktor faktor
1 2
44 3
44 1
2 44
3 44
× × × ×
...
...
= × × × ×
× n
m n
a a a a
faktor faktor
1 2
444444 4
3 4444444
1 2
44 3
44 ...
=
×
a a
m n
m n
terbukti
Diskusi
Diskusikan dengan temanmu, apakah syarat bahwa m dan n bilangan positif diperlukan untuk Sifat-3 dan
Sifat-4. Bagaimana jika m dan n adalah negatif atau
kedua-duanya bilangan negatif.
Catatan Dalam beberapa deinisi, sifat, dan proses pembuktian
sering kita menggunakan simbol logika. Beberapa simbol yang sering kita gunakan dijelaskan sebagai berikut.
a. Simbol ∀ dibaca untuk setiap atau untuk semua.
Misalnya, ∀ x∈R, berlaku x
2
≥ 0 dibaca, untuk setiap x
bilangan real, maka x kuadrat lebih dari atau sama dengan nol.
b. Simbol p
⇒ q dibaca jika p, maka q. Misalnya x
= 2 ⇒ x
2
= 4 Ajak siswa berdiskusi
dalam kelompok belajar, untuk menganalisis pent-
ingnya syarat m dan n bilangan bulat positif un-
tuk Sifat-
3. Jika m dan n adalah salah satu negatif
dan ketika a = 0, misalnya
1
2 3
2 3 6
6
= =
=
− − ×
−
Tentu
6
= 0. Dengan
demikian 1
1
6
= hasil- nya tak
terdeinisi. Jelaskan pada siswa
catatan penting di sam- ping, tentang pemanfaatan
dan makna simbol logika matematika yang sering
digunakan dalam deinisi, sifat, dan proses pembuk-
tian. Selanjutnya minta siswa
untuk mencoba mema- hami bukti Sifat-3 dengan
memberi bantuan sebagai berikut.
3
2 3
= 3 × 3
3
= 9
3
= 9 × 9 × 9 = 729 = 3
6
= 3
2×3
Selanjutnya mengarahkan siswa membuktikan Si-
fat-3 secara umum, seper- ti yang tertera pada buku
siswa di samping
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
15
Mat emat ika
c. Simbol p
⇔ q dibaca p jika dan hanya jika q atau p bila dan hanya bila q. Misalnya x
2
= 4 ⇔ x = 2 atau x = -2
Cont oh 1 .2
a Buktikan jika a ∈ R, a 1 dan n m, maka a
n
a
m
Bukti: Karena
a 1 dan n m maka n – m 0 dan a
n
0, a
m
0. Akibatnya, berlaku
⇔ =
⇔
−
a a
a a
a a
a
n m
n m n
m n
m
Lihat sifat-1di atas Mengapa
?Beri al 1
1 aasamu
Karena terbukti
⇔ ×
× ⇔
a a
a a
a a
a
n m
m m
m m
n
1
b Perlukah syarat a 1? Misalkan kita ambil a bilangan real yang memenuhi a
1 dan n m. Apakah yang terjadi? Pilih
a = –2, dengan n m, pilih n = 3 dan m = 2.
Apakah yang terjadi? –2
3
= –2 × –2 × –2 = –8 –2
2
= –2 × –2 = 4 Dengan demikian, a
n
= –8 4 = a
m
atau a
n
a
m
. Jadi, tidak benar bahwa a
n
a
m
bila a 1 dan n m. Jadi, syarat a adalah bilangan real, dengan a 1 dan n m
merupakan syarat cukup untuk membuktikan a
n
a
m
. Latih siswa berpikir anal-
itis dengan mengajukan Contoh
1.2 di samping. Minta siswa membuktikan
masalah yang diberikan dan beri bantuan, jika
siswa mengalami kesuli- tan. Ajukan berbagai per-
tanyaan untuk menguji pemahaman siswa, dalam
pemanfaatan kosep dan sifat yang sudah dipela-
jari sebelumnya, untuk proses pembuktian.
Minta siswa memberi con- toh yang lain dengan me-
milih nilai a tertentu, agar pernyataan pada Contoh
1.2 tidak berlaku, apabila a
1. Seperti halnya con- toh penyangkal pada buku
siswa di samping.
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
16
Buku Guru Kelas X SMA MA SMK MAK Edisi Revisi
Diskusi
Berdiskusilah dengan temanmu satu kelompok. Analisis pernyataan pada Contoh 1.2
• Apa akibatnya bila syarat a 1 tidak dipenuhi? • Perlukah diperkuat dengan syarat n m 0?
Jelaskan • Bolehkah syarat a 1 di atas diganti a ≥ 1? Jelaskan
• Bagaimanakah bila 0
a
1 dan a 0? • Buat aturan hubungan antara a
n
dan a
m
untuk bermacam-macam nilai a di atas
• Buat laporan hasil diskusi kelompokmu.
