1 2
1 1
2 1
1 1
1 1
1 1
| 1
| ;
, |
; |
; |
, ;
1| ;
| 1,
; 2 |
; |
2, ;
ˆ 4.1.7
t t
t t
t j
t t
t t
t j
t t
t t
t t
t t
t t
t t t
f y P y S
j P S
j f y S
j P S
f y S P S
f y S ϒ θ
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ
− −
= −
− =
− −
− −
−
= =
= =
⋅ =
= =
= +
= =
′ =
⊗
∑ ∑
1 ξ
η
di mana
[ ]
1 1 ′ =
1
. Berdasarkan persamaan 4.1.6 dan 4.1.7,
maka diperoleh
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
, |
; |
; ,
, ;
; ;
, ;
, ,
; ,
; ,
, ;
, ;
| ,
; |
; .
4.1.8
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t
P y S j
f y P y S
j P
P P y
P y S j
P y P S
j y P y
P S j y
P S j
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
− −
− −
− −
− −
− −
−
= =
= ⋅
= =
= =
= =
= =
Sehingga berdasarkan persamaan 4.1.6, 4.1.7 dan 4.1.8 diperoleh
1 1
| 1
| |
1
, |
; |
; |
; ˆ
ˆ .
4.1.9 ˆ
t t
t t
t t
t t t
t t t
t t t
P y S j
P S j
f y ϒ
θ ϒ θ
ϒ θ
− −
− −
= =
= ⊗
= ′
⊗
ξ η
ξ 1
ξ η
1| 1
2 1
1 2
1 1
ˆ 1|
; 1,
| ;
1| , ;
| ;
t t
t t
t t
t j
t t
t t
t j
P S P S
S j
P S S
j P S
j ϒ θ
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ
+ +
+ =
+ =
= =
= =
= =
= =
⋅ =
∑ ∑
ξ
2 1
| 1
2 1
| 1
ˆ 1|
; ˆ
j t
t t t
j j
j t t
j
P S S
j p
θ ξ ξ
+ =
=
= =
= ⋅
=
∑ ∑
1 2
11 |
12 |
1| 1
2 21
| 22
| 1
| 11
12 2
21 22
| |
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ .
t t t t
t t
t t t t
t t t t
t t
p p
p p
p p
p p
ξ ξ
ξ ξ
ξ ξ
+
⎡ ⎤
⋅ +
⋅ ⎢
⎥ =
⎢ ⎥
⋅ +
⋅ ⎣
⎦ ⎡
⎤ ⎡
⎤ =
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣
⎦ = ⋅
ξ
P ξ
| |
ˆ ˆ
m t m t
t t +
= ⋅
ξ P
ξ .
4.1.10 Fungsi log-likelihood
θ
L
untuk data yang diamati Y
t
dapat dihitung dengan cara
1 2
1 1
1 1
log |
; | ;
| ;
log |
; .
t t
T t
t t
f y f y
f y f y
θ ϒ θ
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ
− −
=
= =
∑
L
4.1.11 Salah satu pendekatan yang digunakan untuk
memilih nilai awal bagi
| 1
ˆ
ξ
t t −
adalah dengan membuat
1|0
ˆ
ξ sama dengan vektor peluang tak
bersyarat
[ ]
1 2
π π
=
π
yang memenuhi sifat ergodic, yaitu
1 2
1.
π π
= +
=
π Pπ
Berdasarkan persamaan 4.1.7 diperoleh
1 1
1 1
1
| ;
1 | ;
| 1,
; 2 |
; |
2, ;
t t
t t
t t
t t
t t
t t
f y P S
f y S
P S f y
S
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
− −
− −
−
= =
⋅ =
+ =
⋅ =
2 1
1 1
1 2
2 2
2 1
1 2
1 1|
; exp
2 2
1 2|
; exp
. 2
2
t t
t t
t t
t t
y c y
P S y c
y P S
φ ϒ θ
σ πσ
φ ϒ θ
σ πσ
− −
− −
− − − −
⎧ ⎫
− ⎪
⎪ =
= ⎨
⎬ ⎪
⎪ ⎩
⎭ ⎧
⎫ −
⎪ ⎪
+ =
⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎩ ⎭
4.1.12
4.2 Pendugaan Parameter θ
Penduga kemungkinan maksimum bagi θ
diperoleh dengan memaksimumkan:
1 1
log |
;
T t
t t
f y
θ ϒ
θ
− =
=
∑
L
. Untuk memperoleh nilai
1 2
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
, , ,
c c
φ φ dan
2
ˆ
σ yang memaksimumkan fungsi log-likelihood
maka turunan pertama dari θ
L
harus sama dengan nol dan turunan kedua dari
θ
L
kurang dari nol lihat lampiran 1.
