Model Hamilton Data Input Nilai Tukar Rupiah

{ } k Y proses yang diamati dan bernilai skalar 1 2 , t c c c = , 1 2 , t σ σ σ = dengan k k c X c = dan k k X σ σ = 11 21 12 22 A = a a a a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ merupakan matriks peluang transisi. [Lihat Noviyanti, 2006] Untuk kasus banyaknya penyebab kejadian 2 N = , nilai harapan model Elliot mendekati nilai sebenarnya hanya pada beberapa nilai. Seperti pada bulan ke-1, nilai dugaan model Elliot mendekati nilai sebenarnya. Namun tidak dapat menghampiri secara keseluruhan. Gambar 2, menunjukkan nilai dugaan yang dihasilkan dari model Elliot dengan nilai sebenarnya. Hasil pendugaan model, kurang begitu baik. Banyak nilai dugaan yang jauh dari nilai sebenarnya. 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 13000 14000 15000 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 Waktu per Bulan Feb 1998 - Des 2006 N il a i R upi ah per 1 U S D o ll a r Nilai dugaan Nilai sebenarnya Gambar 2. Grafik nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar menggunakan model Elliot

5.2.2 Model Hamilton

Model yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah model Hidden Markov Hamilton, yaitu: 1 t t t S S t t Y c Y φ − = + + E Algoritma yang digunakan untuk memproses data tersebut adalah sebagai berikut: 1. Cari parameter yang memaksimumkan peluang dengan menggunakan Algoritma EM. Langkah-langkahnya seperti pada Bab IV sehingga menghasilkan rumus untuk mencari parameter seperti pada persamaan 4.13 sampai 4.17. Dengan rumus tersebut, tentukan nilai-nilai parameter baru ˆ θ . 2. Gunakan parameter yang dihasilkan untuk mencari nilai dugaan t y berikutnya. 3. Tentukan nilai peluang bersyarat unmtuk penyebab kejadian t i S e = jika diketahui data proses observasi hingga waktu ke-t t ϒ dengan rumus 1 1 , | ; | ; | ; t t i t t i t t t P y S e P S e f y ϒ θ ϒ θ ϒ θ − − = = = | 1 | | 1 ˆ ˆ . ˆ t t t t t t t t ξ η ξ ξ η − − ⊗ = ′ ⊗ 1 Untuk kasus banyaknya penyebab kejadian 2 N = , terdapat dua nilai c yang menyatakan state. Dalam karya ilmiah ini, digunakan nilai c awal yaitu 10000 8000 c ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ yang menyatakan bahwa nilai c saat e 1 adalah 10000 dan nilai c saat e 2 adalah 8000. Dan nilai φ awal yang digunakan yaitu 1 3 3 4 φ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ yang menyatakan nilai φ saat e 1 adalah 13 dan nilai φ saat e 2 adalah 34. Sedangkan nilai rataan awal yang digunakan adalah 1000 σ = . Dengan menggunakan algoritma seperti pada pembahasan 5.2, didapatkan nilai akhir dari parameter yangmemaksimumkan peluang adalah 9476.15419 1442.12135 c ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 0.23733 0.84235 φ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ,dan 620.71 σ = . Nilai dugaan untuk t ke-108 adalah 9088.98, hampir mendekati nilai sebenarnya yaitu 9073.11. Nilai galat maksimum adalah 2328.48786 dan nilai galat minimum adalah 1.63577. Nilai dugaan model Hamilton mendekati nilai sebenarnya. Hasil pendugaan model, dapat dilihat pada Gambar 3. Dari gambar, terlihat bahwa model Hamil- ton menduga nilai Rupiah terhadap US Dollar lebih baik daripada model Elliot. 6 0 0 0 70 0 0 8 0 0 0 9 0 0 0 10 0 0 0 110 0 0 12 0 0 0 13 0 0 0 14 0 0 0 150 0 0 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 101 106 Waktu per Bulan Feb 1998 - Feb 2007 N il a i R upi a h pe r 1 U S D ol la r Nilai dugaan Nilai se be narnya Gambar 3. Grafik nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar menggunakan model Hamilton SIMPULAN Model Hidden Markov dapat memodelkan masalah perubahan nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar. Dalam karya ilmiah ini, digunakan model deret waktu hidden Markov Hamilton untuk menduga nilai Rupiah bulan depan. Data yang digunakan dalam karya ilmiah ini berupa rata-rata dari nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar per bulan dalam kurun waktu Februari 1998 hingga Februari 2007. Data digunakan untuk mencari parameter yang akan memaksimumkan peluang. Dengan program komputasi yang dibuat menggunakan software Mathematica 5.2 for Student. Parameter yang dihasilkan, digunakan untuk mencari nilai harapan dari nilai tukar Rupiah yang akan datang. Hal ini bisa membantu dalam pengambilan keputusan ekonomi yang akan datang. Dari hasil yang diperoleh secara keseluruhan, dapat diketahui bahwa semakin banyak data yang digunakan untuk mencari parameter, maka keakuratan yang diperoleh akan semakin tinggi. Model deret waktu Hidden Markov Hamilton dapat memodelkan dengan cukup baik perubahan nilai tukar rupiah terhadap US Dollar. Hal ini terlihat dari nilai dugaan model yang mendekati nilai sebenarnya. DAFTAR PUSTAKA Grimmet, G. R. dan D. R. Stirzaker. 1992. Probability and Random Processes. Ed. ke-2. Clarendon Press. Oxford. Hamilton, J. D. 1990. Analysis of Time Series Subject to Changes in Regime. Journal of Econometrics 45:39-70. Hamilton, J. D. 1994. Time Series Analysis. Princenton University Press, New Jersey. Hogg, R. V. dan A. T. Craig. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. ke-5. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. Ross, S. M. 1996. Stochastic Process. Ed. ke-2. John Wiley Sons. New York. Osborne, M. J. 1997. Concave and convex function of many variables. www.economics.about.comConvex.htm . [15-3-2007] Sari, N. D. 2006. Pemodelan Nilai Tukar Rupiah terhadap US Dollar Menggunakan Model Hidden Markov. Skripsi. Sarjana Sains Departemen Matematika Fakultas MIPA IPB. Weisstein, E. W. 1999. Jensen’s Inequality www.mathworld.wolfram.comJensensIneq uality.html . [15-3-2007] Wong. E dan B. Hajek. 