Cont oh 1 .3
Terapkan berbagai sifat bilangan berpangkat untuk menentukan hasil operasi bilangan pada soal yang disajikan
pada contoh. Ujilah kebenaran hasilnya
1. 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 5
2 5
7
× = × × × × × ×
= × × × ×
faktor faktor
faktor
{ 1
2 44
3 44
1 1
2 44
3 44
= =
+
2 2
7 2 5
dengan menggunakan Sifat-1
2. dengan menggunakan
Sifat-2 kasus b 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
5 5
= × × × ×
× × × × =
= 2
5–5
= 2
5–5
Arahkan siswa diskusi dengan temannya satu
kelompok. Minta siswa menganalisis beberapa
pernyataan pada tabel di samping.
Jika syarat a 1 tidak
dipenuhi, maka per- nyataan jika a ϵ R , a
1 dan n m, maka an am, belum tentu benar.
Tidak perlu diperkuat syarat n m menjadi
n m 0, sebab per-
nyataan pada Contoh 1.4 berlaku untuk n dan
m yang negatif.
Syarat a 1 tidak boleh
diganti dengan a ≥ 1, se- bab untuk a =
1, a
n
= a
m
. Arahkan siswa mencer-
mati beberapa contoh yang disajikan, agar lebih
mema-hami penggunaan sifat-sifat bilangan ber-
pangkat dalam penyele- saian berbagai soal.Cek
pemahaman siswa dengan mengajukan pertanyaan-
pertanyaan terkait peman- faatan sifat tersebut
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
17
Mat emat ika
3. dengan menggunakan
Sifat-3 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
3 2
3 3
3 3
= ×
= × ×
× × ×
= ×
f f
aktor aktor
1 2 4
3 4
1 2 4
3 4
2 2
2 2
2 2
2 2
6 3 3
6
× × × × =
=
+ faktor
1 2
444 3
444
4. 2
3 2
3 2
3 2
3 2
2 2
3 3
3
3 3
3
× =
× ×
× ×
× = × × × × ×
faktor faktor
12 4 3
4 12
4 3 3
4 =
× 2
3
3 3
dengan menggunakan Deinisi 1.1
5. 2
3 2
3 2
3 2
3 2
2 2
3 3
3 3
=
×
×
= × ×
× ×
faktor
67 4 8
4 3
3 2
3
3 3
3 faktor
12 4 3
4 =
dengan menggunakan Deinisi 1.1
Cont oh 1 .4
Buktikan bahwa jika a 1 dan n m dengan n dan m bilangan bulat negatif, maka a
n
a
m
. Bukti:
Karena n m dengan n dan m bilangan bulat negatif, maka –n dan –m adalah bilangan bulat positif dan –m –n.
Karena a 1 maka a
a a
a
m n
n m
− −
= 1 Gunakan sifat a
–m
= 1
a
m
. a
a
n m
1 ⇒ a
n
a
m
terbukti Latih siswa berpikir kri-
tis, analitis, dan kreatif dengan mengajukan Con-
toh 1.4 di samping. Minta
siswa membuktikan per- nyataan yang diberikan
dan beri bantuan, jika siswa mengalami kesuli-
tan. Ajukan berbagai per- tanyaan untuk menguji
pemahaman siswa, dalam pemanfaatan konsep dan
sifat yang sudah dipelajari sebelumnya, untuk proses
pembuktian.
Pernyataan pada Contoh 1.4, tidak berlaku untuk a
1, misalnya pilih a = –3, n = –
2, dan m = –3. a
a
n m
= −
− =
− −
− −
3 3
3 3
2 3
3 2
= −
= − 27
9 3
1 a
a a
a
n m
n m
⇒ 1
.
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
18
Buku Guru Kelas X SMA MA SMK MAK Edisi Revisi
Cont oh 1 .5
Berdasarkan sifat perkalian dengan bilangan 7, tentukan angka satuan dari 7
1234
tanpa menghitung tuntas. Perhatikan angka satuan dari perpangkatan dari 7 berikut?
Perpangkatan 7
Nilai Angka Satuan
7
1
7 7
7
2
49 9
7
3
343 3
7
4
2401 1
7
5
16807 7
7
6
117649 9
7
7
823543 3
7
8
5764801 1
Coba lanjutkan langkah berikutnya untuk menemukan angka satuan 7
1234
. Cermati sifat satuan pada tabel di atas. Saat periode ke berapakah berulang? Selanjutnya
manfaatkan sifat-sifat perpangkatan dan perkalian bilangan berpangkat.
5. Pangkat Pecahan