⁄
⁄ Dalam komputasi, tiga langkah pertama berbentuk
xN = bN dN xN-1 = [bN-1
– cN-1xN] dN-1 xN-2 = [bN-2
– cN-2xN-1] dN-2 Jika diperhatikan prosedur di atas adalah metode Doolittle yang diterapkan
pada sistem tri-diagonal. Namun karena elemen dari matriks A kebanyakan nol maka hanya digunakan tiga vector dengan ukuran 1 x N untuk menyimpan elemen bukan
nol matriks A. Teknik ini sangat populer dengan algoritma Thomas, sesuai dengan nama penemunya. Zettili, 2009
2.5 Osilator Harmonik
Pada mekanika klasik, salah satu bentuk osilator harmonik adalah sistem pegas massa, yaitu suatu beban bermassa m yang terikat pada salah satu ujung pegas
dengan konstanta pegas k. Persamaan gerak adalah 2.22
2.23 Dengan
√ adalah frekuensi angular osilasi.
Persamaan 2.23 adalah persamaan diferensial orde dua dengan akar-akar bilangan kompleks yang berlainan, solusinya adalah
2.24 Dan energi potensial sistem adalah
2.25
Oleh karena tidak bergantuk waktu, maka kita dapat menggunakan
persamaan Schrödinger tak bergantung waktu bentuk satu dimensi, yaitu
Universitas Sumatera Utara
2.26 R. Murugeshan, 2007
2.6 Persamaan Schrödinger
Persamaan Schrödinger merupakan fungsi gelombang yang digunakan untuk memberikan informasi tentang perilaku gelombang dari partikel. Suatu persamaan
differensial akan menghasilkan pemecahan yang sesuai dengan fisika kuantum. Untuk membentuk persamaan Schrödinger , maka harus memenuhi 3 tiga kriteria,
sebagai berikut: a Taat azas dengan kekekalan energi
Hukum kekekalan energi adalah jumlah energi kinetik ditambah energi potensial bersifat kekal, artinya tidak bergantung pada waktu maupun posisi.
Persamaan Schrödinger harus konsisten dengan hukum kekekalan energi. Secara matematis, hukum kekekalan energi dapat dinyatakan dengan rumusan:
2.27 Suku pertama ruas kiri menyatakan energi kinetik, suku kedua menyatakan
energi potensial, dan ruas kanan menyatakan suatu tetapan yang biasanya disebut sebagai energi total. dimana energi kinetik yang digunakan bukanlah dalam bentuk
. Karena pada persamaan Schrödinger berbicara tentang dunia atom, sehingga digunakan “prinsip ketakpastian” , dengan h = 6,63 x 10
-34
J.s. Ketidakpastian ini adalah sesuatu yang akurat dan pasti. Pada skala ini memberi
makna terhadap gejala fisika dalam dunia atom dan karena momentum itu sebanding dengan kecepatan. Ini berarti partikel tidak dapat memiliki posisi dan kecepatan yang
akurat pada saat bersamaan, bahkan ketidakpastian dalam posisi dikalikan dengan ketakpastian momentum selalu lebih besar nilainya dari konstanta Planck, karena
nilai konstanta Planck sangat kecil. Sehingga hanya digunakan dalam kawasan mikroskopik misalnya elektron.
b. Linear dan bernilai tunggal Persamaannya haruslah “berperilaku baik”, dalam pengertian matematikanya.
Pemecahannya harus memberi informasi tentang probabilitas untuk menemukan
Universitas Sumatera Utara
partikelnya, walaupun ditemukan probabilitas berubah secara kontiniu dan partikelnya menghilang secara tiba-tiba dari suatu titik dan muncul kembali pada titik
lainnya, namun fungsinya haruslah bernilai tunggal, artinya tidak boleh ada dua probabilitas untuk menemukan partikel di satu titik yang sama. Probabilitas harus
liniear, agar gelombangnya memiliki sifat superposisi yang diharapkan sebagai miliki gelombang yang berperilaku baik.
c. Pemecahan partikel bebas sesuai dengan gelombang de Broglie tunggal Tahun 1924 de Broglie menyatakan bahwa materi mempunyai sifat
gelombang disamping sifat partikel. Bentuk persamaan differensial apapun, haruslah taat asas terhadap hipotesis de Broglie. Untuk menyelesaikan persamaan matematik
bagi sebuah partikel dengan momentum p, maka pemecahannya harus berbentuk fungsi gelombang dengan panjang gelombang
λ yang sama dengan ⁄ . Sesuai
dengan persamaan ⁄ . Maka energi kinetik dari gelombang de Broglie partikel
bebas haruslah ⁄
⁄ .
Bentuk persamaan harus taat asas kekekalan energi seperti yang dijelaskan di atas
, K muncul dalam pangkat satu dan ⁄
⁄ , sehingga satu-satunya cara untuk memperoleh suku yang mengandung k
2
adalah dengan mengambil turunan kedua dari
terhadap x. Sehingga dihasilkan persamaan Schrödinger sebagai berikut:
2.28 Persamaan 2.28 merupakan bentuk persamaan Schrödinger tidak bergantung waktu
dalam satu dimensi.
2.7 Probabilitas dan Normalisasi
