2.3 Metode Numerik
Penerapan metode numerik pada persamaan Schrödinger dirumuskan dengan persamaan differensial. Langkah pendahuluan yang ditempuh dalam menerapkan
metode ini adalah memperkirakan persamaan differensial yang bersangkutan beserta syarat-syarat batasnya dengan seperangkat persamaan aljabar. Dengan mengganti
daerah yang kontinu dengan suatu pola titik tersebut. Sistem dibagi menjadi sejumlah subluas yang kecil dan memberi nomor acuan kepada setiap sub luas.
2.4 Sistem Tri-Diagonal
Pemecahan persamaan differensial dengan menggunakan diskretisasi perbedaan hingga finite difference, seringkali melibatkan system persamaan linier
SPL yang mempunyai bentuk-bentuk khusus. Contoh berikut memberikan dua kemungkinan bentuk SPL berikut;
2.13
Dengan menggunakan notasi matriks, sistem persamaan 2.13 dapat dituliskan
[ ]
[ ]
[ ]
2.14
Pada sistem tri-diagonal tampak bahwa mayoritas dari elemen matriknya adalah nol. Komputasi dengan komputer dapat menghemat banyak ruang memori
dengan hanya menyimpan elemen yang ada di diagonal mayor dan dua sub diagonal lainnya. Untuk sistem tri-diagonal, digunakan tiga vector a, d, dan c untuk
menyimpan nilai elemen yang bukan nol sepanjang diagonal mayor dan subdiagonalnya sehingga persamaan 2.14 menjadi;
Universitas Sumatera Utara
[ ]
[ ]
[ ]
2.15
Pemecahan SPL dengan koefesien matriks tri-diagonal didasari oleh metode Doolittle. Pertama-tama matriks A didekomposisi menjadi LU, yaitu matriks segitiga
bawah dan segitiga atas sesuai algoritma Doolittle. Setelah dekomposisi persamaan 2.15 menjadi:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2.16
L U
x b
Setelah perkalian matriks persamaan 2.16 menjadi
[ ]
[ ]
[ ]
2.17
Inti dari algoritma ini adalah mengubah elemen-elemen pada vector a, d, dan
c dengan vector α, δ, dan c yang merupakan elemen-elemen dari L dan U, jika
dibandingkan persamaan 2.17 dengan 2.15 maka tampak bahwa: ⁄
⁄
⁄
Universitas Sumatera Utara
Langkah-langkah di atas dapat dengan mudah diprogram, sebagai ilustrasi, 3 langkah pertama program tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
d1 = d1 a2 = a2 d1
d2 = d2 – a2c1
a3 = a3 d2 d3 = d3
– a3c2 setelah elemen-
elemen pada vector a dan d dengan α dan δ, persamaan 2.16 dapat
diproses lebih lanjut, jika Ux sebut saja g, maka persamaan 2.16 dapat dituliskan
[ ]
[ ]
[ ]
2.18
L g
b Dari persamaan 2.18 dapat diperoleh;
2.19
Dalam proses komputasi g disimpan sebagai vector b, yaitu elemen-elemen awal b diganti dengan yang baru. Tiga langkah pertama dalam program tertulis sebagai
berikut: b1 = b1
b2 = b2 – a2b1
b3 = b3 – a3b2
karena g adalah Ux maka;
[ ]
[ ]
[ ]
2.20
L x
g ⁄
⁄ 2.21
Universitas Sumatera Utara
⁄
⁄ Dalam komputasi, tiga langkah pertama berbentuk
xN = bN dN xN-1 = [bN-1
– cN-1xN] dN-1 xN-2 = [bN-2
– cN-2xN-1] dN-2 Jika diperhatikan prosedur di atas adalah metode Doolittle yang diterapkan
pada sistem tri-diagonal. Namun karena elemen dari matriks A kebanyakan nol maka hanya digunakan tiga vector dengan ukuran 1 x N untuk menyimpan elemen bukan
nol matriks A. Teknik ini sangat populer dengan algoritma Thomas, sesuai dengan nama penemunya. Zettili, 2009
2.5 Osilator Harmonik
Kategori