83
Mat emat ika
x – 3 + 2x – 8 = 5
⇔ 3x – 11 = 5 ⇔ 3x = 16
⇔ x = 163 memenuhi karena x = 163 berada pada domain x
≥ 4 Jadi, penyelesaian x
x − +
− =
3 2
8 5 adalah HP =
{2,163}
5. Pertidaksamaan Linear Yang Melibatkan Nilai Mutlak
Selanjutnya kita akan mengaplikasikan konsep nilai mutlak ke pertidaksamaan linier, dengan memahami dan
meneliti kasus-kasus berikut.
M a sa la h-2 .8
Seorang bayi lahir prematur di sebuah Rumah Sakit Ibu dan
Anak dengan berat badan 2.200 gram. Untuk mengatur suhu
tubuh bayi tetap stabil, maka harus dirawat di dalam inkubator
selama beberapa hari. Suhu inkubator harus dipertahankan
berkisar antara 32
O
C hingga 35
O
C selama 2 hari. Ternyata jika berat badan berada pada interval BB: 2.100–2.500
gram, maka suhu inkubator yang harus dipertahankan adalah 34
O
C. Jika pengaruh suhu ruangan membuat suhu inkubator menyimpang sebesar 0.2
O
C maka hitunglah interval perubahan suhu inkubator
Gambar 2.10 Inkubator
Alternatif Penyelesaian
Pada kasus bayi ini, kita sudah mendapatkan data dan suhu inkubator yang harus dipertahankan selama 1–2 hari
sejak kelahiran adalah 34
o
C. Misalkan T adalah segala kemungkinan perubahan suhu inkubator akibat pengaruh
suhu ruangan, dengan perubahan yang diharapkan sebesar 0.2
o
C, maka nilai mutlak suhu tersebut dapat kita modelkan, sebagai berikut:
|T – 34
o
C| ≤ 0,2
o
C Bangkitkan motivasi
siswa dengan memberikan informasi bahwa banyak
penerapan pertidaksa- maan dalam dunia nyata.
Sampaikan Masalah 2.8 sebagai salah satu contoh
masalah, kemudian minta siswa untuk memikirkan
dan memberikan contoh – contoh masalah du-
nia nyata yang berkaitan dengan pertidaksamaan.
Minta siswa memahami masalah di atas. Pandu
siswa untuk menga- mati garis bilangan dan
menjelaskan maksud dari
interval {T | 33,8
o
C ≤ T ≤ 34,2
o
C}
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
84
Buku Guru Kelas X SMA MA SMK MAK Edisi Revisi
Kasus ini dapat kita selesaikan melalui cara berikut.
Cara I. Dengan mengamati sketsa
Gambar 2.11 Interval perubahan suhu
33,8°C 0,2°C
0,2°C 33,9°C
34°C 34,1°C
34,2°C ...
... ...
... ...
...
sehingga interval kenaikan suhu inkubator adalah interval {T |33,8
o
C ≤ T ≤ 34,2
o
C}.
Cara II. Dengan memanfaatkan Deinisi 2.1
Berdasarkan Deinisi 2.1 maka T
C T
C T
C T
C T
C −
= −
≥ − +
34
34 jika
34 34
jika 34
atau T
C T
C T
C T
C T
C −
≤ =
− ≤
≥ − +
≤ 34
0.2° C
34 0.2°C
jika 34
34 0.2°C
jika 34
Jawaban pertidaksamaan menjadi T
≤ 34.2˚C untuk T
≥ 34˚C dan T ≥ 33.8˚C untuk T 34.2˚C. Karena kita mempartisi pertidaksamaan berdasarkan daerah asalnya
maka jawaban pertidaksamaan yang dipartisi akan digabungkan sehingga diperoleh {T |33,8
o
C ≤ T ≤ 34,2
o
C}.
Cara III dengan memanfaatkan
x x
=
2
Kamu dapat lihat pada Contoh 2.6 Minta siswa memberikan
pendapat tentang maksud dari sketsa di samping.
Arahkan dia dari nilai pembuat nol fungsi dan
arti dari simpangan.