1985. Stochastic Processes in Engineering Systems. Springer-Verlag. New York. Royden, H. L. 1963. Real Analysis. The Macmilan Company. New York. LAMPIRAN Mencari turunan kedua dari θ L terhadap 1 c dan 2 c { } 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 | ; 1 | ; | ; | ; | ; | ; | ; | ; | ; | ; θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ − = − − = − − − − − = − − ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ = ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ∂ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ∂ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = ∂ ∂ = ∑ ∑ ∑ T t t t t t t t T t t t t t t t t t t t T t t t t t f y c f y c c f y c c f y f y f y f y f y c c c c f y f y P c L { } 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 2 1 | ; | 1, ; | ; | ; 1 | ; 1 | ; | 1, ; 1 | ; | 1, ; φ φ φ ϒ θ ϒ θ ϒ θ σ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ σ σ σ − − − − = − − − − − − − − − − − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ = = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = − − = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = ∑ t t t t t t t t t T t t t t t t t t t t t t t t t t t t t c y c y c y y S f y S f y c f y y y f y P S f y S P S f y S { } { } 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 4 2 1 1 1 1 1 | ; 1 1 | ; | 1, ; | ; 1 | ; | 1, ; | ; 1 | ; | 1, ; | φ φ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ σ σ σ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ = − − − − − − − − = − − − − − − − − ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = − − = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = = = ∑ ∑ T t t t t t t t t t t t t t t t t t t t T t t t t t t t t t t c y c y f y y y P S f y S f y P S f y S f y P S f y S f y { } 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 4 2 1 1 1 ; | ; 1 | ; | 1, ; | ; φ φ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ σ σ σ ϒ θ − − − − − = − − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ t t t t t t t t t t t T t t t c y c y y y f y P S f y S f y { } 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 4 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1| ; | 1, ; | ; 1| ; | 1, ; 1| ; | 1, ; | ; | ; 1| ; | 1, ; | φ φ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ σ ϒ θ ϒ θ σ ϒ θ σ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ − − − − − − − − − − = − − − − − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = − − ⎜ ⎟ = = = = ⎝ ⎠ = = = = ∑ t t t t t t t t t t t T t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t c y c y y y P S f y S f y P S f y S P S f y S f y f y P S f y S f y { } 2 2 1 1 1 1 1 1 1 4 4 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 1 1 ; 1| ; | 1, ; | ; 1| ; | 1, ; | ; 1 1| ; | 1, ; | ; 1| ; | φ φ φ θ ϒ θ ϒ θ σ ϒ θ σ ϒ θ ϒ θ σ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ σ − − − − − − − = − − − − − − − − − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎜ ⎟ = = = = ⎝ ⎠ = = = = ∑ t t t t T t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t c y c y c y y y P S f y S f y P S f y S f y y P S f y S f y P S f y S { } 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1, ; | ; 1| ; | 1, ; | ; ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ σ ϒ θ − − − − = − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ T t t t t t t t t t t t f y P S f y S f y Akan ditunjukkan: { } 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1| ; | 1, ; | ; 1| ; | 1, ; | ; 1| ; | 1, ; | ; t t t t t t t t t T t t t t t t t t t t t t t t t c y y P S f y S f y P S f y S f y P S f y S f y φ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ σ ϒ θ ϒ θ σ ϒ θ − − − − − − − − − = − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = = = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ . Gunakan nilai titik kritis yang sudah didapat lihat lampiran 3. Dengan menggunakan Matematica 5.2 , didapatkan hasil { } 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 2 1 1 1 1 1 1880 2 1 1 1 1 1 1| ; | 1, ; | ; 1| ; | 1, ; | ; 1| ; | 1, ; 4.020078` 10 | ; t t t t t t t t t T t t t t t t t t t t t t t t t c y y P S f y S f y P S f y S f y P S f y S f y φ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ σ ϒ θ ϒ θ σ ϒ θ − − − − − − − − − = − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = = = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =− × ∑ maka 2 2 1 0. c θ ∂ ∂ L Dengan cara yang sama diperoleh { } 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 2 1 1 1 1 1 -4 2 1 1 1 1 1 2| ; | 2, ; | ; 2| ; | 2, ; | ; 2| ; | 2, ; 7.0264438505` 10 | ; t t t t t t t t t T t t t t t t t t t t t t t t t c y c y P S f y S f y P S f y S f y P S f y S f y φ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ σ ϒ θ ϒ θ σ ϒ θ − − − − − − − − − = − − − ∂ = ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = = = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=− × ∑ L maka 2 2 2 c θ ∂ ∂ L . Mencari turunan kedua dari θ L terhadap 1 φ dan 2 φ { } 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 | ; 1 | ; | ; | ; | ; | ; | ; | ; | ; | ; T t t t t t t t T t t t t t t t t t t t T t t t t t f y f y f y f y f y f y f y f y f y f y P θ ϒ θ φ ϒ θ φ φ ϒ θ φ φ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ φ φ φ φ ϒ θ ϒ θ φ − = − − = − − − − − = − − ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ = ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ∂ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ∂ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = ∂ ∂ = ∑ ∑ ∑ L { } 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 | ; | 1, ; | ; | ; t t t t t t t t t t T t t t c y y y S f y S f y f y φ ϒ θ ϒ θ ϒ θ φ σ ϒ θ − − − − − = − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ = = ⋅ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ { } 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 | ; 1| ; | 1, ; 1| ; | 1, ; | ; 1| ; | 1, ; | ; t t t t t t t t t t t t t t t t t t t T t t t t t t t t t t t t c c y c y y y y y y f y P S f y S P S f y S f y y y P S f y S f y φ φ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ σ σ σ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ − − − − − − − − − − = − − − − − − − − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = − − = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = = = ∑ { } 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 4 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 1| ; | 1, ; | ; 1| ; | 1, ; | ; | ; 1| t t t t t t t t t t T t t t t t t t t t t t t t t t t t t c y c y y y y P S f y S f y y y y y P S f y S f y f y P S φ φ φ ϒ θ ϒ θ σ σ σ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ σ σ − − − − − − = − − − − − − − − − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = − − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ∑ { } 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 1 1 1 1 ; | 1, ; | ; 1| ; | 1, ; | ; 1| ; | 1, ; 1| ; | 1, ; t t t t t t T t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t c y c c y y f y S f y y y y y y y P S f y S f y P S f y S P S f y S φ φ φ θ ϒ θ σ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ σ ϒ θ ϒ θ σ − − − − = − − − − − − − − − − − − − − − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = − − = = = = = ∑ { } 2 1 1 4 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 2 1 1 1 1 1 | ; | ; 1| ; | 1, ; | ; 1| ; | 1, ; | ; 1| ; | 1, ; t T t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t y c c y f y f y y y y y y y P S f y S f y P S f y S f y P S f y S φ φ ϒ θ σ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ σ ϒ θ σ ϒ θ ϒ θ σ − − = − − − − − − − − − − − − − − − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ = = − − ⎜ = = = = ⎝ = ∑ { } 2 1 1 | ; T t t t f y ϒ θ = − ⎟ ⎟ ⎠ ∑ { } 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 1 1 1 1 1 1884 2 1 1 1 1 1| ; | 1, ; | ; 1| ; | 1, ; | ; 1| ; | 1, ; 1.459298 10 | ; t t t t t t t t t t t T t t t t t t t t t t t t t t t c y y y y P S f y S f y P S f y S f y P S f y S f y φ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ σ ϒ θ ϒ θ σ ϒ θ − − − − − − − − − − − = − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = = = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = =− × ∑ maka 2 2 1 θ φ ∂ ∂ L . Dengan cara yang sama diperoleh { } 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 4 2 1 1 1 1 1 -4 2 1 1 1 1 1 2| ; | 2, ; | ; 2| ; | 2, ; | ; 2| ; | 2, ; 7.0264938503`×10 | ; t t t t t t t t t t t T t t t t t t t t t t t t t t t c y y y y P S f y S f y P S f y S f y P S f y S f y φ θ φ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ σ σ ϒ θ − − − − − − − − − − − = − − − ∂ = ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = = = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=− ∑ L maka 2 2 2 θ φ ∂ ∂ L . Mencari turunan kedua dari θ L terhadap 2 σ { } 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 | ; 1 | ; | ; | ; | ; | ; | ; | ; | ; | ; T t t t t t t t T t t t t t t t t t t t T t t t t t f y f y f y f y f y f y f y f y f y f y P θ ϒ θ ϒ θ σ σ σ ϒ θ σ ϒ θ σ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ σ σ σ σ ϒ θ ϒ θ σ − = − − = − − − − − = − − ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ = ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎜ ⎟ = ∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ∂ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = ∂ ∂ = ∑ ∑ ∑ L { } 2 2 1 1 1 1 1 2 4 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 4 1 | ; | , ; | ; | ; 2 2 | ; 1 | ; | ; | , ; 2 2 t j j t t t t t t t t t t j T t t t t j j t t t t t t t t c y c y y S j f y S j f y f y f y y f y P S j f y S j φ φ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ σ σ σ σ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ σ σ σ − − − − − = = − − − − − − − − − ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ − ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ = = + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ∂ − ⎜ = = + ⎜ ∂ ⎝ = ∑ ∑ { } 2 1 2 2 2 1 1 1 | ; | ; t t T t j t t f y f y ϒ θ σ ϒ θ − = = − ⎛ ⎞ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ∑∑ { } 2 2 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 4 6 9 2 4 2 2 1 1 1 1 3 3 1 | ; | ; | , ; | ; | , ; 4 2 4 2 2 | ; | ; t j j t t j j t t j j t t t t t t t t t t t t t T t j t t t t c y c y c y y y y f y P S j f y S j P S j f y S j f y P S j f φ φ φ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ σ σ σ σ σ ϒ θ ϒ θ − − − − − − − − = = − − − − − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = − + − = = ⋅ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = = ∑∑ { } 2 4 4 2 2 1 1 1 1 1 1 1 4 6 9 4 8 2 2 1 1 1 3 3 1 | , ; | ; | ; | , ; 4 2 4 4 4 | ; t j j t t j j t t j j t t t t t t t t t t t T t j t t c y c y c y y y y y S j f y P S j f y S j f y φ φ φ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ σ σ σ σ σ ϒ θ − − − − − − − = = − − − − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = − + − = = ⋅ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑∑ { } 2 4 4 2 2 1 1 1 1 1 1 4 6 9 4 8 1 1 1 2 2 1 1 1 1 3 1 3 1 1 | ; | , ; | ; | ; | , ; | ; 4 2 4 4 4 | ; | ; φ φ φ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ σ σ σ σ σ ϒ θ ϒ θ − − − − − − − − − = = − − − − − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = − + − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = = ∑∑ t j j t t j j t t j j t t t t t t t t t t t t t t t T t j t t t t c y c y c