Untuk memperoleh nilai
1 2
ˆ ˆ
dan c
c
, berdasar- kan persamaan 4.1.12 diperoleh
1 1
2 1
1 1
1 2
1 1
1 2
1 1
1 1
1 2
| ;
1 1|
; exp
2 2
1| ;
| 1,
;
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t
c y
f y c
y c y
P S y
y c y
P S f y S
φ
ϒ θ φ
ϒ θ σ
πσ σ
φ ϒ θ
ϒ θ σ
− −
− −
− −
−
− − − −
− −
∂ ∂
⎧ ⎫
− ⎪
⎪ =
= ⎨
⎬ ⎪
⎪ ⎩
⎭ ⋅
= =
=
1
c θ
∂ =
∂ L
1 1
1 1
| ;
1 |
;
T t
t t
t t
f y f y
c
ϒ θ
ϒ θ
− =
−
∂ ⋅
= ∂
∑
1 1
1 1
1 1
1 2
1| ;
| 1,
; |
;
T t
t t
t t
t t
t t
t
P S f y S
f y y
c y
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ φ
σ
− −
= −
−
− −
⎡ =
⋅ =
⎢ ⎢⎣
⎤ ⋅
= ⎥
⎦
∑
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1| ;
| 1,
; |
; 1|
; |
1, ;
| ;
T t
t t
t t
t t
t t
t T
t t
t t
t t
t t
P S f y S
y y
f y P S
f y S c
f y ϒ θ
ϒ θ φ
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ ϒ θ
− −
− =
− −
− =
−
= ⋅
= ⋅
− =
⋅ =
=
∑ ∑
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
ˆ ˆ
1| ;
| 1,
; ˆ
| ;
ˆ .
ˆ ˆ
1| ;
| 1,
; ˆ
| ;
T t
t t
t t
t t
t t
t T
t t
t t
t t
t t
P S f y S
y y
f y c
P S f y S
f y ϒ θ
ϒ θ φ
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ ϒ θ
− −
− =
− −
− =
−
= ⋅
= ⋅ −
= =
⋅ =
∑ ∑
4.2.1 Dengan cara yang sama diperoleh:
1 1
2 1
1 1
2 1
1 1
1
ˆ ˆ
2| ;
| 2,
; ˆ
| ;
ˆ .
ˆ ˆ
2| ;
| 2,
; ˆ
| ;
T t
t t
t t
t t
t t
t T
t t
t t
t t
t t
P S f y S
y y
f y c
P S f y S
f y ϒ θ
ϒ θ φ
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ ϒ θ
− −
− =
− −
− =
−
= ⋅
= ⋅ −
= =
⋅ =
∑ ∑
4.2.2 Untuk memperoleh nilai
1 2
ˆ ˆ
dan
φ φ , berdasar-
kan persamaan 4.1.12 diperoleh
1 1
2 1
1 1
1 2
1 1
1 1
2
| ;
1 1|
; exp
2 2
t t
t t
t t
t t
t
f y y c
y P S
y c y
y ϒ θ
φ φ
ϒ θ σ
πσ φ
σ
− −
− −
−
− − − −
∂ ∂
⎧ ⎫
− ⎪
⎪ =
= ⎨
⎬ ⎪
⎪ ⎩
⎭ ⋅
1 1
1 1
1 1
2
1| ;
| 1,
;
t t
t t
t t
t t
P S f y S
y c y
y ϒ θ
ϒ θ φ
σ
− −
− −
− −
= =
= ⋅
1
θ φ
∂ =
∂ L
1 1
1 1
| ;
1 |
;
T t
t t
t t
f y f y
ϒ θ
ϒ θ
φ
− =
−
∂ ⋅
= ∂
∑
1 1
1 1
1 1
1 1
2
1| ;
| 1,
; |
;
T t
t t
t t
t t
t t
t t
P S f y S
f y y
c y
y
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ φ
σ
− −
= −
− −
− −
⎡ =
⋅ =
⎢ ⎢⎣
⎤ ⋅
= ⎥
⎦
∑
1 1
1 1
1 1
2 1
1 1
1 1
1
1| ;
| 1,
; |
; 1|
; |
1, ;
| ;
T t
t t
t t
t t
t t
t T
t t
t t
t t
t t
t
P S f y S
y c y
f y P S
f y S y
f y ϒ θ
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ ϒ θ
φ ϒ θ
− −
− =
− −
− −
= −
= ⋅
= ⋅ −
= ⋅
= =
∑ ∑
1 1
1 1
1 1
1 2
1 1