Cara II telah diselesaikan di samping. Arahkan
siswa untuk mendapatkan penyelesaian tersebut.
Arahkan siswa untuk membandingkan jawaban
pertidaksamaan tersebut dengan memanfaatkan
x x
=
2
pada Contoh 2.6.
Arahkan siswa melihat Contoh 2.6
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
85
Mat emat ika
Beberapa tentara melakukan latihan menembak di sebuah
daerah kosong warga sipil. Salah satu dari mereka
berencana menembak obyek yang telah ditentukan di sebuah
perbukitan. Jika x = 0 adalah
posisi awal tentara tersebut, maka pola lintasan peluru
yang mengarah ke objek diperkirakan memenuhi persamaan 2y – x – 0,66 = 0 dengan x adalah jarak
penembak dengan sasaran dan y adalah ketinggian peluru dari permukaan tanah. Kecepatan angin dan
hentakan senjata akan mempengaruhi pergerakan peluru sehingga kemungkinan lintasan peluru dapat
berubah menjadi y – 0,475x – 0,35 = 0. Pada jarak berapakah lintasan peluru akan menyimpang 0,05 m
oleh pengaruh-pengaruh perubahan arah tersebut?
Gambar 2.12 Tentara menembak
M a sa la h-2 .9
Alternatif Penyelesaian Cara I Dengan memanfaatkan Deinisi 2.1
Karena x = 0 adalah posisi awal peluru, maka lintasan peluru haruslah pada interval x
≥ 0 sehingga model yang diperoleh adalah │0,5x + 0,33 – 0,475x + 0,35│≤ 0.05
atau │0,025x – 0,02│≤ 0.05 . Dengan Deinisi 2.1 maka
0 025 0 02
0 025 0 02
0 025 0 02
0 8 0 8
, ,
, ,
, ,
, ,
x x
x x
x −
= −
− +
≥
≤ jika
jika
sehingga
0 025 0 02
0 05 0 025
0 02 0 05
0 025 0 02
0 05 ,
, ,
, ,
, ,
, ,
x x
x x
− ≤
⇔ −
≤ −
+ ≤
jika
≥ ≥
≤ 0 8
0 8 ,
, jika
x
Dengan menyelesaikan kedua pertidaksamaan maka: a. Untuk
x ≥ 0,8 maka 0,025x – 0,02 ≤ 0.05 atau x ≤ 2,8
Dengan mengiris x ≥ 0,8 dan x ≤ 2,8 maka solusi 1
yang diperoleh adalah 0,8 ≤ x ≤ 2,8. Minta siswa memahami
Masalah 2.9 kemudian minta siswa untuk me-
mikirkan dan memberikan contoh lain tentang ma-
salah dunia nyata yang berkaitan dengan perti–
daksamaan.
Berikut adalah penyele– saian Masalah 2.9 dengan
memanfaatkan Deinisi 2.1. Beri kesempatan ke-
pada siswa untuk menye- lesaikan masalah tersebut
terlebih dulu. Ajukan per- tanyaan kepada siswa ten-
tang proses penyelesai– an di samping:
Kenapa fungsi dikurang
pada │0,5x + 0,33 –
0,475x + 0,35│≤ 0.05
Minta siswa memberikan pendapat tentang proses
penyelesaian di samping.
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
86
Buku Guru Kelas X SMA MA SMK MAK Edisi Revisi
b. Untuk 0 ≤ x 0,8 maka –0,025x + 0,02 ≤ 0.05 atau x ≥ –1,2
Dengan mengiris 0 ≤ x 0,8 dan x ≥ –1,2 maka solusi 2 yang diperoleh adalah 0 ≤ x 0,8.
Jika jawaban a dan b digabung maka penyelesaian yang diperoleh adalah 0 ≤ x ≤ 2,8. Artinya penyimpangan
lintasan peluru akibat pengaruh kecepatan angin dan hentakan senjata sebesar 0,05 m terjadi sejauh 2,8 m dari
posisi awal. Permasalah di atas dapat dinyatakan dengan graik sebagai
berikut.
x y
2,8 Lintasan peluru
Prediksi lintasan
peluru Jarak
Ketinggian
y = 0,475x+0,35 y = 0,5x+0,33
Gambar 2.13 Lintasan Peluru
Dari Gambar 2.13, jelas kita lihat bahwa graik lintasan peluru yang diprediksi mengalami penyimpangan.
