BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Metode Beda Hingga
Metode perbedaan beda hingga adalah metode yang sangat popular. Pada intinya metode ini mengubah masalah Persamaan Differensial Biasa PDB nilai
batas dari sebuah masalah kalkulus menjadi sebuah aljabar. Dengan metode ini persamaan differensial
ψ’ dan ψ” akan diaproksimasikan dengan menggunakan deret Taylor sebagai berikut:
2.1 2.2
Kalau dikurangi 2.1 dengan 2.2 dan nilai setelah pangkat 2 diabaikan maka akan didapat:
2.3 Apabila 2.1 ditambahdengan 2.2 akandiperoleh
2.4 Persamaan 2.1
– 2.4 dapat diterapkan dengan membagi [x ,x
n
], lihat gambar 2.1 menjadi n bagian dengan interval h:
2.5
i=0 i=1
i=2 i=n-1
i=n X
X
1
X
2
X
n-1
X
n
Gambar 2.1 Pembagian Interval antara [x ,x
n
]
Dengan metode perbedaan hingga yang dicari adalah pada x tertentu:
2.6 Jika i = 0 maka
dengan menggunakan notasi ini persamaan 2.3 dan 2.4 dapat dituliskan:
2.7
Universitas Sumatera Utara
2.8 Persamaan 2.7 dan 2.8 dikenal dengan aproksimasi perbadaan hingga tiga titik
central three points finite difference approximation.
2.2 Persamaan Differensial Biasa PDB dengan Nilai Batas
Pada persoalan matematik lebih sering dijumpai PDB tingkat 2 dengan kondisi batas yang diberikan pada dua titik. Umumnya kedua titik ini ada pada batas-
batas domain permasalahan. Karena solusi yang dicari berada pada dua batas yang tertutup maka problem ini dikenal sebagai problem domain tertutup atau PDB
dengan nilai batas. Bentuk umum dari PDB tingkat 2 dengan nilai batas adalah: 2.9
Dengan nilai-nilai batas: 2.10
2.11 Dengan :
| | |
| dan| | |
| 2.12
Dari kondisi batas 2.1, ada 3 kemungkinan jenis kondisi batas yang mungkin diterapkan pada PDB ini,
1. Nilai batas konstan Tipe Dirichlet Nilai batas yang diberikan sebagai sebuah konstan. Contoh, jikaA
1
= 1 dan B
1
= 0 maka ψx
= α 2. Nilai batas derivatif Tipe Neuman
Nilai batas yang diberikan sebagai sebuah nilai derivatif. Contoh, jika A
1
= 0 dan B
1
= 1 maka ψ’x
= α 3. Nilai batas campuran Tipe Robin
Nilai batas terdiri dari nilai konstan dan derivatif. Contoh, jika A
1
= 1 dan B
1
= 1 maka ψx
o
+ ψ’x
o
= α Tergantung dari koefisien-koefisien px dan qx, PDB 2.9 dapat diklasifikasikan
sebagai berikut: 1. PDB Linier, jika px dan qx berupa fungsi dari x saja atau berupa sebuah
bilangan kompleks. 2. PDB Non linier, jika px dan qx merupakan fungsi dari x. Triatmodjo,
2002
Universitas Sumatera Utara
2.3 Metode Numerik
Kategori