1 1
1
ˆ ˆ
1| ;
| 1,
; ˆ
ˆ |
; ˆ
. ˆ
ˆ 1|
; |
1, ;
ˆ |
;
T t
t t
t t
t t
t t
t T
t t
t t
t t
t t
t
P S f y S
y c y f y
P S f y S
y f y
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ φ
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ
− −
− =
− −
− −
= −
= ⋅
= ⋅ −
= =
⋅ =
∑ ∑
4.2.3 Dengan cara yang sama diperoleh
1 1
2 1
1 1
2 2
1 1
1 1
1
ˆ ˆ
2| ;
| 2,
; ˆ
ˆ |
; ˆ
. ˆ
ˆ 2|
; |
2, ;
ˆ |
;
T t
t t
t t
t t
t t
t T
t t
t t
t t
t t
t
P S f y S
y c y f y
P S f y S
y f y
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ φ
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ
− −
− =
− −
− −
= −
= ⋅
= ⋅ −
= =
⋅ =
∑ ∑
4.2.4
Untuk memperoleh nilai
2
ˆ σ , berdasarkan
persamaan 4.1.12 diperoleh
1 2
2 2
1 1
2 3
1 2
1 1
2 2
1 4
| ;
1 |
; exp
2 2
2 1
| ;
exp 2
2
2
t t
t j
j t t
t j
t j
j t t
t t
j j t
f y y c
y P S
j y c
y P S
j y c
y ϒ θ
σ φ
ϒ θ σ
σ π φ
ϒ θ σ
σ π φ
σ
− −
− =
− −
−
− −
− −
− −
∂ ∂
⎡ ⎧
⎫ −
⎪ ⎪
⎢ =
− =
⎨ ⎬
⎢ ⎪
⎪ ⎢
⎩ ⎭
⎣ ⎛
⎧ ⎫
− ⎪
⎪ ⎜
+ =
⎨ ⎬
⎜⎜ ⎪
⎪ ⎩
⎭ ⎝
⎤ ⎞
⎥ ⎟
⋅ ⎥
⎟ ⎥
⎠⎦
∑
2 2
1 1
2 1
2 1
2 4
1 |
; exp
2 2
1 2
2
t j
j t t
t j
t j
j t
y c y
P S j
y c y
φ ϒ θ
σ σ π
φ σ
σ
− −
= −
− −
− −
⎡ ⎧
⎫ −
⎪ ⎪
⎢ =
= ⎨
⎬ ⎢
⎪ ⎪
⎢ ⎩
⎭ ⎣
⎤ ⎛
⎞ −
⎥ ⎜
⎟ ⋅
+ ⎥
⎜ ⎟
⎥ ⎝
⎠ ⎦
∑
2 1
1 1
2 1
2 4
| ;
| ,
; 1
2 2
t t
t t
t j
t j
j t
P S j
f y S j
y c
y ϒ θ
ϒ θ φ
σ σ
− −
= −
− −
= =
= ⎡⎣
⎤ ⎛
⎞ −
⎥ ⎜
⎟ ⋅
+ ⎥
⎜ ⎟
⎥ ⎝
⎠ ⎦
∑
2 1
1 1
2 2
1 4
4
| ;
| ,
;
2 2
t t
t t
t j
t j
j t
P S j
f y S j
y c
y ϒ θ
ϒ θ φ
σ σ
σ
− −
= −
− −
= =
= ⎡⎣
⎤ ⎛
⎞ −
⎥ ⎜
⎟ ⋅
+ ⎥
⎜ ⎟
⎥ ⎝
⎠ ⎦
∑
2
θ σ
∂ =
∂
L
1 2
1 1
| ;
1 |
;
T t
t t
t t
f y f y
ϒ θ
ϒ θ
σ
− =
−
∂ ⋅
= ∂
∑
2 1
1 1
1 1
2 2
1
| ;
| ,
; |
;
t t
T t
t t
t t
t j
t t
t S
S t
P S j
f y S j
f y y
c y
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ σ
φ
− −
= =
− −
− −
⎡ =
= ⎢
⎢⎣ ⎤
⋅ − + =
⎥⎦
∑∑
2 1
1 2
1 1
1 2
2 1
1 1
1 1
1
| ;
| ,
; |
; |
; |
, ;
| ;
t t
T t
t t
t t
t j
t t
T t
t t
t t
t S
t S
t j
t t
P S j
f y S j
f y P S
j f y S
j y c
y f y
ϒ θ ϒ θ
σ ϒ θ
ϒ θ ϒ θ
φ ϒ θ
− −
= = −
− −
− = =
−
− −
= =
= =
=
∑∑
∑∑
2 2
1 1
1 1
1 1
2 2
1 1
1 1
1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
| ;
| ,
; |
; ˆ
. ˆ
ˆ |
; |
, ;
ˆ |
;
t t
T t
t t
t t
t S
S t t
j t
t T
t t
t t
t t
j t
t
P S j f y S j
y c y
f y P S
j f y S
j f y
ϒ θ ϒ θ
φ ϒ θ
σ ϒ θ
ϒ θ ϒ θ
− −
− = =
− −
− = =
−
− −
= =
= =
=
∑∑ ∑∑
4.2.5
4.3 Reestimasi Parameter Menggunakan