k = 1,2,…,p dan j = 1,2,…,n Dimana : d
i -
- d
i +
= Jumlah deviasi negarif d
i -
dan jumlah deviasi positif d
i +
terhadap jumlah tujuan bi A
ij
variabel pengambilan keputusan = koefisien fungsi kendala tujuan yaitu berhubungan dengan
X
ij
b = variabel pengambilan keputusan
i
g = tujuan atau target yang ingin dicapai
ij
C = koefisien fungsi kendala sistem
k
= sumber daya yang tersedia
3.7.3. Langkah-Langkah Goal Programming
Langkah yang harus dilakukan dalam pembentukan model Goal Programming antara lain:
1. Penentuan variabel keputusan, yaitu parameter-parameter yang berpengaruh terhadap keputusan
2. Formulasi Fungsi Tujuan 3. Menyusun persamaan matematis untuk tujuan yang telah ditetapkan.
Tiap fungsi tujuan harus digambarkan sebagai fungsi variabel keputusan. gi=fix, fix = fungsi variabel keputusan pasa tujuan ke i.
iap fungsi harus memiliki ruas kanan dan ruas kiri. Harga di- menunjukkan besarnya deviasi negatif fix dari bi, sedangkan nilai di+ menunjukkan
besarnya nilai deviasi positif. f
i
x + d
i -
- d
i +
= b
i
dimana i = 1,2,3,...m
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
4. Memilih tujuan absolut, yaitu tujuan yang harus dipenuhi dan ditetapkan sebagai prioritas membentuk suatu fungsi pencapaian.
5. Menetapkan tujuan pada tingkat prioritas yang tepat 6. Menyederhanakan model
Langkah ini perlu dilakukan untuk mendapatkan model yang cukup besar sehingga model dapat mewakili semua tujuan.
7. Menyusun fungsi Pencapaian
3.7.4. Metode kriteriaPemecahan Masalah
Ada tiga metode yang digunakan dalam menyelesaikan Linier Goal Multi Objectives Programming.
1. Metode Grafis Metode grafis digunakan untuk menyelesaikan masalah multi objective
dengan dua variabel. Langkah penyelesaian dengan metode grafis adalah: a. Menggambarkan fungsi kendala pada bidang kerja sehingga diperoleh daerah
yang memenuhi kendala b. Meminimumkan variabel deviasional agar sasaran-sasaran yang diinginkan
tercapai dengan cara menggeser fungsi atau garis yang dibentuk oleh variabel deviasional terhadap daerah yang memenuhi kendala
2. Metode Algoritma Simpleks Algoritma simpleks digunakan untuk menyelesaikan masalah Linier Goal
Multi Objectives Programming dengan menggunakan variabel keputusan yang
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
lebih dari dua. Langkah-langkah penyelesaian Goal Programming dengan metode algoritma simpleks adalah:
a. Membentuk tabel simpleks awal b. Pilih kolom kunci dimana C
j
-Z
j
c. Pilih baris yang berpedoman pada biaij dengan rasio terkecil dimana bi adalah nilai sisi kanan dari setiap persamaan. Baris kunci ini disebut baris pivot.
memiliki nilai negatif terbesar. Kolomkunci ini disebut kolom pivot
d. Mencari sistem kanonikal yaitu sistem dimana nilai elemen pivot bernilai 1 dan elemen lain bernilai nol dengan cara mengalikan baris pivot dengan -1 lalu
menambahkannya dengan semua elemen dibaris pertama. Dengan demikian diperoleh tabel simpleks iterasi I.
e. Pemeriksaan optimalitas, yaitu melihat apakah solusi sudah layak atau tidak. Solusi dikatakan layak bila variabel adalah positif atau nol.
Berikut akan diberikan contoh kasus penggunaan Goal Programming. Sebuah perusahaan memproduksi 2 jenis produk yang berbeda, yaitu X
1
dan X
2
. Produk tersebut dikerjakan melalui 2 proses pengerjaan yang berbeda, yaitu
proses I dan proses II. Proses I mampu menghasilkan 5 unit produk X
1
dan 6 unit produk X
2
X sedangkan untuk proses II hanya mampu menghasilkan 1 unit produk
1
dan 2 unit X
2
Dalam hal ini perusahaan mendapatkan 4 macam sasaran yaitu: . Kapasitas maksimum proses I dan II berturut-turut adalah 60
dan 16.
1. Kapasitas yang tersedia pada proses I dimanfaatkan secara maksimum 2. Kapasitas yang tersedia pada proses II dimanfaatkan secara maksimum
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
3. Produksi X
1
4. Produksi X paling sedikit 10 unit
2
Berapakah jumlah produksi optimal yang harus diproduksi oleh perusahaan?
paling sedikit 6 unit
Penyelesaian: Yang menjadi variabel keputusan adalah:
X
1
= jumlah produk X
1
X yang akan diproduksi
2
= jumlah produk X
2
Yang menjadi fungsi kendala adalah: yang akan diproduksi
5X
1
+ 6X
2
X ≤ 60
1
+ 2X
2
X1 ≥ 10
≤ 16
X
2
Sesuai dengan sasaran yang akan dicapai, maka model goal programming untuk kasus ini akan menjadi:
≥ 6
Min Z = P
1
DA
1
+DB
1
+P
2
DA
2
+DB
2
+P
3
DB
3
+P
4
DB
4
ST : 5X
1
+ 6X
2
+ DB
1
- DA
1
X = 60
1
+ 2X
2
+ DB
2
- DA
2
X = 16
1
+ DB
3
X = 10
2
+ DB
4
Penyelesaian model ini dimulai dengan membuat tabel simpleks awal seperti pada Tabel 3.1 sebagai berukut:
= 6
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Tabel 3.1. Tabel Simpleks Awal
Yang menjadi kolom kunci adalah kolom ke-2 dimana Cj-Zj memiliki nilai negatif terbesar yaitu -6. Yang menjadi baris kunci adalah baris ke empat karena
memiliki biaij terkecil 606=10, 162=8, 100= ∞, 61=6. Pemilihan kolom kunci
dapat dilihat pada Tabel 3.2.
