IV. DERET WAKTU HIDDEN MARKOV HAMILTON
4.1 Model Deret Waktu Hidden Markov
Hamilton
Pada karya ilmiah ini dibahas model deret waktu hidden markov Hamilton 1994 yaitu:
1
t t
t S
S t
t
Y c
Y
φ
−
= +
+
E 4.1.1 di mana:
2
0,
t
N σ
∼ E
bebas stokastik identik
{ }
t
Y
proses yang diamati dan bernilai skalar
{ }
t
S
rantai Markov dengan ruang state
{ }
1, 2 S
=
1 2
1
, , ,
c c
φ dan
2
φ adalah konstanta real
2 1
2 1
2
, , ,
, c c
θ φ φ σ
=
11 21
12 22
P = p
p p
p ⎡
⎤ ⎢
⎥ ⎣
⎦ merupakan matriks peluang
transisi. Karena
2
0,
t
N σ
∼ E
bebas stokastik identik maka dapat diperoleh fungsi sebaran bagi
t
E :
2 2
2 2
1 exp
2 2
1 exp
. 2
2
t t
t
t t
t y
t t
y t
t
F y
P y
d d
ε ε
σ πσ
ε ε
σ πσ
= ≤
⎧ ⎫
− −
⎪ ⎪
= ⎨
⎬ ⎪
⎪ ⎩
⎭ ⎧
⎫ −
⎪ ⎪
= ⎨
⎬ ⎪
⎪ ⎩
⎭
∫ ∫
E
E
4.1.2 Berdasarkan persamaan 4.1.2 diperoleh fungsi
sebaran bagi
t
Y
:
1
1 1
2 2
1 exp
. 2
2
t t
t t
t t
S S
t t
t
Y t
t t
S S
t t
t t
t S
S t
y c
Y t
t
Y
F y
P Y y
P c y
P y
c Y
d
φ
φ φ
ε ε
σ πσ
−
− −
− −
+ +
≤ ≤
− −
= ≤
= =
⎧ ⎫
− ⎪
⎪ =
⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎩ ⎭
∫
E E
Misalkan
1
t t
t S
S t
v y
c Y
φ
−
− −
=
, maka
2 2
1 exp
2 2
t
v t
Y t
t
F y
d ε
ε σ
πσ ⎧
⎫ −
⎪ ⎪
= ⎨
⎬ ⎪
⎪ ⎩
⎭
∫
dan
2 2
1 1
exp 2
2
t t
Y t
Y t
t t
f y
F y
y v
v y
σ πσ
∂ =
∂ ⎧
⎫ ∂ ⎪
⎪ =
⋅ ⎨
⎬ ∂
⎪ ⎪
⎩ ⎭
2 1
2 2
1 2
1 exp
1 2
2 1
exp .
2 2
t t
t t
t S
S t
t S
S t
Y
Y
y c
y c
φ σ
πσ φ
σ πσ
−
−
− −
− −
⎧ ⎫
− ⎪
⎪ =
⋅ ⎨
⎬ ⎪
⎪ ⎩
⎭ ⎧
⎫ −
⎪ ⎪
= ⎨
⎬ ⎪
⎪ ⎩
⎭ 4.1.3
Misalkan
t
ϒ adalah medan- σ yang lengkap
dan dibangun oleh
1 2
3
, ,
, ,
t
Y Y Y Y . Karena
t
S merupakan rantai Markov 2 state maka terdapat 2 fungsi kerapatan peluang bagi
t
Y . Kumpulan fungsi kerapatan peluang tersebut
dalam vektor 2 1
× dilambangkan dengan
t
η
, sehingga diperoleh:
1 1
2 1
1 1
2 2
2 2
1 2
| 1,
; |
2, ;
1 exp
2 2
. 1
exp 2
2
η
t t
t t
t t
t t
t t
t
f y S
f y S
y c
y y
c y
ϒ θ
ϒ θ
φ σ
πσ φ
σ πσ
− −
− −
− −
− −
= ⎡
⎤ = ⎢
⎥ =
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎧ ⎫
− ⎪
⎪ ⎢
⎥ ⎨
⎬ ⎢
⎥ ⎪
⎪ ⎩
⎭ ⎢
⎥ =
⎧ ⎫
⎢ ⎥
− ⎪
⎪ ⎢
⎥ ⎨
⎬ ⎢
⎥ ⎪
⎪ ⎩
⎭ ⎣
⎦ 4.1.4
Misalkan
1 |
1 |
1 2
| 1
ˆ ˆ
ˆ
t t t t
t t
ξ ξ
− −
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜
⎟ ⎝
⎠
ξ
melambangkan vektor 2 1
× di mana
| 1
ˆ
j t t
−
ξ
pada vektor mere- presentasikan
{ }
1
| ;
t t
P S j
ϒ θ
−
=
dan ⊗ me-
lambangkan perkalian elemen per elemen, maka
| 1
ˆ
t t t
−
⊗
ξ η
1 1
1 1
1 1
1 1
1| ;
| 1,
; 2 |
; |
2, ;
1| ;
| 1,
; .
2 | ;
| 2,
;
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
P S f y S
P S f y S
P S f y S
P S f y S
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ ϒ θ
− −
− −
− −
− −
= =
⎡ ⎤ ⎡
⎤ =
⊗ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
= =
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎣
⎦ ⎣ ⎦
= ⋅
= ⎡
⎤ = ⎢
⎥ =
⋅ =
⎢ ⎥
⎣ ⎦
4.1.5 Berdasarkan persamaan 4.1.5 maka dapat
dituliskan:
1 1
1
, |
; |
; |
, ;
t t
t t
t t
t t
P y S j
P S j
f y S j
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ
− −
−
= =
= ⋅
= 4.1.6
sehingga diperoleh
1 2
1 1
2 1
1 1
1 1
1 1
| 1
| ;
, |
; |
; |
, ;
1| ;
| 1,
; 2 |
; |
2, ;
ˆ 4.1.7
t t
t t
t j
t t
t t
t j
t t
t t
t t
t t
t t
t t t
f y P y S
j P S
j f y S
j P S
f y S P S
f y S ϒ θ
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ
− −
= −
− =
− −
− −
−
= =
= =
⋅ =
= =
= +
= =
′ =
⊗
∑ ∑
1 ξ
η
di mana
[ ]
1 1 ′ =
1
. Berdasarkan persamaan 4.1.6 dan 4.1.7,
maka diperoleh
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
, |
; |
; ,
, ;
; ;
, ;
, ,
; ,
; ,
, ;
, ;
| ,
; |
; .
4.1.8
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t
P y S j
f y P y S
j P
P P y
P y S j
P y P S
j y P y
P S j y
P S j
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
− −
− −
− −
− −
− −
−
= =
= ⋅
= =
= =
= =
= =
Sehingga berdasarkan persamaan 4.1.6, 4.1.7 dan 4.1.8 diperoleh
1 1
| 1
| |
1
, |
; |
; |
; ˆ
ˆ .
4.1.9 ˆ
t t
t t
t t
t t t
t t t
t t t
P y S j
P S j
f y ϒ
θ ϒ θ
ϒ θ
− −
− −
= =
= ⊗
= ′
⊗
ξ η
ξ 1
ξ η
1| 1
2 1
1 2
1 1
ˆ 1|
; 1,
| ;
1| , ;
| ;
t t
t t
t t
t j
t t
t t
t j
P S P S
S j
P S S
j P S
j ϒ θ
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ
+ +
+ =
+ =
= =
= =
= =
= =
⋅ =
∑ ∑
ξ
2 1
| 1
2 1
| 1
ˆ 1|
; ˆ
j t
t t t
j j
j t t
j
P S S
j p
θ ξ ξ
+ =
=
= =
= ⋅
=
∑ ∑
1 2
11 |
12 |
1| 1
2 21
| 22
| 1
| 11
12 2
21 22
| |
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ .
t t t t
t t
t t t t
t t t t
t t
p p
p p
p p
p p
ξ ξ
ξ ξ
ξ ξ
+
⎡ ⎤
⋅ +
⋅ ⎢
⎥ =
⎢ ⎥
⋅ +
⋅ ⎣
⎦ ⎡
⎤ ⎡
⎤ =
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣
⎦ = ⋅
ξ
P ξ
| |
ˆ ˆ
m t m t
t t +
= ⋅
ξ P
ξ .
4.1.10 Fungsi log-likelihood
θ
L
untuk data yang diamati Y
t
dapat dihitung dengan cara
1 2
1 1
1 1
log |
; | ;
| ;
log |
; .
t t
T t
t t
f y f y
f y f y
θ ϒ θ
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ
− −
=
= =
∑
L
4.1.11 Salah satu pendekatan yang digunakan untuk
memilih nilai awal bagi
| 1
ˆ
ξ
t t −
adalah dengan membuat
1|0
ˆ
ξ sama dengan vektor peluang tak
bersyarat
[ ]
1 2
π π
=
π
yang memenuhi sifat ergodic, yaitu
1 2
1.
π π
= +
=
π Pπ
Berdasarkan persamaan 4.1.7 diperoleh
1 1
1 1
1
| ;
1 | ;
| 1,
; 2 |
; |
2, ;
t t
t t
t t
t t
t t
t t
f y P S
f y S
P S f y
S
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
ϒ θ
− −
− −
−
= =
⋅ =
+ =
⋅ =
2 1
1 1
1 2
2 2
2 1
1 2
1 1|
; exp
2 2
1 2|
; exp
. 2
2
t t
t t
t t
t t
y c y
P S y c
y P S
φ ϒ θ
σ πσ
φ ϒ θ
σ πσ
− −
− −
− − − −
⎧ ⎫
− ⎪
⎪ =
= ⎨
⎬ ⎪
⎪ ⎩
⎭ ⎧
⎫ −
⎪ ⎪
+ =
⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎩ ⎭
4.1.12
4.2 Pendugaan Parameter θ
Kategori