y y y y P S j f y S j f y P S j f y S j f y f y P S j { } 4 2 4 2 2 1 1 1 1 1 4 8 6 4 8 1 1 1 2 2 1 1 1 3 1 3 1 1 | , ; | ; | ; | , ; | ; 4 4 2 4 4 | ; φ φ φ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ σ σ σ σ σ σ ϒ θ − − − − − − − − = = − − − − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = + − − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑∑ t j j t t j j t t j j t t t t t t t t t t t t t T t j t t c y c y c y y y y f y S j f y P S j f y S j f y f y { } 4 2 4 2 2 1 1 1 1 1 1 4 8 6 4 8 1 1 1 2 2 1 1 1 3 1 3 1 1 1 | ; | , ; | ; | ; | , ; | ; 4 4 2 4 4 1.5640` 1 | ; t j j t t j j t t j j t t t t t t t t t t t t t t t T t j t t c y c y c y y y y P S j f y S j f y P S j f y S j f y f y φ φ φ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ ϒ θ σ ϒ θ σ σ σ σ σ ϒ θ − − − − − − − − − = = − − − − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = + − − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = − × ∑∑ -36 maka 2 2 2 0. θ σ ∂ ∂ L Lampiran 2. Tabel nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar Model Elliot Model Hamilton t Nilai Rupiah Nilai Dugaan Galat Nilai Dugaan Galat 1 9649,92 9649,92 0,00 9248,94 400,98 2 8136,55 8769,28 632,73 8693,11 556,56 3 10313,69 9646,21 667,48 9955,94 357,75 4 13699,15 10486,53 3212,62 11370,66 2328,49 5 14226,88 12658,47 1568,41 12250,01 1976,87 6 12222,14 10233,39 1988,75 12598,80 376,66 7 11149,69 12836,22 1686,53 11374,04 224,35 8 8643,90 9858,32 1214,42 10478,71 1834,81 9 7850,81 11731,86 3881,05 8288,91 438,10 10 7679,35 8548,28 868,93 8027,95 348,60 11 8537,93 12766,41 4228,48 8096,41 441,52 12 8750,35 8324,37 425,98 8668,47 81,88 13 8911,01 10668,69 1757,68 8738,81 172,20 14 8602,34 8663,85 61,51 8696,92 94,58 15 7943,89 12515,04 4571,15 8697,72 753,83 16 7364,07 8252,62 888,55 8191,16 827,09 17 6759,72 10737,62 3977,90 7706,00 946,28 18 7458,12 7338,97 119,15 7413,78 44,34 19 8256,95 12344,90 4087,95 7785,23 471,72 20 7489,01 7615,71 126,70 8416,41 927,40 21 6987,73 9548,26 2560,53 7725,96 738,23 22 7138,07 10396,43 3258,36 7474,39 336,32 23 7275,65 7461,68 186,03 7493,56 217,91 24 7427,10 12172,79 4745,69 7600,04 172,94 25 7469,71 7397,92 71,79 7688,03 218,32 26 7799,30 10786,74 2987,44 7709,04 90,26 27 8338,29 7850,40 487,90 8022,08 316,21 28 8605,60 12490,88 3885,28 8469,39 136,21 29 9163,88 7755,94 1407,94 8656,88 507,00 30 8428,83 8486,69 57,86 8609,86 181,03 31 8649,07 9694,85 1045,78 8543,55 105,52 32 8948,38 12436,78 3488,40 8728,31 220,07 33 9353,54 8561,04 792,50 8959,24 394,30 34 9445,49 9442,02 3,48 9305,36 140,13 35 9478,58 9770,41 291,83 9399,68 78,90 36 9653,75 12711,05 3057,30 9431,46 222,29 37 10211,95 8845,75 1366,20 9573,64 638,31 38 11121,66 11030,76 90,91 10043,93 1077,73 39 11272,98 9885,67 1387,31 11133,76 139,22 40 11300,52 12739,61 1439,09 11211,04 89,48 41 10850,87 9057,76 1793,11 10960,80 109,93 42 8949,88 6434,87 2515,01 8514,66 435,22 43 9319,49 10036,14 716,65 8983,30 336,19 44 10080,10 12498,92 2418,82 9404,40 675,70 45 10557,80 9120,48 1437,32 9933,08 624,72 46 10273,10 10305,63 32,53 10335,23 62,13 47 10397,68 9927,31 470,38 10158,41 239,27 48 10233,38 12243,28 2009,90 10224,88 8,50 49 9914,37 8735,75 1178,62 10060,00 145,63 50 9496,59 10383,83 887,24 9774,39 277,80 51 9130,28 11516,72 2386,44 9441,87 311,59 52 8711,79 8743,59 31,80 9133,08 421,29 53 8976,69 12909,17 3932,48 8710,51 266,18 54 8916,62 8060,89 855,73 8904,98 11,64 55 8961,73 8960,40 1,33 8953,29 8,44 56 9134,25 10589,34 1455,09 8991,70 142,55 57 9061,42 8346,11 715,31 9068,60 7,18 58 8923,31 12765,55 3842,24 8970,96 47,65 59 8888,88 8103,18 785,70 8958,84 69,96 60 8888,44 8888,49 0,05 8929,85 41,41 61 8924,60 10218,00 1293,40 8839,48 85,12 62 8801,36 12142,38 3341,02 8824,33 22,97 63 8425,97 9094,18 668,21 8856,00 430,03 64 8224,26 11816,65 3592,39 8539,78 315,52 65 8344,33 7926,76 417,57 8188,68 155,65 66 8449,72 12499,43 4049,71 8295,50 154,22 67 8508,12 8457,19 50,93 8559,80 51,68 68 8437,43 8437,44 0,01 8608,99 171,56 69 8503,03 9154,48 651,45 8373,95 129,08 70 8488,13 9885,55 1397,42 8411,08 77,05 71 8389,33 12473,58 4084,25 8592,15 202,82 72 8435,10 8843,86 408,76 8508,93 73,83 73 8583,26 8581,67 1,59 8397,65 185,61 74 8626,29 9219,73 593,44 8516,06 110,23 75 9007,21 9706,94 699,73 8709,06 298,15 76 9395,75 12518,65 3122,90 9032,64 363,11 77 9019,92 8623,32 396,60 9252,83 232,91 78 9244,40 9242,21 2,19 9007,04 237,36 79 9180,77 9446,32 265,55 9229,68 48,91 80 9101,73 12344,64 3242,91 9175,92 74,19 81 9009,07 8311,88 697,19 9029,13 20,06 82 9226,05 9219,89 6,16 8995,79 230,26 83 9203,24 10396,52 1193,28 9214,32 11,08 84 9254,91 10778,69 1523,78 9195,37 59,54 85 9378,43 8202,01 1176,42 9216,88 161,55 86 9553,58 12738,41 3184,83 9331,69 221,89 87 9470,54 9436,90 33,64 9491,36 20,82 88 9635,49 11634,76 1999,27 9425,02 210,47 89 9821,18 7995,07 1826,11 9555,59 265,59 90 10009,85 12650,17 2640,32 9713,90 295,95 91 10241,43 10131,61 109,82 9923,81 317,62 92 10082,66 12212,81 2130,15 10084,30 1,64 93 10049,99 8978,42 1071,57 9934,38 115,61 94 9864,64 9881,28 16,64 9905,09 40,45 95 9464,68 Galat Max 4745,69 9752,75 288,07 96 9258,13 Galat Min 0,00 9415,31 157,18 97 9158,06 Rataan Galat 1509,92 9189,25 31,19 98 8928,36 9043,77 115,41 99 9012,16 8963,26 48,90 100 9360,41 9036,10 324,31 101 9129,04 9263,53 134,49 102 9101,85 9073,82 28,03 103 9152,97 9109,64 43,33 104 9182,84 9152,76 30,08 105 9134,81 9123,96 10,85 106 9098,07 9077,63 20,44 107 9077,56 9106,25 28,69 108 9073,11 9088,98 15,87 Galat Max 2328,49 Galat Min 1,64 Rataan Galat 5 282,7 Lampiran 3. Program untuk mencari parameter menggunakan Matematica 5.2 PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP US DOLLAR