332
Buku Guru Kelas X SMA MA SMK MAK Edisi Revisi
Proje k
Rancanglah permasalahan terkait gerakan peluru dan ekonomi yang menerap-kan konsep
dan aturan fungsi kuadrat. Buatlah pemecahan masalah tersebut dalam sebuah laporan serta
sajikan di depan kelas.
b. Graik Fungsi Kuadrat
Dari hasil pemecahan Masalah 7.8, kita telah memperoleh persamaan fungsi kuadrat yang
menyatakan debit air yang mengalir dari sebuah pipa adalah qd =
NG
=
4 20
x
d
2
, d ∈ R, d ≥ 0. Misalkan
diameter pipa adalah x dan debit air yang mengalir adalah y. Berarti y dapat dinyatakan dalam x, yaitu
y = fx =
NG
=
4 20
x
x
2
, x ∈ R, x ≥ 0.
Temukan graik fungsi kuadrat y = fx =
NG
=
4 20
x
x
2
, x
∈
R dari graik fungsi kuadrat y = fx =
NG
=
4 20
x
x
2
, x
∈
R, x
≥
0.
Beberapa pertanyaan arahan yang perlu kamu cermati
untuk memperoleh
graik fungsi
SW
y = fx = -
4 20
x
2
, x R d
dari graik fungsi kuadrat f
x =
=
4 20
x
255
x
2
, x R, x 0.
Siswa diingatkan kembali, bagaimana menggam-
barkan graik persamaan fungsi kuadrat dan me-
manfaatkan sifat pencer- minan untuk memperoleh
graik persamaan fungsi kuadrat yang baru.
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
333
Mat emat ika
1 Pikirkan apa saja yang kamu butuhkan untuk menggambar grafik fungsi
fx =
=
4 20
x
255
x
2
, x R, x 0.
dan ingat kembali bagaimana menggambar graik fungsi kuadrat di SMP.
2 Apa perbedaan fungsi kuadrat fx =
=
4 20
x
255
x
2
, x R, x 0.
dan fungsi kuadrat graik fungsi kuadrat
SW
y = fx = -
4
20 x
2
, x R d
3 Apa kaitan konsep pencerminan dengan masalah ini? 4 Bagaimana komponen-komponen graik fungsi
setelah dicerminkan? 5 Dapatkah kamu memberikan perbedaan kedua graik
fungsi kuadrat tersebut? 6 Bilamana graik memotong sumbu x dan memotong
sumbu y? ♦ Ingat kembali, bagaimana menggambarkan graik
kuadrat dan memanfaatkan sifat pencerminan untuk memperoleh graik fungsi kuadrat yang baru.
Perhatikan fungsi kuadrat y
= fx = 20
4 ≠ x2, x ∈ R, x
≥ 0, yang menyatakan debit air yang mengalir dari pipa. Debit air yang
mengalir dari pipa bergantung pada diameter x pipa. Jika x = 0, maka debit air adalah y = fx = f0 = 0.
Untuk beberapa nilai x diberikan, diperoleh nilai y = fx
seperti disajikan dalam tabel berikut. x
1 2
3 4
y = fx
3,51 14,04
31,6 56,17
Grafik persamaan fungsi kuadrat Arahkan siswa meng-
gambar graik fungsi kuadrat dan menemukan
sifat-sifat graik tersebut. Ingatkan siswa tentang
materi transformasi ten- tang pencerminan terha-
dap sumbu x dan sumbu y. Arahkan siswa menggam-
bar graik fungsi kuadrat, dengan mengikuti lang-
kah-langkah berikut.
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
334
Buku Guru Kelas X SMA MA SMK MAK Edisi Revisi
dapat digambarkan sebagai berikut.
Gambar 7.12 Graik Fungsi
Dengan mencerminkan grafik persamaan fungsi kuadrat
terhadap sumbu-y, maka diperoleh sebuah parabola berikut.
10 -1
1 2
3 4
5 6
-2 -3
-4 -5
-6 20
30 40
50 60
70
D D
y
C C
B B
A A
256
–
f x =
4 20
x
2
, x R
’ ’
’ ’
→
x
Gambar 7.13 Graik Fungsi fx
Ciri-ciri fungsi kuadrat
at y = fx =
4 20
x
2
, x R da
–
’ ’
’ ’
yang berupa parabola di atas adalah sebagai berikut.
a. Tentukan titik potong graik fungsi terhadap
sumbu x. b. Buat tabel untuk mem-
peroleh titik-titik yang dilalui graik.
c. Gambarkan graik
fungsi pada sistem koordinat.
d. Tentukan nilai maksi- mum atau minimum
e. Tentukan titik puncak.
