Reestimasi Parameter Menggunakan LANDASAN TEORI

{ } , ; | ; ; t t t t t P y S j f y S j P S j θ θ θ = = = ⋅ = 3.1.3 Sehingga persamaan 3.1.1, 3.1.2 dan 3.1.3 diperoleh 2 2 , ; exp 2 2 t j j t t j j y P y S j µ π θ σ πσ ⎧ ⎫ − − ⎪ ⎪ = = ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ . 3.1.4 Fungsi kerapatan tak bersyarat dari Y t diperoleh dengan menjumlahkan persamaan 3.1.4 untuk semua kemungkinan nilai j: 1 ; , ; N t t t j f y P y S j θ θ = = = ∑ 3.1.5 Karena S t merupakan peubah yang tidak diamati, persamaan 3.1.5 merupakan fungsi kerapatan yang relevan untuk meng- gambarkan data yang diamati sebenarnya Y t . Jika S t bersifat bebas stokastik identik maka log-likelihood untuk data yang diamati dapat dihitung dari 1 2 1 . log ; ; ; log ; 3.1.6 T T t t f y f y f y f y θ θ θ θ θ = = ⋅⋅⋅ = ∑ L Penduga kemungkinan maksimum dari θ diperoleh dengan memaksimumkan persamaan 3.1.6 dengan kendala 1 2 3 1 N π π π π + + + ⋅⋅⋅ + = dan j π ≥ untuk 1, 2, , j N = ⋅⋅⋅ . Hal tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan algoritma EM. Setelah diperoleh penduga bagi θ , dapat diketahui peluang terjadinya suatu kejadian Y t serta dapat disimpulkan state mana yang paling memungkinkan menjadi penyebab terjadinya suatu kejadian. Dari definisi peluang bersyarat diperoleh { } { } . , ; | ; ; | ; ; t t t t t j t t t P y S j P S j y f y f y S j f y θ θ θ π θ θ = = = ⋅ = = 3.1.7 Dengan diperolehnya parameter populasi θ , memungkinkan digunakan persamaan 3.1.1 dan 3.1.5 untuk menghitung persamaan 3.1.7 pada setiap pengamatan Y t .

