Pendugaan Parameter θ DERET WAKTU HIDDEN MARKOV HAMILTON

1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 | 1 | ; , | ; | ; | , ; 1| ; | 1, ; 2 | ; | 2, ; ˆ 4.1.7 t t t t t j t t t t t j t t t t t t t t t t t t t f y P y S j P S j f y S j P S f y S P S f y S ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ − − = − − = − − − − − = = = = ⋅ = = = = + = = ′ = ⊗ ∑ ∑ 1 ξ η di mana [ ] 1 1 ′ = 1 . Berdasarkan persamaan 4.1.6 dan 4.1.7, maka diperoleh 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , | ; | ; , , ; ; ; , ; , , ; , ; , , ; , ; | , ; | ; . 4.1.8 t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t P y S j f y P y S j P P P y P y S j P y P S j y P y P S j y P S j ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ − − − − − − − − − − − = = = ⋅ = = = = = = = = Sehingga berdasarkan persamaan 4.1.6, 4.1.7 dan 4.1.8 diperoleh 1 1 | 1 | | 1 , | ; | ; | ; ˆ ˆ . 4.1.9 ˆ t t t t t t t t t t t t t t t P y S j P S j f y ϒ θ ϒ θ ϒ θ − − − − = = = ⊗ = ′ ⊗ ξ η ξ 1 ξ η 1| 1 2 1 1 2 1 1 ˆ 1| ; 1, | ; 1| , ; | ; t t t t t t t j t t t t t j P S P S S j P S S j P S j ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ + + + = + = = = = = = = = = ⋅ = ∑ ∑ ξ 2 1 | 1 2 1 | 1 ˆ 1| ; ˆ j t t t t j j j t t j P S S j p θ ξ ξ + = = = = = ⋅ = ∑ ∑ 1 2 11 | 12 | 1| 1 2 21 | 22 | 1 | 11 12 2 21 22 | | ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ . t t t t t t t t t t t t t t t t p p p p p p p p ξ ξ ξ ξ ξ ξ + ⎡ ⎤ ⋅ + ⋅ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⋅ + ⋅ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = ⋅ ξ P ξ | | ˆ ˆ m t m t t t + = ⋅ ξ P ξ . 4.1.10 Fungsi log-likelihood θ L untuk data yang diamati Y t dapat dihitung dengan cara 1 2 1 1 1 1 log | ; | ; | ; log | ; . t t T t t t f y f y f y f y θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ − − = = = ∑ L 4.1.11 Salah satu pendekatan yang digunakan untuk memilih nilai awal bagi | 1 ˆ ξ t t − adalah dengan membuat 1|0 ˆ ξ sama dengan vektor peluang tak bersyarat [ ] 1 2 π π = π yang memenuhi sifat ergodic, yaitu 1 2 1. π π = + = π Pπ Berdasarkan persamaan 4.1.7 diperoleh 1 1 1 1 1 | ; 1 | ; | 1, ; 2 | ; | 2, ; t t t t t t t t t t t t f y P S f y S P S f y S ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ − − − − − = = ⋅ = + = ⋅ = 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1| ; exp 2 2 1 2| ; exp . 2 2 t t t t t t t t y c y P S y c y P S φ ϒ θ σ πσ φ ϒ θ σ πσ − − − − − − − − ⎧ ⎫ − ⎪ ⎪ = = ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ − ⎪ ⎪ + = ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 4.1.12