MENGGUNAKAN DERET WAKTU HIDDEN MARKOV MODEL HAMILTON HIRASAWA G54103030 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007 ABSTRACT HIRASAWA. Modelling The Exchange Rate of Rupiah to US Dollar Used The Hidden Markov Time Series Hamilton Model. Under the direction of BERLIAN SETIAWATY and N. K. KUTHA ARDANA. The exchange rate of Rupiah to US Dollar can be fluctuated every time. It is effected by war, financial and economic crisis, or the government policy. The fluctuated of exchange rate might generate unconvinced motion for foreign investors to invest their funds in Indonesia. This matter cause at height of exchange rate Rupiah to US Dollar. But this occurrence is not observed directly hidden. To describe the exchange rate of the Rupiah, this research used the hidden Markov time series Hamilton 1994 as a model. This model assumes that the exchange rate of Rupiah to US Dollar is based on Markov chain which is explained by the cause of occurence and the previous exchange rate of Rupiah. The parameter of the hidden Markov time series is estimated by using the Maximum Likelihood method. The estimation of the parameter is calculated using the Expectation Maximization algorithm which is implemented in Mathematica 5.2 for Student. The forecast of the exchange rate can also be calculated by using the model. For example: the forecast of the exchage rate at February 2007 is Rp. 9088,98 with maximum and minimum error are Rp. 2328,48786 and Rp. 1,63577 respectively. The exact exchange rate is Rp. 9073,11 As a result, this research convinces that the hidden Markov time series Hamilton model can be applied to the exchange rate of Rupiah to US Dollar. ABSTRAK HIRASAWA . Pemodelan Nilai Tukar Rupiah Terhadap US Dolar Menggunakan Deret Waktu Hidden Markov Model Hamilton. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan N. K. KUTHA ARDANA . Nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar mengalami perubahan setiap waktunya. Perubahan nilai tukar Rupiah dapat diakibatkan karena perang, krisis keuangan dan ekonomi, atau perubahan yang cukup signifikan pada kebijakan pemerintah, sehingga menimbulkan mosi tidak percaya bagi investor asing yang akan menginvestasikan dananya di Indonesia. Hal ini berakibat pada tingginya nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar. Namun kejadian ini, tidak diamati secara langsung hidden. Untuk menggambarkan perilaku nilai tukar Rupiah tersebut, dalam karya ilmiah digunakan model deret waktu hidden Markov model Hamilton 1994. Model ini mengasumsikan bahwa nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar bergantung pada rantai Markov yang merupakan penyebab kejadian yang tidak diamati dan nilai tukar Rupiah suatu waktu sebelumnya. Dalam model ini akan dicari penduga parameter. Salah satu metode untuk pendugaan parameter tersebut adalah dengan menggunakan Maximum Likelihood Estimators yang perhitungannya mengunakan algoritma Expectation Maximization. Untuk mempermudah mencari penduga parameter dalam model deret waktu Hidden Markov, dibuat suatu program komputasi dengan menggunakan Mathematica 5.2 for Student, agar hasil perhitungannya maksimal. Dengan diperolehnya parameter, maka dapat dihitung nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar yang akan datang. Sebagai contoh, nilai dugaan pada bulan Februari 2007 adalah 9088.98, mendekati nilai sebenarnya yaitu 9073.11. Nilai galat maksimum adalah 2328.48786 dan nilai galat minimum adalah 1.63577. Dari hasil yang diperoleh secara keseluruhan, Model deret waktu Hidden Markov Hamilton dapat memodelkan dengan cukup baik perubahan nilai tukar rupiah terhadap US Dollar.

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Perkembangan perekonomian di Indonesia, kian hari semakin membaik. Terlihat pada angka nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar yang mulai stabil pada tingkat sembilan ribu Rupiah per US Dollar. Setiap perubahan suatu kejadian berkaitan erat dengan penyebab kejadiannya. Perubahan kejadian ekonomi di masa lalu memiliki kemungkinan akan terulang kembali di masa yang akan datang. Sehingga dapat dimodelkan dengan suatu proses stokastik. Jika penyebab kejadiannya tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai Markov, maka pasangan kejadian dan penyebabnya dapat dimodelkan dengan model Hidden Markov Hidden Markov Model, HMM. Dalam karya ilmiah ini, dibahas aplikasi dari model deret waktu hidden Markov untuk menggambarkan perilaku nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar dan menduga nilai tukar Rupiah yang akan datang. Perubahan pada nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar dapat diakibatkan karena perang, krisis keuangan dan ekonomi, atau perubahan yang cukup signifikan pada kebijakan pemerintah, sehingga menimbulkan mosi tidak percaya bagi investor asing yang akan menginvestasikan dananya di Indonesia. Hal ini berakibat pada tingginya nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar. Namun kejadian ini, tidak diamati secara langsung hidden. Terdapat beberapa faktor yang menyebabkan terjadinya perubahan suatu kejadian. Faktor penyebab state tersebut dapat berkembang menurut model rantai Markov di mana state yang akan datang hanya dipengaruhi oleh state sekarang dan bebas terhadap state yang lalu. Untuk model hidden Markov, kejadian yang diamati dipengaruhi oleh faktor penyebab terjadinya suatu kejadian dan beberapa paramater. Sedangkan untuk model deret waktu hidden Markov, kejadian yang diamati selain dipengaruhi oleh faktor penyebab terjadinya suatu kejadian dan beberapa paramater, juga dipengaruhi oleh kejadian sebelumnya. Dalam model ini akan dicari penduga parameter. Salah satu metode untuk pendugaan parameter tersebut adalah dengan menggunakan MLE Maximum Likelihood Estimators yang perhitungannya meng- gunakan algoritma EM Expectation Maximization. Dengan diketahuinya penduga parameter yang memaksimumkan peluang terjadinya suatu kejadian, maka dapat dilakukan penarikan kesimpulan yang optimal dan peramalan pada state. Dalam perkembangan lebih lanjut, dibuat suatu program komputasi untuk mencari parameter yang akan digunakan dalam model deret waktu hidden Markov, agar hasil perhitungannya maksimal. Software yang digunakan adalah Mathematica 5.2 for Student. Kelebihan program ini adalah waktu kerja yang lebih efesien serta mempermudah dalam analisis data karena sudah dilengkapi dengan fungsi-fungsi yang mudah digunakan. 1.2 Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini adalah 1. Mempelajari model hidden Markov dan deret waktu hidden Markov Hamilton beserta penduga parameternya. 2. Mengimplementasikan model deret waktu hidden Markov Hamilton untuk masalah nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar

II. LANDASAN TEORI

Pada bab ini dijelaskan beberapa definisi yang digunakan dalam pembahasan selanjutnya. 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi 2.1.1 Percobaan Acak Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan dengan kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, akan tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, disebut percobaan acak. [Hogg dan Craig, 1995] Definisi 2.1.2 Ruang Contoh dan Kejadian Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω . Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω . [Grimmet dan Stirzaker, 1992]

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Perkembangan perekonomian di Indonesia, kian hari semakin membaik. Terlihat pada angka nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar yang mulai stabil pada tingkat sembilan ribu Rupiah per US Dollar. Setiap perubahan suatu kejadian berkaitan erat dengan penyebab kejadiannya. Perubahan kejadian ekonomi di masa lalu memiliki kemungkinan akan terulang kembali di masa yang akan datang. Sehingga dapat dimodelkan dengan suatu proses stokastik. Jika penyebab kejadiannya tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai Markov, maka pasangan kejadian dan penyebabnya dapat dimodelkan dengan model Hidden Markov Hidden Markov Model, HMM. Dalam karya ilmiah ini, dibahas aplikasi dari model deret waktu hidden Markov untuk menggambarkan perilaku nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar dan menduga nilai tukar Rupiah yang akan datang. Perubahan pada nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar dapat diakibatkan karena perang, krisis keuangan dan ekonomi, atau perubahan yang cukup signifikan pada kebijakan pemerintah, sehingga menimbulkan mosi tidak percaya bagi investor asing yang akan menginvestasikan dananya di Indonesia. Hal ini berakibat pada tingginya nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar. Namun kejadian ini, tidak diamati secara langsung hidden. Terdapat beberapa faktor yang menyebabkan terjadinya perubahan suatu kejadian. Faktor penyebab state tersebut dapat berkembang menurut model rantai Markov di mana state yang akan datang hanya dipengaruhi oleh state sekarang dan bebas terhadap state yang lalu. Untuk model hidden Markov, kejadian yang diamati dipengaruhi oleh faktor penyebab terjadinya suatu kejadian dan beberapa paramater. Sedangkan untuk model deret waktu hidden Markov, kejadian yang diamati selain dipengaruhi oleh faktor penyebab terjadinya suatu kejadian dan beberapa paramater, juga dipengaruhi oleh kejadian sebelumnya. Dalam model ini akan dicari penduga parameter. Salah satu metode untuk pendugaan parameter tersebut adalah dengan menggunakan MLE Maximum Likelihood Estimators yang perhitungannya meng- gunakan algoritma EM Expectation Maximization. Dengan diketahuinya penduga parameter yang memaksimumkan peluang terjadinya suatu kejadian, maka dapat dilakukan penarikan kesimpulan yang optimal dan peramalan pada state. Dalam perkembangan lebih lanjut, dibuat suatu program komputasi untuk mencari parameter yang akan digunakan dalam model deret waktu hidden Markov, agar hasil perhitungannya maksimal. Software yang digunakan adalah Mathematica 5.2 for Student. Kelebihan program ini adalah waktu kerja yang lebih efesien serta mempermudah dalam analisis data karena sudah dilengkapi dengan fungsi-fungsi yang mudah digunakan. 1.2 Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini adalah 1. Mempelajari model hidden Markov dan deret waktu hidden Markov Hamilton beserta penduga parameternya. 2. Mengimplementasikan model deret waktu hidden Markov Hamilton untuk masalah nilai tukar Rupiah terhadap US Dollar

II. LANDASAN TEORI

Pada bab ini dijelaskan beberapa definisi yang digunakan dalam pembahasan selanjutnya. 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi 2.1.1 Percobaan Acak Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan dengan kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, akan tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, disebut percobaan acak. [Hogg dan Craig, 1995] Definisi 2.1.2 Ruang Contoh dan Kejadian Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω . Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω . [Grimmet dan Stirzaker, 1992] Definisi 2.1.3 Medan- σ Koleksi F dari himpunan bagian Ω disebut sebagai medan- σ jika memenuhi syarat: a. φ ∈F b. jika 1 2 , ,... A A ∈ F maka 1 i i A ∞ = ∈ ∪ F c. Jika A ∈F maka c A ∈ F . [Grimmet dan Stirzaker, 1992] Definisi 2.1.4 Ukuran Peluang Misalkan F adalah Medan- σ dari ruang contoh Ω . Ukuran peluang adalah suatu fungsi [ ] : 0,1 P → F ฀ pada , Ω F yang memenuhi: 1. 0, 1 P P φ = Ω = , 2. Jika 1 2 , , A A ∈ F adalah himpunan yang saling lepas yaitu i j A A φ = ∩ untuk setiap pasangan i j ≠ , maka 1 1 i i i i P A P A ∞ ∞ = = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∪ . Pasangan , , P Ω F disebut ruang peluang. [Grimmet dan Stirzaker, 1992] Definisi 2.1.5 Peluang Bersyarat Jika P B maka peluang bersyarat dari kejadian A setelah diketahui kejadian B ialah | P A B P A B P B ∩ = . [Grimmet dan Stirzaker, 1992] Definisi 2.1.6 Kejadian Saling Bebas Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika P A B P A P B ∩ = . Misal I adalah himpunan indeks. Himpunan kejadian { } : i A i I ∈ disebut saling bebas jika i i i J i J P A P A ∈ ∈ = ∏ ∩ untuk setiap himpunan bagian berhingga J dari I. [Grimmet dan Stirzaker, 1992] Definisi 2.1.7 Kontinu Absolut Jika v dan µ merupakan ukuran peluang pada , Ω F . Ukuran peluang v dikatakan kontinu absolute terhadap ukuran peluang µ jika A µ = maka vA= 0, untuk setiap A ∈ F . Dinotasikan v µ . [Royden, 1963] Teorema 2.1.8 Radon Nikodym Jika P dan P merupakan dua ukuran peluang pada , Ω F sehingga untuk setiap B ∈ F , P B = menyebabkan P B = , maka terdapat peubah acak tak negative ∆ sehingga C P C dP = ∆ ∫ untuk semua C ∈ F . Dinotasikan dP dP = ∆ F . [bukti lihat Wong dan Hajek, 1985] 2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 2.2.1 Peubah Acak Misalkan F adalah medan- σ dari Ω . Peubah acak X merupakan fungsi : X Ω → di mana { } : X x ω ω ∈ Ω ≤ ∈ F untuk setiap x ∈ . [Grimmet dan Stirzaker, 1992] Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari peubah acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil. Definisi 2.2.2 Fungsi Sebaran Fungsi sebaran dari peubah acak X adalah suatu fungsi [ ] : 0,1 F → di mana X F x P X x = ≤ . [Grimmet dan Stirzaker, 1992] Definisi 2.2.3 Peubah Acak Diskret Peubah acak X disebut sebagai peubah acak diskret jika nilainya hanya berada pada himpunan bagian yang terhitung dari . [Grimmet dan Stirzaker, 1992] Definisi 2.2.4 Fungsi Kerapatan Peluang Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi [ ] : 0,1 p → di mana X p x P X x = = . [Grimmet dan Stirzaker, 1992] Definisi 2.2.5 Peubah Acak Kontinu Peubah acak X disebut kontinu jika fungsi sebarannya dapat dinyatakan sebagai ; x X F x f u du x −∞ = ∈ ∫ di mana [ : 0, f → ∞ adalah fungsi yang terintegralkan. f merupakan fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X. [Grimmet dan Stirzaker, 1992] Definisi 2.2.6 Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak Fungsi sebaran bersama dua peubah acak X dan Y merupakan suatu fungsi [ ] 2 : 0,1 F → yang didefinisikan oleh , , F x y P X x Y y = ≤ ≤ . [Grimmet dan Stirzaker, 1992] Definisi 2.2.7 Fungsi Kepekatan Peluang Bersama Misalkan X dan Y peubah acak kontinu, maka fungsi kepekatan peluang bersama dari X dan Y adalah 2 , , XY F x y f x y x y ∂ = ∂ ∂ dan fungsi kepekatan peluang marginal dari peubah acak Y adalah , Y XY f y f x y dx ∞ −∞ = ∫ . [Grimmet dan Stirzaker, 1992] Definisi 2.2.8 Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat Misalkan X dan Y peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang marginal Y f y , maka fungsi kepekatan peluang bersyarat dari X dengan syarat Y = y adalah | , | XY X Y Y f x y f x y f y = . [Grimmet dan Stirzaker, 1992] Definisi 2.2.9 Nilai Harapan Peubah Acak Diskret Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang X p x P X x = = maka nilai harapan dari X adalah [ ] X x E X xp x = ∑ asalkan jumlah di atas konvergen. [Hogg dan Craig, 1995] Definisi 2.2.10 Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang X f x maka nilai harapan dari X adalah [ ] X E X xf x dx ∞ −∞ = ∫ asalkan integralnya ada. [Hogg dan Craig, 1995] Definisi 2.2.11 Nilai Harapan Bersyarat Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dan | | X Y f x y adalah fungsi kepekatan peluang bersyarat dari X dengan syarat Y = y, maka nilai harapan dari X dengan syarat Y = y adalah [ ] | | | X Y E X Y y xf x y dx ∞ −∞ = = ∫ . [Hogg dan Craig, 1995] Definisi 2.2.12 Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks Misalkan N S ∈ adalah himpunan vektor. Maka S disebut sebagai himpunan konveks jika untuk semua , x x S ∈ terdapat [ ] 0,1 λ ∈ maka 1 x x S λ λ − + ∈ . Misalkan f merupakan fungsi dengan peubah x yang terdefinisi pada himpunan konveks S. Maka f disebut sebagai fungsi konveks jika f memenuhi persamaan 1 1 f x x f x f x λ λ λ λ − + ≤ − + . Jika f memiliki turunan kedua, maka f disebut sebagai fungsi konveks jika dan hanya jika 2 0, f x x S ∇ ≥ ∀ ∈ dan merupakan strictly convex jika 2 0, f x x S ∇ ∀ ∈ . [Osborne, 1997] Teorema 2.2.13 Ketaksamaan Jensen Misalkan X ∈ adalah peubah acak dengan X ⎡ ⎤ ⎣ ⎦  berhingga dan gx adalah fungsi konveks. Maka [ ] . g X g X ≥ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦   [bukti lihat Weisstein, 1999] 2.3 Rantai Markov Definisi 2.3.1 Ruang State Misalkan S ⊂ merupakan himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang state. [Grimmet dan Stirzaker,1992] Definisi 2.3.2 Proses Stokastik Proses stokastik { , } t S S t T = ∈ adalah suatu koleksi dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state K. Jadi, untuk setiap t pada himpunan indeks T, S t adalah suatu peubah acak. [Ross,1996] Dalam hal ini anggap t sebagai waktu dan nilai dari peubah acak S t sebagai state keadaan dari proses pada waktu t. Definisi 2.3.3 Rantai Markov Proses S adalah rantai Markov jika memenuhi syarat Markov, yaitu: 1 1 1 1 1 1 | , ,..., | . t t t t t t P S s S s S s S s P S s S s − − − − = = = = = = = [Grimmet dan Stirzaker,1992] Definisi 2.3.4 Rantai Markov dengan Waktu Diskret Misalkan S t suatu peubah acak. Proses stokastik { , 0,1, 2,...} t S t = , dengan ruang state {0,1,2,…,N} disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap t={0,1,2,..} berlaku 1 2 1 1 { | , ,...} { | } t t t t t t ij P S j S i S i P S j S i p − − − − = = = = = = = untuk semua kemungkinan nilai dari i o ,i 1 ,i 2 ,…,i n-1 ,i,j ∈ {1,2,3,…,N} [Ross,1996] Jadi untuk suatu rantai Markov, sebaran bersyarat dari sebarang state saat ini S t dengan syarat state yang lalu S ,S 1 ,S 2 ,…,S t-2 dan state kemarin S t-1 adalah bebas terhadap semua state yang lalu, dan hanya bergantung pada state kemarin. Proses di atas dapat digambarkan sebagai N- state rantai Markov dengan peluang transisi {p ij } i,j = 1,2,…,N. Nilai dari peluang transisi p ij menyatakan peluang bahwa jika proses tersebut berada pada state i maka berikutnya akan beralih ke state j. Karena nilai peluang adalah tak negatif dan karena proses tersebut harus mengalami transisi ke suatu state maka a. p ij ≥ 0, untuk semua i,j ∈ {1,2,…,N} b. 1 1 N ij j p = = ∑ untuk semua i ∈ {1,2,…,N} Peluang transisi N x N dapat dituliskan dalam bentuk matriks P yang disebut juga sebagai matriks transisi, yaitu 11 1 1 N N NN p p p p ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ P … di mana i menandakan kolom dan j menandakan baris dari matriks P. 2.4 Algoritma EM Expectation Maximization Misalkan { } , P θ θ ∈ Θ adalah himpunan ukuran peluang yang terdefinisi pada , Ω F dan kontinu absolut terhadap P . Misalkan ⊂ Y F . Fungsi Likelihood yang digunakan untuk menghitung penduga parameter θ berdasarkan informasi Y adalah | dP L dP θ θ ⎡ ⎤ = Ε ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Y . Penduga Maximum Likelihood MLE didefinisikan oleh ˆ arg max L θ θ θ ∈Θ ∈ . Umumnya MLE sulit dihitung secara langsung, oleh karena itu diperlukan suatu metode aproksimasi berulang, yakni algoritma Expectation Maximization EM. Langkah-langkah dalam metode tersebut adalah: 1. Set nilai awal parameter ˆ k θ dengan k = . 2. Set ˆ k θ θ = dan hitung , θ θ Q dengan , log | dP dP θ θ θ θ θ ⎡ ⎤ = Ε ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Q Y . 3. Cari 1 ˆ arg max , k θ θ θ + ∈ Q . 4. Ganti k dengan k+1 dan ulangi langkah 2 sampai 4 hingga kriteria hentinya tercapai, yaitu ketika selisih 1 ˆ k θ + dan ˆ k θ kurang dari suatu bilangan yang sangat kecil. Bilangan tersebut dapat ditentukan sesuai dengan seberapa besar ketelitian yang diinginkan. Misalkan 1 log g x x ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , karena turunan kedua dari g x selalu positif 2 2 2 1 log 1 0, g x x x x ⎛ ⎞ ∇ = ∇ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ∀ maka g x merupakan fungsi konveks. Karena 1 log x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ merupakan fungsi konveks, maka berdasarkan ketaksamaan Jensen dapat dihasilkan barisan { } ˆ , k k θ ≥ , yang merupakan fungsi likelihood yang tak turun yaitu 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ log log , k k k k L L θ θ θ θ + + − ≥ Q 2.4.1 Bukti: Definisikan 1 , 1 k k i i k λ = Λ = ≥ ∏ dengan 1 i i i dP dP θ θ λ − = maka 1 2 1 1 1 1 2 , 1 . ... . ... k k k P k i i k k dP dP dP dP dP dP dP dP θ θ θ θ θ θ θ θ λ λ λ λ − = Λ = ≥ = = = ∏ atau k k k dP dP θ θ ∆ = G . Dengan cara serupa maka 1 1 1 k k k dP dP θ θ + + + ∆ = G serta 1 1 k k k dP dP θ θ λ + + = Akibatnya 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ log log log | log | k k k k L L dP dP dP dP θ θ θ θ + + − = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Y Y   [ ] [ ] [ ] 1 1 log | log | log | log k k k k k k λ + + = ∆ − ∆ = ∆ − ∆    Y Y Y [ ] 1 1 ˆ ˆ , log | log k k k k k k θ θ λ + + = ∆ − ∆ Q Y  [ ] 1 1 ˆ ˆ ˆ log | log | . k k k k k k k dP dP θ θ θ λ + + ∆ = ∆ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Y Y   Berdasarkan Teorema ketaksamaan Jensen maka 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ log | log | k k k k k k dP dP dP dP θ θ θ θ θ θ + + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − ≤ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Y Y   atau 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ log log log | k k k k k dP L L dP θ θ θ θ θ + + ⎡ ⎤ − ≥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Y  . Hasil kedua ruas pada persamaan 2.4.1 akan bernilai sama jika dan hanya jika 1 ˆ ˆ k k θ θ + = . Bentuk , θ θ Q disebut Pseudo Likelihood bersyarat. III. MODEL HIDDEN MARKOV 3.1 Model Hidden Markov dan Karakteristiknya Pada bab ini dibahas model Hidden Markov beserta karakteristiknya. Model ini terdiri atas pasangan state t S penyebab kejadian yang tidak diamati dan proses observasinya t Y . Misalkan S t adalah proses yang tidak diamati dengan ruang state { } 1, 2, 3,...N . Jika S t berada pada state j, maka proses yang diamati Y t mempunyai sebaran normal 2 , j j N µ σ . Pasangan {S t ,Y t } disebut model Hidden Markov. Oleh karena itu, fungsi kerapatan peluang dari Y t dengan syarat peubah acak S t bernilai j adalah 2 2 1 | ; exp 2 2 t j t t j j y f y S j µ θ σ πσ ⎧ ⎫ − − ⎪ ⎪ = = ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 3.1.1 untuk j = 1,2,…N . Dalam hal ini θ adalah vektor dari parameter populasi yang memuat 1 2 3 , , ,..., N µ µ µ µ dan 2 2 2 2 1 2 3 , , ,..., N σ σ σ σ . Peubah yang tidak diamati {S t } diduga telah dibangkitkan oleh beberapa sebaran peluang, di mana peluang tak bersyarat S t = j dinotasikan dengan j π : { } ; t j P S j θ π = = 3.1.2 untuk j = 1,2,…,N . Peluang 1 2 3 , , ,..., N π π π π juga termasuk dalam θ , sehingga θ didefinisikan sebagai 2 2 1 1 1 ,..., , ,..., , ,..., N N N θ µ µ σ σ π π = . Peluang dari kejadian bersama S t = j dan Y t yang berada pada interval [c,d] dapat diperoleh dengan mengintegralkan