3.2 Reestimasi Parameter Menggunakan

Algoritma EM Penduga maksimum likelihood ˆ θ dapat diperoleh dengan memaksimumkan 1 log ; T t t f y θ θ = = ∑ L dengan kendala 1 2 3 1. N π π π π + + + + = Untuk menyelesaikan masalah tersebut maka digunakan metode Lagrange, misalkan 1 2 1 2 1 J 1 log ; . N T t N t f y θ θ λ π π π θ λ λπ λπ λπ = = + − − − − = + − − − ∑ L 3.2.1 Berdasarkan persamaan 3.2.1 diperoleh 2 2 ; 1 exp 2 2 | ; . t j t j j j t t y f y f y S j µ θ π σ πσ θ ⎧ ⎫ − − ∂ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎬ ∂ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ = = 3.2.2 2 2 2 2 ; exp 2 2 , ; t j t j j t j j j j t j t t j y y f y y P y S j µ µ π θ µ σ σ πσ µ θ σ ⎧ ⎫ − − − ∂ ⎪ ⎪ = ⋅ ⎨ ⎬ ∂ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ − = ⋅ = 3.2.3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 4 ; exp 2 2 exp 2 2 2 exp 2 2 2 t j j t j j j j t j j j j t j t j j j j j y f y y y y 2 µ π θ σ σ σ πσ µ π σ πσ µ µ π σ σ πσ ⎛ ⎞ ⎧ ⎫ − − ∂ ∂ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ = ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎝ ⎠ ⎧ ⎫ − − ⎪ ⎪ = − ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ − − − ⎪ ⎪ + ⋅ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 2 2 2 4 2 2 2 4 1 exp 2 2 2 2 1 , ; . 2 t j t j j j j j j t j j t t j y y y P y S j µ µ π σ σ σ πσ µ σ θ σ − ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ − − − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = − + ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ − ⎪ ⎪ = − + ⋅ = ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 3.2.4 1 1 | ; ; T t t t j t f y S j f y θ θ π θ = ∂ = = ∂ ∑ L 3.2.5 2 1 1 , ; ; T t j t t t j t j y P y S j f y µ θ θ µ θ σ = − ∂ = ⋅ ⋅ = ∂ ∑ L 3.2.6 2 2 2 4 1 1 1 , ; . ; 2 2 T t j j t t t t j j y P y S j f y µ θ σ θ θ σ σ − = ⎧ ⎫ − ∂ ⎪ ⎪ = − + = ⎨ ⎬ ∂ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∑ L 3.2.7 Kemudian, berdasarkan 3.1.7, persamaan 3.2.5 hingga 3.2.7 dapat dituliskan sebagai: 1 1 1 1 1 , | ; ; | ; . T t t t j t j t T j t t t f y P S j y f y P S j y θ θ θ π π θ π θ − = − = ∂ = = ∂ = = ∑ ∑ L 3.2.8 2 1 2 1 1 ; | ; ; | ; . T t j t t t t j t j T t j t t t j y f y P S j y f y y P S j y µ θ θ θ µ θ σ µ θ σ = = − ∂ = ⋅ = ∂ − = = ∑ ∑ L 3.2.9 2 2 2 4 1 2 2 4 1 1 1 ; 2 2 ; | ; 1 | ; . 2 2 T t j j t t j j t t t T t j j t t t j y f y f y P S j y y P S j y µ θ σ θ σ σ θ θ µ σ θ σ − = − = ⎧ ⎫ − ∂ ⎪ ⎪ = − + ⎨ ⎬ ∂ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⋅ = ⎧ ⎫ − ⎪ ⎪ = − + = ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∑ ∑ L 3.2.10 Untuk mencari nilai 2 ˆ ˆ , j j µ σ dan ˆ j π yang memaksimumkan fungsi log-likelihood maka turunan pertama dari persamaan 4.2.1 harus sama dengan nol, yaitu 2 1 J | ; T t j t t t j j y P S j y µ θ θ µ σ = − ∂ = = = ∂ ∑ 1 1 | ; | ; T T t t t j t t t t y P S j y P S j y θ µ θ = = = = = ∑ ∑ . Sehingga diperoleh: 1 1 ˆ | ; ˆ ˆ | ; T t t t t j T t t t y P S j y P S j y θ µ θ = = = = = ∑ ∑ . 3.2.11 Selanjutnya 2 2 2 4 1 J 1 2 2 | ; T t j j t j j t t y P S j y µ θ σ σ σ θ − = ⎧ ⎫ − ∂ ⎪ ⎪ = − + ⎨ ⎬ ∂ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⋅ = = ∑ 2 2 4 4 1 | ; 2 2 T t j j t t t j j y P S j y µ σ θ σ σ = ⎧ ⎫ − ⎪ ⎪ − + = = ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∑ { } 2 2 1 | ; T j t j t t t y P S j y σ µ θ = − + − = = ∑ 2 1 2 1 | ; | ; , T t j t t t T j t t t y P S j y P S j y µ θ σ θ = = − = = = ∑ ∑ akan menghasilkan 2 2 1 1 ˆ ˆ | ; ˆ ˆ | ; T t j t t t j T t t t y P S j y P S j y µ θ σ θ = = − = = = ∑ ∑ . 3.2.12 1 1 J | ; T j t t t j P S j y θ π θ λ π − = ∂ = = − = ∂ ∑ 1 1 | ; T j t t t j j P S j y λπ θ π π = = − = ∑ 1 | ; T t t j t P S j y θ λπ = = = ∑ . 3.2.13 Dari persamaan di atas, untuk 1, 2, , j N = diperoleh { } { } 1 1 2 1 1 | ; | ; 1 1 T t t t t t N T t P S y P S N y θ θ λ π π π λ = = = + + = = + + + = ⋅ ∑ ∑ yang mengakibatkan T λ = . Jika T λ = dimasukan dalam persamaan 3.2.13 maka 1 | ; T t t j t P S j y T θ π = = = ∑ , sehingga diperoleh 1 ˆ | ; ˆ T t t t j P S j y T θ π = = = ∑ . 3.2.14 Karena persamaan 3.2.11, 3.2.12, dan 3.2.14 tak-linear, maka digunakan Algoritma EM untuk mencari penduga maksimum likelihood.

IV. DERET WAKTU HIDDEN MARKOV HAMILTON