4.2 Pendugaan Parameter θ

Penduga kemungkinan maksimum bagi θ diperoleh dengan memaksimumkan: 1 1 log | ; T t t t f y θ ϒ θ − = = ∑ L . Untuk memperoleh nilai 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ , , , c c φ φ dan 2 ˆ σ yang memaksimumkan fungsi log-likelihood maka turunan pertama dari θ L harus sama dengan nol dan turunan kedua dari θ L kurang dari nol lihat lampiran 1. Untuk memperoleh nilai 1 2 ˆ ˆ dan c c , berdasar- kan persamaan 4.1.12 diperoleh 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 | ; 1 1| ; exp 2 2 1| ; | 1, ; t t t t t t t t t t t t t t t c y f y c y c y P S y y c y P S f y S φ ϒ θ φ ϒ θ σ πσ σ φ ϒ θ ϒ θ σ − − − − − − − − − − − − − ∂ ∂ ⎧ ⎫ − ⎪ ⎪ = = ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⋅ = = = 1 c θ ∂ = ∂ L 1 1 1 1 | ; 1 | ; T t t t t t f y f y c ϒ θ ϒ θ − = − ∂ ⋅ = ∂ ∑ 1 1 1 1 1 1 1 2 1| ; | 1, ; | ; T t t t t t t t t t t P S f y S f y y c y ϒ θ ϒ θ ϒ θ φ σ − − = − − − − ⎡ = ⋅ = ⎢ ⎢⎣ ⎤ ⋅ = ⎥ ⎦ ∑ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1| ; | 1, ; | ; 1| ; | 1, ; | ; T t t t t t t t t t t T t t t t t t t t P S f y S y y f y P S f y S c f y ϒ θ ϒ θ φ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ − − − = − − − = − = ⋅ = ⋅ − = ⋅ = = ∑ ∑ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ 1| ; | 1, ; ˆ | ; ˆ . ˆ ˆ 1| ; | 1, ; ˆ | ; T t t t t t t t t t t T t t t t t t t t P S f y S y y f y c P S f y S f y ϒ θ ϒ θ φ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ − − − = − − − = − = ⋅ = ⋅ − = = ⋅ = ∑ ∑ 4.2.1 Dengan cara yang sama diperoleh: 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 ˆ ˆ 2| ; | 2, ; ˆ | ; ˆ . ˆ ˆ 2| ; | 2, ; ˆ | ; T t t t t t t t t t t T t t t t t t t t P S f y S y y f y c P S f y S f y ϒ θ ϒ θ φ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ − − − = − − − = − = ⋅ = ⋅ − = = ⋅ = ∑ ∑ 4.2.2 Untuk memperoleh nilai 1 2 ˆ ˆ dan φ φ , berdasar- kan persamaan 4.1.12 diperoleh 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 | ; 1 1| ; exp 2 2 t t t t t t t t t f y y c y P S y c y y ϒ θ φ φ ϒ θ σ πσ φ σ − − − − − − − − − ∂ ∂ ⎧ ⎫ − ⎪ ⎪ = = ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⋅ 1 1 1 1 1 1 2 1| ; | 1, ; t t t t t t t t P S f y S y c y y ϒ θ ϒ θ φ σ − − − − − − = = = ⋅ 1 θ φ ∂ = ∂ L 1 1 1 1 | ; 1 | ; T t t t t t f y f y ϒ θ ϒ θ φ − = − ∂ ⋅ = ∂ ∑ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1| ; | 1, ; | ; T t t t t t t t t t t t P S f y S f y y c y y ϒ θ ϒ θ ϒ θ φ σ − − = − − − − − ⎡ = ⋅ = ⎢ ⎢⎣ ⎤ ⋅ = ⎥ ⎦ ∑ 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1| ; | 1, ; | ; 1| ; | 1, ; | ; T t t t t t t t t t