Penyimpangan sejauh 0,05 m akan terjadi sampai x = 2,8 m.
Secara umum, pertidaksamaan linear nilai mutlak dapat disaji kan dalam bentuk:
│x│≤ a untuk a ≥ 0, a
∈
R │x│≥ a untuk a
∈
R. Ingat pada pelajaran sebelumnya bahwa fungsi nilai mutlak
tidak pernah bernilai negatif. Jika demikian, menurut pendapatmu, apa yang akan terjadi dalam bentuk umum di
atas jika a 0? Minta siswa untuk meng–
analisis graik disamping. Minta siswa menunjukkan
penyimpangan lintasan peluru pada kenyataan
dengan prediksi. Arahkan siswa untuk
membandingkan jawaban pertidaksamaan tersebut
dengan
memanfaatkan x
x =
2
pada Contoh 2.7.
Perkenalkan bentuk umum pertidaksamaan di sam–
ping. Minta siswa untuk membuat contoh dengan
memilih sembarang nilai a. Minta siswa untuk me–
nganalisis pertidaksamaan jika mereka memilih nilai
a positif, nol, atau negatif.
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
87
Mat emat ika
Berikutnya, mari kita temukan penyelesaian pertidaksamaan linear nilai mutlak │x│≤ a dan │x│≥ a
untuk a ≥ 0, a
∈
R.
Kasus 1 .
│x│≤ a untuk a ≥ 0, a
∈
R Dengan menggunakan Deinisi 2.1 maka:
Untuk x ≥ 0 maka │x│= x sehingga x ≤ a.
untuk x 0 maka│x│= –x sehingga –x ≤ a atau x ≥ –a.
Dengan demikian, solusi pertidaksamaan │x│≤ a untuk a ≥ 0, a
∈
R adalah x ≤ a dan x ≥ –a atau sering dituliskan
dengan –a ≤ x ≤ a .
Kasus 2 │x│≥ a untuk a ≥ 0, a
∈
R Dengan menggunakan Deinisi 2.1 maka:
Untuk x ≥ 0 maka │x│= x sehingga x ≥ a
Untuk x 0 maka │x│= –x sehingga –x ≥ a atau x ≤ –a
Dengan demikian, solusi pertidaksamaan│x│≥ a untuk a ≥ 0, a
∈
R adalah x ≤ –a atau x ≥ a.
Diskusi
Diskusikan dengan teman – temanmu, apa yang menjadi penyelesaian umum pertidaksamaan linear
nilai mutlak dengan bentuk umum:
│ax + b│≤ c
untuk c ≥ 0, a, b, c,
∈
R │ax + b│≥ c
untuk c ≥ 0, a, b, c,
∈
R │ax + b│≤ │cx + d│
untuk a, b, c,
∈
R
Kasus 1 dan kasus 2 dapat juga diselesaikan dengan memanfaatkan sifat
│x│=
x
2
lihat kembali Latihan 2.1. Tentu saja, kita membutuhkan konsep persamaan kuadrat.
Konsep persamaan kuadrat akan kamu pelajari pada Bab VII. Namun, mari kita pelajari sekilas penyelesaian
pertidaksamaan kuadrat sebagai alternatif penyelesaian Masalah 2.8 dan 2.9 dengan memperhatikan contoh berikut:
Minta komentar siswa, apa yang terjadi?
Minta siswa untuk mem- baca, mempelajari, meng–
analisis penyelesaian per- tidaksamaan pada kasus
1 dan kasus 2. Berikan kesempatan kepada siswa
untuk menjelaskan proses penyelesaian tersebut.
Minta siswa untuk me– nyelesaikan kasus 1 dan ka-
sus 2 dengan menggunakan graik atau garis bilangan.
Berikan kesempatan ke-
pada siswa untuk menyam- paikan pendapatnya.
