Untuk memperoleh nilai
2
ˆ σ , berdasarkan
persamaan 4.1.12 diperoleh
1 2
2 2
1 1
2 3
1 2
1 1
2 2
1 4
| ;
1 |
; exp
2 2
2 1
| ;
exp 2
2
2
t t
t j
j t t
t j
t j
j t t
t t
j j t
f y y c
y P S
j y c
y P S
j y c
y ϒ θ
σ φ
ϒ θ σ
σ π φ
ϒ θ σ
σ π φ
σ
− −
− =
− −
−
− −
− −
− −
∂ ∂
⎡ ⎧
⎫ −
⎪ ⎪
⎢ =
− =
⎨ ⎬
⎢ ⎪
⎪ ⎢
⎩ ⎭
⎣ ⎛
⎧ ⎫
− ⎪
⎪ ⎜
+ =
⎨ ⎬
⎜⎜ ⎪
⎪ ⎩
⎭ ⎝
⎤ ⎞
⎥ ⎟
⋅ ⎥
⎟ ⎥
⎠⎦
∑
2 2
1 1
2 1
2 1
2 4
1 |
; exp
2 2
1 2
2
t j
j t t
t j
t j
j t
y c y
P S j
y c y
φ ϒ θ
σ σ π
φ σ
σ
− −
= −
− −
− −
⎡ ⎧
⎫ −
⎪ ⎪
⎢ =
= ⎨
⎬ ⎢
⎪ ⎪
⎢ ⎩
⎭ ⎣
⎤ ⎛
⎞ −
⎥ ⎜
⎟ ⋅
+ ⎥
⎜ ⎟
⎥ ⎝
⎠ ⎦
∑
2 1
1 1
2 1
2 4
| ;
| ,
; 1
2 2
t t
t t
t j
t j
j t
P S j
f y S j
y c
y ϒ θ
ϒ θ φ
σ σ
− −
= −
− −
= =
= ⎡⎣
⎤ ⎛
⎞ −
⎥ ⎜
⎟ ⋅
+ ⎥
⎜ ⎟
⎥ ⎝
⎠ ⎦
∑
2 1
1 1
2 2
1 4
4
| ;
| ,
;
2 2
t t
t t
t j
t j
j t
P S j
f y S j
y c
y ϒ θ
ϒ θ φ
σ σ
σ
− −
= −
− −
= =
= ⎡⎣
⎤ ⎛
⎞ −
⎥ ⎜
⎟ ⋅
+ ⎥
⎜ ⎟
⎥ ⎝
⎠ ⎦
∑
2
θ σ
∂ =
∂
L
1 2
1 1
| ;
1 |
;
T t
t t
t t
f y f y
ϒ θ
ϒ θ
σ
− =
−
∂ ⋅
= ∂
∑
2 1
1 1
1 1
2 2
1
| ;
| ,
; |
;
t t
T t
t t
t t
t j
t t
t S
S t
P S j
f y S j
f y y
c y
ϒ θ ϒ θ
ϒ θ σ
φ
− −
= =
− −
− −
⎡ =
= ⎢
⎢⎣ ⎤
⋅ − + =
⎥⎦
∑∑
2 1
1 2
1 1
1 2
2 1
1 1
1 1
1
| ;
| ,
; |
; |
; |
, ;
| ;
t t
T t
t t
t t
t j
t t
T t
t t
t t
t S
t S
t j
t t
P S j
f y S j
f y P S
j f y S
j y c
y f y
ϒ θ ϒ θ
σ ϒ θ
ϒ θ ϒ θ
φ ϒ θ
− −
= = −
− −
− = =
−
− −
= =
= =
=
∑∑
∑∑
2 2
1 1
1 1
1 1
2 2
1 1
1 1
1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
| ;
| ,
; |
; ˆ
. ˆ
ˆ |
; |
, ;
ˆ |
;
t t
T t
t t
t t
t S
S t t
j t
t T
t t
t t
t t
j t
t
P S j f y S j
y c y
f y P S
j f y S
j f y
ϒ θ ϒ θ
φ ϒ θ
σ ϒ θ
ϒ θ ϒ θ
− −
− = =
− −
− = =
−
− −
= =
= =
=
∑∑ ∑∑
4.2.5
4.3 Reestimasi Parameter Menggunakan
Algoritma EM
Karena persamaan 4.2.1 sampai 4.2.5 merupakan persamaan tak-linear, maka untuk
mempermudah mencari solusi bagi ˆ θ
digunakan algoritma EM. Langkah- langkahnya sebagai berikut:
Langkah 1: Tentukan banyaknya data T yang akan digu-
nakan untuk perhitungan, tentukan juga nilai
1 2
1
, ,
, ,
T
y y y y
−
dan matriks transisi
11 21
12 22
p p
p p
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
P
Beri nilai awal bagi ˆ θ yang dilambangkan
dengan
2 1
2 1
2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, , ,
, c c
θ φ φ σ
= .
Langkah 2: Cari fungsi kerapatan bersyarat bagi
T
y untuk setiap
1, 2, ,
t T
= dengan cara
1 1
2 1
1 1
2 2
2 2
1 2
| 1,
; |
2, ;
1 exp
2 2
1 exp
2 2
η
t t
t t
t t
t t
t t
t
f y S
f y S
y c
y y
c y
ϒ θ
ϒ θ
φ σ
πσ φ
σ πσ
− −
− −
− −
− −
= ⎡
⎤ = ⎢
⎥ =
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎧ ⎫
− ⎪
⎪ ⎢
⎥ ⎨
⎬ ⎢
⎥ ⎪
⎪ ⎩
⎭ ⎢
⎥ =
⎧ ⎫
⎢ ⎥
− ⎪
⎪ ⎢
⎥ ⎨
⎬ ⎢
⎥ ⎪
⎪ ⎩
⎭ ⎣
⎦ .
Langkah 3: Penarikan kesimpulan optimal dan peralaman
untuk setiap waktu t pada contoh dapat diperoleh melalui iterasi:
3.1. Tentukan nilai awal bagi
| 1
ˆ
t t −
ξ
yang dilambangkan dengan
1|0
ˆ
ξ
3.2. Berikan nilai awal
1 i
= 3.3.
Untuk t i = , cari nilai dari
1 | 1
2 1
1 1
1 2
2 2
1 2
1 2
| ;
ˆ 1
1| ;
exp 2
2 1
2| ;
exp 2
2
1 ξ
t t
t t t
t t
t t
t t
t t
f y
y c y
P S y c
y P S
ϒ θ η
φ ϒ θ
σ πσ
φ ϒ θ
σ πσ
− −
− −
− −
− − − −
′ =
⊗ ⎧
⎫ −
⎪ ⎪
= =
⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎩ ⎭
⎧ ⎫
− ⎪
⎪ +
= ⎨
⎬ ⎪
⎪ ⎩
⎭
{ }
{ }
1 |
1 |
| 1
1
ˆ ˆ
1 ;
ˆ ˆ
ˆ 2
;
t t
k t t
t t t
t t t
t t
k
P S P S
ϒ θ ϒ
θ
− −
− −
⎡ ⎤
= ⊗
⎢ ⎥
= =
⎢ ⎥
′ ⊗
= ⎢
⎥ ⎣
⎦
ξ η
ξ 1
ξ η
{ }
{ }
1 1|
| 1
ˆ 1
; ˆ
ˆ ˆ
2 ;
t t
k t
t t
t t t
t k
P S P S
ϒ θ
ϒ θ
− +
−
⎡ ⎤
= ⎢
⎥ =
= ⋅
⎢ ⎥
= ⎢
⎥ ⎣
⎦
ξ P
ξ
3.4. Set
1 i
i = + , ulang langkah 3.3 sampai
i T
= .
Langkah4: Cari nilai dari:
1| 1
1 1
1 1|
1 1
1
ˆ ˆ
| ,
; ˆ
| ;
ˆ .