t T t t t t t t t t t P S f y S y c y f y P S f y S y f y ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ φ ϒ θ − − − = − − − − = − = ⋅ = ⋅ − = ⋅ = = ∑ ∑ 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ˆ ˆ 1| ; | 1, ; ˆ ˆ | ; ˆ . ˆ ˆ 1| ; | 1, ; ˆ | ; T t t t t t t t t t t T t t t t t t t t t P S f y S y c y f y P S f y S y f y ϒ θ ϒ θ ϒ θ φ ϒ θ ϒ θ ϒ θ − − − = − − − − = − = ⋅ = ⋅ − = = ⋅ = ∑ ∑ 4.2.3 Dengan cara yang sama diperoleh 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 ˆ ˆ 2| ; | 2, ; ˆ ˆ | ; ˆ . ˆ ˆ 2| ; | 2, ; ˆ | ; T t t t t t t t t t t T t t t t t t t t t P S f y S y c y f y P S f y S y f y ϒ θ ϒ θ ϒ θ φ ϒ θ ϒ θ ϒ θ − − − = − − − − = − = ⋅ = ⋅ − = = ⋅ = ∑ ∑ 4.2.4 Untuk memperoleh nilai 2 ˆ σ , berdasarkan persamaan 4.1.12 diperoleh 1 2 2 2 1 1 2 3 1 2 1 1 2 2 1 4 | ; 1 | ; exp 2 2 2 1 | ; exp 2 2 2 t t t j j t t t j t j j t t t t j j t f y y c y P S j y c y P S j y c y ϒ θ σ φ ϒ θ σ σ π φ ϒ θ σ σ π φ σ − − − = − − − − − − − − − ∂ ∂ ⎡ ⎧ ⎫ − ⎪ ⎪ ⎢ = − = ⎨ ⎬ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎩ ⎭ ⎣ ⎛ ⎧ ⎫ − ⎪ ⎪ ⎜ + = ⎨ ⎬ ⎜⎜ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎝ ⎤ ⎞ ⎥ ⎟ ⋅ ⎥ ⎟ ⎥ ⎠⎦ ∑ 2 2 1 1 2 1 2 1 2 4 1 | ; exp 2 2 1 2 2 t j j t t t j t j j t y c y P S j y c y φ ϒ θ σ σ π φ σ σ − − = − − − − − ⎡ ⎧ ⎫ − ⎪ ⎪ ⎢ = = ⎨ ⎬ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎩ ⎭ ⎣ ⎤ ⎛ ⎞ − ⎥ ⎜ ⎟ ⋅ + ⎥ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎦ ∑ 2 1 1 1 2 1 2 4 | ; | , ; 1 2 2 t t t t t j t j j t P S j f y S j y c y ϒ θ ϒ θ φ σ σ − − = − − − = = = ⎡⎣ ⎤ ⎛ ⎞ − ⎥ ⎜ ⎟ ⋅ + ⎥ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎦ ∑ 2 1 1 1 2 2 1 4 4 | ; | , ; 2 2 t t t t t j t j j t P S j f y S j y c y ϒ θ ϒ θ φ σ σ σ − − = − − − = = = ⎡⎣ ⎤ ⎛ ⎞ − ⎥ ⎜ ⎟ ⋅ + ⎥ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎦ ∑ 2 θ σ ∂ = ∂ L 1 2 1 1 | ; 1 | ; T t t t t t f y f y ϒ θ ϒ θ σ − = − ∂ ⋅ = ∂ ∑ 2 1 1 1 1 1 2 2 1 | ; | , ; | ; t t T t t t t t t j t t t S S t P S j f y S j f y y c y ϒ θ ϒ θ ϒ θ σ φ − − = = − − − − ⎡ = = ⎢ ⎢⎣ ⎤ ⋅ − + = ⎥⎦ ∑∑ 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 | ; | , ; | ; | ; | , ; | ; t t T t t t t t t j t t T t t t t t t S t S t j t t P S j f y S j f y P S j f y S j y c y f y ϒ θ ϒ θ σ ϒ θ ϒ θ ϒ θ φ ϒ θ − − = = − − − − = = − − − = = = = = ∑∑ ∑∑ 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ | ; | , ; | ; ˆ . ˆ ˆ | ; | , ; ˆ | ; t t T t t t t t t S S t t j t t T t t t t t t j t t P S j f y S j y c y f y P S j f y S j f y ϒ θ ϒ θ φ ϒ θ σ ϒ θ ϒ θ ϒ θ − − − = = − − − = = − − − = = = = = ∑∑ ∑∑ 4.2.5

4.3 Reestimasi Parameter Menggunakan