Arahkan siswa untuk berdiskusi tentang per–
tidaksamaan linear dan nilai mutlak. Minta siswa
menyelesaikan masalah pertidaksamaan linear di
samping dengan meman- faatkan Deinisi 2.1
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
88
Buku Guru Kelas X SMA MA SMK MAK Edisi Revisi
Cont oh 2 .5
Selesaikanlah pertidaksamaan berikut dengan metode umum |2x + 1|
≥ |x –3|
Alternatif Penyelesaian
Pertidaksamaan di atas dapat diselesaikan dengan memanfaatkan x
x =
2
dan
x x
x x
x =
≥ −
jika
jika
serta graik. Perhaatikan langkah penyelesaian berikut
Langkah 1: Ingat bahwa x x
=
2
sehingga: 2
1 3
2 1
3 2
1 3
4 4
1 6
9 3
2 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
x x
x + ≥
− ⇔
+ ≥
− ⇔
+ ≥
− ⇔
+ + ≥
− +
⇔
2 2
10 8
3 2
4 +
− ≥ ⇔
− +
≥ x
x x
Langkah 2: Menentukan pembuat nol. x
x =
= − 2
3 4
atau Langkah 3: Letakkan pembuat nol dan tanda pada garis
bilangan
Langkah 4: Menentukan interval penyelesaian. Dalam hal ini, interval penyelesaian merupakan selang
nilai x yang membuat pertidaksamaan bernilai positif, sesuai dengan tanda pertidaksamaan pada soal di atas.
Dengan demikian arsiran pada interval di bawah ini adalah interval penyelesaian pertidaksamaan tersebut.
Contoh di samping adalah alternatif penyelesaian
pertidaksamaan dengan memanfaatkan keseta-
raan x x
=
2
. Namun, konsep persamaan kuad-
rat akan dipelajari pada bab selanjutnya, jadi beri-
kut adalah pembahasan sekilas tentang perti-
daksamaan bentuk kuad- rat. Jadi, arahkan dan
pandu siswa memahami langkah – langkah pe-
nyelesaian berikut.
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
89
Mat emat ika
Langkah 5: Menuliskan kembali interval penyelesaian HP
x x x
= ≤ −
≥
4
2 3
atau Permasalahan di atas dapat diselidiki dengan
memperlihatkan graik y = |2x + 1| dan graik y = |x + 3|, untuk setiap x
∈ R . Berdasarkan graik pada Gambar 2.4,
kita memperoleh graik sebagai berikut.
Pertidaksamaan |2x + 1| ≥ |x
– 3| dapat dilihat sebagai graik fungsi fx = |2x
+ 1| berada di atas graik fx = |x – 3|. Dari Gambar 2.11 terlihat bahwa pernyataan itu benar untuk
nilai x dalam himpunan x x x
x R
| ,
≤ − ≥
∈
4
2 3
atau .
Cont oh 2 .6
Perhatikan kembali Masalah 2.8. Alternatif penyelesaian lainnya dari masalah ini dapat dilihat pada cara III berikut.
Alternatif Penyelesaian Cara III Secara Aljabar
Dengan mengingat bahwa T T
=
2
maka: Minta siswa mengamati
graik kedua fungsi nilai mutlak di samping. Minta
siswa mengamati tanda pertidaksamaan pada
soal dengan posisi kurva dengan kurva lainnya.
Beri kesempatan pada siswa untuk menyampai-
kan pendapatnya.
Contoh berikut adalah al- ternatif penyelesaian lain-
nya pada Masalah 2.8. Arahkan dan pandu siswa
dalam menyelesaikan ma- salah ini dengan meman-
faatkan T T
=
2
.
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
90
Buku Guru Kelas X SMA MA SMK MAK Edisi Revisi
|T – 34
o
C| ≤ 0,2
o
C ⇔
T − ≤
34°C 0.2°C
2
kuadratkan ⇔ T – 34
o
C
2
≤ 0,2
o
C
2
⇔ T – 34
o
C
2
– 0,2
o
C
2
≤ 0 ⇔ [T – 34
o
C – 0,2
o
C] [T – 34
o
C + 0,2
o
C] ≤ 0 ⇔ [T – 34,2
o
C] [T – 33,8
o
C] ≤ 0 Nilai pembuat nol adalah T = 34,2
o
C atau T = 33,8
o
C
33,8°C 34,2°C
{T |33,8
o
C ≤ T ≤ 34,2
o
C}
Cont oh 2 .7
Perhatikan kembali Masalah 2.9. Alternatif penyelesaian lainnya dari masalah ini dapat dilihat pada cara II berikut.
Alternatif Penyelesaian
Dengan mengingat bahwa y bilangan real, │y│=
y
2
maka: ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, 0 5
0 33 0 475
0 35 0 0
0 025 0 02
0 0 0 025
x x
x x
+ −
+ ≤
⇔ −
≤ ⇔
− 5
5 02
0 0 0 025
0 02 0 0
0 025 0 02
2 2
, ,
, ,
, ,
≤ ⇔
− ≤
⇔ −
5 kuadratkan 5
2
x x
, ,
, ,
,
2
0 0 0 025
0 03 0 025 0 07
− ≤
⇔ +
[ ]
−
[ ]
≤ 5
2
x x
Nilai pembuat nol adalah x = -1,2 dan x = 2,8 Selang nilai x yang membuat pertidaksamaan bernilai
nonpositif, adalah –1,2 ≤ x ≤ 2,8, tetapi karena x = 0 adalah posisi diam tentara atau posisi awal peluru, maka lintasan
peluru haruslah pada interval x ≥ 0. Dengan demikian,
interval –1,2 ≤ x ≤ 2,8 akan kita iriskan kembali dengan Contoh berikut adalah al-
ternatif penyelesaian lain- nya pada Masalah 2.9.
Arahkan dan pandu siswa dalam menyelesaikan ma-
salah ini dengan meman-
faatkan │y│=
y
2
.
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
91
Mat emat ika
x ≥ 0 seperti berikut.
2,8 -1,2
{x │0 ≤ x ≤ 2,8}
Diskusi
Diskusikan kembali dengan teman – temanmu Tentukan penyelesaian umum pertidaksamaan linear
nilai mutlak dengan bentuk umum berikut dengan
memanfaatkan
│x│=
x
2
:
│x│ ≤ c
untuk c ≥ 0
│x│
≥
c
untuk c ≥ 0
│ax + b│≤ c
untuk c ≥ 0, a, b, c,
∈
R │ax + b│≥ c
untuk c ≥ 0, a, b, c,
∈
R │ax + b│≤ │cx + d│
untuk a, b, c,
∈
R Arahkan siswa memben-
tuk kelompok diskusi. Minta siswa menyele-
saikan masing – masing pertidaksamaan linear
di samping. Satu bentuk untuk satu kelompok.
Minta setiap kelompok mempresentasikan hasil
kerjanya. Arahkan siswa untuk membandingkan
jawaban dengan diskusi sebelumnya memanfaat-
kan Deinisi 2.1.
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
92
Buku Guru Kelas X SMA MA SMK MAK Edisi Revisi
U ji Kom pe t e nsi 2 .2
Selesaikan soal-soal berikut.
1. Dengan menggunakan Deinisi 2.1 maka ubahlah bentuk nilai mutlak berikut
a. x
− 2 b.
5 15
x −
c. 5
6 3
x − d. x
x +
− 2
5 e.
x x
x − +
+ +
1 1
2. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut a.
x − =
2 6
b. 3
5 7
x − =
c. x
x + − =
5 7
d. 2 2
3 8
5 x
x −
+ −
= e.
x x
x − +
+ + =
1 2
3 1
6 3. Sketsalah graik y
x =
− + 3
2 6
, untuk setiap nilai x bilangan real.
Petunjuk: Tentukan pertama kali pasangan koordinat titik yang memenuhi persamaan pada tabel berikut.