Tabel 3.2. Tabel Simpleks Awal Pemilihan Kolom Kunci
Langkah selanjutnya adalah mencari sistem kanonikal yaitu sistem dimana nilai elemen pivot bernilai 1 dan elemen lain bernialai nol dengan cara mengalikan
baris pivot dengan -1 lalu menambahkannya dengan semua elemen dibaris pertama. Misalnya untuk baris pertama:
0 1 0 0 0 0 0 1 x6
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
0 -6 0 0 0 0 0 -6 5 6 -1 1 0 0 0 0
5 0 -1 1 0 0 0 -6 +
Nilai bi pada sistem kanonikal diperoleh dengan cara: b
1
b = -166 + 60 = 24
2
b = -126 + 16 = 4
3
Dengan perhitungan yang sama, dilakukan iterasi sampai ditemukan solusi optimal. Tabel Iterasi dapat dilihat pada Tabel 3.3, Tabel 3.4, dan Tabel 3.5.
= -106 + 10 = 10
Tabel 3.3. Tabel Simpleks Iterasi I
Tabel 3.4. Tabel Simpleks Iterasi II
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Tabel 3.5. Tabel Simpleks Iterasi III
Dengan demikian diperoleh tabel simpleks iterasi IV seperti Tabel 3.6.
Tabel 3.6. Tabel Simpleks Iterasi IV
Pada Tabel 3.6 diperoleh solusi optimal karena seluruh Z
j
-C
j
≥0. Dengan demikian, solusi optimal untuk produk yang diproduksi adalah X
1
=6 dan X
2
3. Penyelesaian model Goal Programming menggunakan software Lindo =5.
Lindo singkatan dari linier interactive discrete optimazer, adalah sebuah program yang dirancang untuk menyelesaikan kasus-kasus pemrograman linier.
Sebuah kasus harus diubah dahulu ke dalam sebuah model matematis pemrograman linier yang menggunakan format tertentu agar bisa diolah oleh
program lindo. a. Input Lindo
Program ini menghendaki input sebuah program matematikan dengan struktur tertentu. Misalnya contoh di atas bentuk input di program lindo adalah:
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MIN DA1 + DB1 + DA2 + DB2 + DB3 + DB4 SUBJECT TO
2 –DA1 + DB1 + 5X1 + 6X2 = 60 3 –DA2 + DB2 + X1 + 2X2 = 16
4 DB3 + X1 = 10 5 DB4 + X2 = 6
b. Output Lindo Setelah data dimasukkan,segera perintahkan program untuk mengolah data
tersebut melalui fasilitas perintah GO. Sesaat kemudian program menayangkan hasil olahannya. Output atau hasil olahan program Lindo pada dasarnya bisa
dipisahkan menjadi dua bagian,yaitu: 1. Optimal Solution atau penyelesaian optimal
2. Sensitivity Analysis atau analisis sensitivitas Hasil olahan Lindo memuat 5 macam informasi yaitu
1. Nilai fungsi tujuan dibawah label Objective Function Value Informasi ini ditandai dengan notasi ”1” untuk menunjukkan bahwa di dalam
struktur input Lindo, fungsi tujuan ditempatkan pada baris 1 dan fungsi kendala mulai dari urutan baris ke 2
2. Nilai optimal variabel keputusan dibawah label value Variabel keputusan pada output Lindo ditandai dengan label variabel. Misalnya
variabel keputusan X
1
dan X
2
, maka bilangan dibawah value dan berada pada baris dimana X
1
berada menunjukkan nilai optimal variabel keputusan.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
3. Sensitivitas C
j
jika X
j
Memberikan informasi mengenai sampai sejauh mana nilai C = 0 dibawah kolom reduced cost.
j
4. Slack Variabel atau Surplus Variabel dibawah label slack or surplus harus diturunkan
agar nilai variabel keputusan menjadi positif. Ini berarti bahwa reduced cost akan selalu nol bila nilai variabel keputusan positif dan sebaliknya.
Informasi ini menunjukkan nilai slack atau surplus masing-masing kendala ketika nilai fungsi tujuan mencapai nilai ekstrem.
5. Dual Price Informasi ini menunjukkan tentang perubahan yang akan terjadi pada nilai
fungsi tujuan bila nilai ruas kanan kendala berubah satu unit. Hasil olahan lindo juga memberikan informasi mengenai jumlah iterasi
yang diperlukan untuk menemukan penyelesaian optimal. Misalnya untuk output untuk contoh diatas adalah:
OUTPUT: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1 0.0000000E+00 VARIABLE VALUE REDUCED COST
P1DA1 0.000000 1.000000
DB1 0.000000 1.000000
P2DA2 0.000000 1.000000
DB2 0.000000 1.000000
P3DB3 0.000000 1.000000
P4DB4 0.000000 1.000000
X1 0.000000 0.000000
X2 0.000000 0.000000
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
DB1 60.000000 0.000000
DA1 0.000000 0.000000
DB2 16.000000 0.000000
DA2 0.000000 0.000000
DB3 10.000000 0.000000
DB4 6.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2
0.000000 0.000000
3 0.000000
0.000000 4
0.000000 0.000000
5 0.000000
0.000000 NO. ITERATIONS= 0
3.8. Peramalan