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
335
Mat emat ika
• Koeisien x
2
adalah
lah a =
4 20
–
• Kurva terbuka ke atas • Memiliki titik puncak titik balik minimum di titik
O 0, 0 • Memiliki sumbu simetri yang membagi dua kurva
sama besar, yaitu garis x = 0 dan nilai minimum y = f
0 = 0 • Nilai diskriminan, D = b
2
– 4ac = 0 • Kurva menyinggung sumbu x di titik O0, 0
• Cerminkan grafik fungsi kuadrat
at y = fx =
4 20
x
2
, x R da
–
’ ’
’ ’
terhadap sumbu-x dan selidiki sifat-sifat graik fungsi kuadrat yang
ditemukan.
Kita cerminkan grafik fungsi kuadrat
at y = fx =
4 20
x
2
, x R da
–
’ ’
’ ’
terhadap sumbu-x atau garis y = 0. Dengan mengingat kembali sifat-sifat
pencerminan bahwa arah benda dengan bayangannya selalu berlawanan arah. Sehingga nilai fungsi kuadrat
y = fx =
NG ,
4 20
2
x
x R b
–
’ ’
’ ’
berubah dari bernilai
positif menjadi negatif. Perubahan tersebut diikuti perubahan fungsinya dari y = fx =
=
4 20
x
–
1 2 3 4 5 6
1 A
’ ’
’ ’
x
2
, x ∈ R menjadi
njadi y = fx = -
4 20
x
2
, x
–
1 2 3 4 5 6 1
’ ’
’ ’
R
. Secara lengkap bayangan graik persamaan fungsi
kuadrat y = fx setelah dicerminkan terhadap Sumbu-x adalah sebagai berikut.
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
336
Buku Guru Kelas X SMA MA SMK MAK Edisi Revisi Gambar 7.14 Graik Fungsi x dan graik pencerminan fx
Ciri-ciri fungsi kuadrat
njadi y = fx = -
4 20
x
2
, x
–
1 2 3 4 5 6 1
’ ’
’ ’
R
dan parabola hasil pencer-minan terhadap sumbu-x Gambar-7.14 adalah sebagai berikut.
• Koeisien x
2
adalah a = –
-
4 20
–
’ ’
’ ’
• Kurva terbuka ke bawah • Memiliki titik puncak titik balik maksimum di
titik O 0, 0 • Memiliki sumbu simetri yang membagi dua kurva
sama besar, yaitu garis y = 0 dan nilai minimum f0 = 0
• Nilai diskriminan, D = b
2
– 4ac = 0 • Kurva menyinggung sumbu x di titik O0, 0
Apa kesimpulan dari hasil pencerminan tersebut? Meminta siswa mencer-
minkan graik fungsi kuad- rat y = fx =
20 4
≠ x
2
, x
∈ R terhadap Sumbu-x dan menyelidiki sifat-sifat
graik fungsi kuadrat yang ditemukan.
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
337
Mat emat ika
Kesimpulan
Misalkan gx = ax
2
, x ∈ R
. Jika graik g dicerminkan terhadap sumbu-x maka diperoleh
g x = -ax
2
, x ∈ R dengan sumbu simetri adalah
sumbu-y dan memiliki titik puncak O 0, 0.
M a sa la h-7 .8
Diberikan fungsi kuadrat fx = ax
2
+ bx + c, dengan
a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. a. Temukan persamaan garis simetri sumbu
simetri dan titik puncak graik fungsi kuadrat tersebut.
b. Temukan graik fungsi kuadrat fx = ax
2
+ bx +
c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0 dari graik fungsi kuadrat gx = ax
2
, x
∈
R, a
≠ 0. c. Temukan titik potong graik dengan sumbu x
dan sumbu y. d. Temukan sifat-sifat graik fungsi kuadrat fx =
ax
2
+ bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan
real dan a ≠ 0 terkait nilai koeisien a dan titik
puncak parabola.
Untuk memecahkan masalah di atas, cermati beberapa graik fungsi kuadrat yang telah digambar sebelumnya
dan beberapa pertanyaan berikut: 1 Apa yang dimaksud dengan graik fungsi kuadrat?
2 Apa yang dimaksud dengan persamaan garis sumbu simetri graik fungsi kuadrat?
3 Apa yang dimaksud dengan titik puncak graik fungsi kuadrat?
4 Bagaimana menemukan aturan penentuan
persamaan garis simetri dan titik puncak graik fungsi kuadrat?
5 Apa yang dimaksud dengan transformasi geser? Meminta siswa menyim-
pulkan hasil pencerminan graik fungsi kuadrat
Mengajak siswa men- emukan persamaan garis
simetri dan titik puncak graik fungsi kuadrat den-
gan mengajukan masalah berikut.
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
338
Buku Guru Kelas X SMA MA SMK MAK Edisi Revisi
6 Apa kaitan transformasi geser dan sifat-sifatnya untuk memperoleh sebarang graik fungsi kuadrat
dari graik fungsi kuadrat gx = ax
2
, x ∈ R, dan a
≠ 0?