Kamu diperbolehkan menambahi pasangan koordinat titik sebanyak mungkin pada tabel. Letakkanlah
pasangan koordinat titik yang kamu peroleh pada bidang koordinat kartesius. Selanjutnya, hubungkanlah
pasangan titik – titik tersebut. Berikan soal - soal uji
kompetensi ini sebagai tu- gas di rumah bagi siswa.
Tujuan pemberian uji kompetensi ini adalah
untuk mengetahui apakah siswa sudah memahami
tentang konsep pertidak– samaan linear dengan
penerapannya terhadap nilai mutlak
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
93
Mat emat ika
x ...
3 4
5 6
7 8
9 10
... y
... 7
... ...
6 ...
... 7
... ...
x,y ...
3,7 ...
... 6,6
... ...
9,7 ...
...
4. Sketsalah graik y = │3x – 2│– 1, untuk –2 ≤ x ≤ 5, x bilangan real.
5. Seekor burung camar laut terbang pada ketinggian 17 meter melihat ikan pada jarak 25 m pada kedalaman
3 meter dari permukaan laut. Burung tersebut terbang menukik lurus ke permukaan laut dan menyelam
sejauh 3 meter untuk menangkap ikan dan langsung bergerak kembali ke permukaan dan langsung terbang
kembali seperti gambar.
Jika diasumsikan permukaan laut sebagai sumbu x
, ketinggian sebagai sumbu y, posisi ikan pada koordinat I0,-3 dan pergerakan burung memenuhi
fungsi fx = k |x – a| + b dari ketinggian 17 m sampai kedalaman 3 m, dengan a, b, k, dan x adalah bilangan
real, tentukanlah nilai a, b dan k.
6. Selesaikanlah pertidaksamaan nilai mutlak sebagai berikut
a. 3 2 4
− x
b. x
2 5
9 +
≥ c.
3 2
5 x +
≤ d.
2 2
2 3
− ≤
x e.
x x
+ ≤ − 5
1 9
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
94
Buku Guru Kelas X SMA MA SMK MAK Edisi Revisi
7. Buktikan a. │a + b│≤ │a + b│
b. │a – b│≤ │a + b│ 8. Buktikan bahwa graik persamaan linier dua variabel
adalah garis lurus 9. Gambarkanlah semua titik x,y pada bidang yang
memenuhi │x + y│+│x – y│= 2 . 10. Gambarkanlah himpunan penyelesaian pertidak–
samaan linear berikut ini dalam bentuk diagram garis a. 4 │x + 2│+│x – 1│ 5
b. │x – 2│≤ │x + 1│
Proje k
Dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak besaran yang nilainya dinyatakan dalam persamaan
linear. Misalkan saja besar tagihan telepon terhadap pemakaian.
• Dapatkan informasi tentang besaran-besaran yang nilainya dinyatakan dengan persamaan
linear dan bagaimana bentuk persamaan linear tersebut.
• Demikian juga dengan nilai mutlak. Ketelitian selalu dinyatakan dengan nilai mutlak,
karena ketelitian tidak memperhatikan apakah penyimpangan pada nilai sebenarnya
adalah positif atau negatif. Dengan kata lain, penyimpangan sebesar –0,05 adalah sama tidak
telitinya dengan penyimpangan sebesar 0,05.
• Dapatkan informasi tentang penggunaan nilai mutlak dalam kehidupan sehari-hari yang kamu
jumpai. Berikan kerja Projek di
samping kepada siswa untuk diselesaikan. Dari
kerja Projek, dapatkan informasi tingkat pema-
haman siswa terhadap konsep, keterampilan ber-
pikir, ketelitian, semangat kerja dan kejujuran.
Minta dibuat laporan kerja dan membuat per-
siapan untuk presentasi di depan kelas.
Diunduh dari
http:bse.kemdikbud.go.id
95
Mat emat ika
• Buat laporan tentang hasil pencarian dan pengkajianmu serta paparkan hasilnya di depan
kelas. Akan lebih menarik apabila kamu juga membandingkan beberapa alternatif pembayaran
yang ditawarkan oleh penyedia jasa misalnya: telepon, listrik untuk menentukan alternatif
mana yang paling menguntungkan sesuai dengan penggunaan.
D. PENUTUP