ˆ ˆ
| ,
; ˆ
| ;
t t
j T
t t
t t
i t
t S
t t
t t
S j
T t
t t
t i
t t
t t
f y S e
y y
f y c
f y S e
f y
φ
ξ ϒ θ
ϒ θ ξ
ϒ θ ϒ θ
+ −
− =
− +
− =
−
⋅ =
⋅ − =
⋅ =
∑ ∑
1| 1
1 1
1 2
1| 1
1 1
1
ˆ ˆ
| ,
; ˆ
ˆ |
; ˆ
ˆ ˆ
| ,
; ˆ
| ;
t t
j T
t t
t t
i t
t S
t t
t t
S j
T t
t t
t i
t t
t t
t
f y S e
y c y
f y f y S
e y
f y ξ
ϒ θ ϒ θ
φ ξ
ϒ θ ϒ θ
+ −
− =
− +
− −
= −
⋅ =
⋅ − =
⋅ =
∑ ∑
2 2
1| 1
1 1
1 1
2 2
1| 1
1 1
1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
| ,
; |
; ˆ
ˆ ˆ
| ,
; ˆ
| ;
t t
j T
t t
t t
t t
S S
t t
j t
t j
T t
t t
t t
t j
t t
c y
f y S j
y f y
f y S j
f y
φ
ξ ϒ θ
ϒ θ σ
ξ ϒ θ
ϒ θ
+ −
− =
= −
+ −
= =
−
− −
= =
=
∑∑ ∑∑
Langkah 5: Beri nama parameter yang dihasilkan pada
langkah 4 dengan
2 1
1 2
1 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, , ,
,
k
c c θ
φ φ σ
+
= ,
0,1, 2, ,
1 k
T =
− .
Langkah 6: Cari P yang baru, yaitu:
{ }
| |
1| 1|
ˆ ˆ
ˆ ˆ
P
j j
j j
t T t t
t T
t t
ξ ξ
ξ ξ
+ +
⎡ ⎤
= ⋅
÷ ⎣
⎦
1 2
1 2
ˆ ,
| ;
ˆ ˆ
| ;
T t
t t
t ij
T t
t t
P S j S
i p
P S i
ϒ θ ϒ θ
− =
− =
= =
= =
∑ ∑
1 -1
-1 -1
-1 -1
| 1| 1
|
, |
| |
, |
| ,
| ,
| |
| |
| |
ˆ ˆ
ˆ
t t
t t
t T
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t j
i t T
t t
ij j
t t
P S j S
i P S
j P S
i S j
P S j
P S i S
j P S
j P S
i S j
P S j
P S j
P S i
P S i S
i P S
j p
Τ Τ
Τ Τ
Τ
ϒ ϒ
ϒ ϒ
ϒ ϒ
ϒ ϒ
ϒ ϒ
ϒ ξ
ξ ξ
−
− −
= =
= =
× =
= ≈
= ×
= =
= ×
= =
= =
= ×
= ×
= =
= =
× ×
=
1 1
1
ˆ |
; ,
|
N t
t t
t j
P S i
P S j S
i
Τ
ϒ θ ϒ
− −
=
= =
= =
∑
| 1|
1 2
| |
1| 1
2 1
|
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
j i
T t T
t t
ij j
t t t
ij j
i T
N t T
t t
ij j
t j
t t
p p
p
ξ ξ
ξ ξ
ξ ξ
− − =
− − =
=
× ×
= ×
×
∑ ∑∑
. [bukti lihat Hamilton, 1990]
Langkah 7: Selama
k T
, ulangi mulai dari langkah 2. Gunakan parameter yang sudah dihasilkan
untuk mencari nilai harapan bagi nilai tukar rupiah yang akan datang.
[ ]
1 1
| ,
; .
t t
t j
j t
E Y S
j c
y
ϒ θ φ
+ +
= =
+
V. PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP US DOLLAR