7 Temukan arah pergeseran graik fungsi kuadrat g
x = ax
2
, x ∈ R untuk mend
apatkan graik fungsi
si
a D
a b
x g
x f
4 2
da apa saja yang kamu sim
≠ 0 berkaitan
≠ 0. ≠ 0
≠ 0
≠ 0
≠ 0
≠ 0
≠ 0
≠ 0
dan syarat-syarat
yang diperlukan 8 Sifat-sifat apa saja
yang kamu simpulkan dari graik fungsi kuadrat
a
D a
b x
a x
f 4
2
2
, de ≠ 0 berkaitan
≠ 0. ≠ 0
≠ 0
≠ 0
≠ 0
≠ 0
≠ 0
≠ 0
dengan
a, b, c adalah bilangan real dan a
≠ 0 berkaitan dengan nilai koeisien a dan titik puncak
graik fungsi? 9 Dapatkah kamu memberi beberapa kemungkinan
gambaran graik fungsi kuadrat terkait nilai koeisien a, nilai diskriminan, titik potong terhadap
sumbu-x, nilai fungsinya. Berdasarkan Deinisi 7.2, rumus umum fungsi kuadrat
adalah fx = ax
2
+ bx + c, dengan a, b, c bilangan real dan a
≠ 0. f
x
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
339
Mat emat ika
≠ 0
≠ 0
≠ 0 Misalkan gx = ax
2
, x R, a 0
f x = ax -
2 a
b
2
+ a
D 4
, a
≠ 0 dan gx = ax
2
, x R
fx = gx - 2
a b
+
a D
4
, a ≠ 0
Graik fungsi fx = gx –
- 2
a b
+
a D
4
a
≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat
≠ 0. Misal –
+ bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan riel dan a ≠ 0,
adalah graik fungsi kuadrat gx = ax
2
, x ∈ R yang digeser sejauh
satuan kearah Sumbu-x dan digeser sejauh satuan ke arah Sumbu-
y.
Sifat-4
Graik fungsi kuadrat fx = ax
2
+ bx + c, dengan a, b, c
bilangan real dan a ≠ 0, memiliki
a. Persamaan sumbu simetri x = 2
b a
dan b. Titik puncak
, .
2 4
b
D P
a a
Dari beberapa sajian graik fungsi kuadrat sebelumnya turunkan sifat-sifat graik fungsi kuadrat dan sajikan
beberapa kemungkinan kondisi graik tersebut terkait dengan koeisien x
2
, nilai diskriminan dan nilai fungsi tersebut.
Dari fungsi kuadrat
at fx = ax - 2
a b
2
+ a
D 4
, de
≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat
≠ 0. Misal –
+ bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan riel dan a ≠ 0,
dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0, dapat
diturunkan beberapa sifat. Dari beberapa sajian
graik persamaan fungsi kuadrat sebelumnya, guru
meminta siswa menurun- kan sifat-sifat graik pers-
amaan fungsi kuadrat dan menyajikan beberapa ke-
mungkinan kondisi graik tersebut terkait dengan
koeisien x
2
, nilai dis- kriminan dan nilai fungsi
tersebut.
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
340
Buku Guru Kelas X SMA MA SMK MAK Edisi Revisi
Sifat-5
Jika a 0, maka graik fungsi kuadrat fx = ax
2
+ bx + c, dengan a, b, dan c bilangan real a ≠ 0
terbuka ke atas dan memiliki titik balik minimum
≠ 0, dapat diturunkan beberapa sifat
um P a
b 2
,
a D
4
.
≠ 0. Misal –
Sifat-6
Jika a 0, maka graik fungsi kuadrat fx = ax
2
+ bx + c, dengan a, b, dan c bilangan real a
≠ 0 terbuka ke bawah dan memiliki titik puncak maksimum
, .
2 4
b
D P
a a
Sifat-7
Diberikan fungsi kuadrat fx = ax
2
+ bx + c, dengan a, b, c
bilangan real dan a ≠ 0, misalkan D = b
2
– 4ac D adalah diskriminan
a. Jika D 0, maka graik y = fx memotong
sumbu-x di dua titik berbeda b. Jika
D = 0, maka graik y = fx menyinggung sumbu-x di satu titik
c. Jika D 0, maka graik y = fx tidak memotong
sumbu-x Pada gambar berikut diperlihatkan berbagai kemung-
kinan letak parabola terhadap sumbu-x
y = fx
x
∈
R y
Graik tidak memotong Sb-x, a 0, D 0, dan fx 0,
A
x ∈R
x
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
341
Mat emat ika
y = fx
x
∈
R y
Graik menyinggung Sb-x, a 0, D = 0, dan fx
≥ 0,
A
x ∈R
x x
1
= x
2
y = fx
x
∈
R y
Graik tidak memotong Sb-x, a 0, D 0, dan fx 0,
A
x ∈
D
f
x
y = fx
x
∈
R y
Graik menyinggung Sb-x pada dua titik, a 0,
D = 0, dan fx ≤ 0,
A
x ∈
D
f
x x
1
c. Hubungan Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat