Menemukan Konsep Persamaan Lingkaran

1. Menemukan Konsep Persamaan Lingkaran

Lingkaran adalah sebuah bangun datar yang sering digunakan sebagai alat bantu dalam menjelaskan ilmu pengetahuan lain maupun dalam berbagai penyelesaian masalah kehidupan sehari -hari.

Pada bab ini akan dibahas tentang lingkaran dan beberapa hal dasar yang pada akhirnya membantu kita untuk menemukan konsep tentang lingkaran itu sendiri.

Masalah-9.1

Gunung Sinabung di Kabupaten Karo, Sumatera Utara kembali meletus sekitar pukul 12.00 WIB hari Selasa tanggal 17 September 2013. Material yang dikeluarkan lebih banyak dibanding letusan pertama dua hari lalu. Akibat letusan ini banyak warga yang mengungsi. Pemerintah setempat pun memberikan peringatan agar masyarakat yang berada pada radius 3 km dari puncak gunung Sinabung harus segera mengungsi dan daerah tersebut harus bebas dari aktivitas dan dikosongkan untuk sementara. Bantulah pemerintah kabupaten Karo untuk menentukan daerah mana saja masyarakatnya harus mengungsi. (Petunjuk: Gunakan Peta Kabupaten Karo)

Alternatif Penyelesaian

Gambar 9.1: Peta Kabupaten Karo

Matematika

Pertama kali yang dilakukan adalah membuat radius (jari-jari) sepanjang 3 km dari titik pusatnya yaitu puncak Gunung Sinabung. Setelah itu tariklah secara melingkar dan terbentuklah sebuah lingkaran. Berdasarkan daerah lingkaran yang dibuat tersebut ternyata terdapat beberapa desa yang penduduknya harus mengungsi karena berada pada daerah radius 3 km yaitu Desa Simacem, Bekerah, Sigaranggarang, dan Kutatonggal di Kecamatan Naman Teran, serta Desa Sukameriah di Kecamatan Payung.

Definisi 9.1

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada suatu bidang yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu

Masalah-9.2

Misalkan Gambar 9.1 pada Masalah 9.1 dipindahkan ke bidang koordinat cartesius dan gunung Sinabung berpusat di P(0, 0) dan jari-jarinya r = 3. Misalkan salah satu desa yaitu Sigaranggarang berada pada titik S(x, y) pada lingkaran tersebut, tentukanlah persamaan lingkaran tersebut!

Alternatif penyelesaian

jarak titik S(x, y) ke titik P(0, 0) dapat ditentukan dengan rumus:

2 PS 2 = ( x − 0 ) + ( y − 0 )

Diketahui bahwa jari-jarinya adalah r dan PS = r, maka

Gambar 9.2: Lingkaran pusat P(0, 0) dan

jari-jari r=3

Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh

Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 2

(x – 0) 2 + (y – 0) 2 =r 2 ⇔x 2 +y 2 =r 2

Diketahui bahwa r = 3, maka diperoleh

x 2 +y 2 =3 2 ⇔x 2 +y 2 =9

Sifat 9.1

Persamaan lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan memiliki jari-jari r adalah x 2 + y 2 = r 2

Atau dengan kata lain

Jika L adalah himpunan titik-titik yang berjarak r terhadap titik P(0, 0) maka L {(x, y) | x 2 +y 2 = 2 r }

Contoh 9.1

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan jari-jari sebagai berikut:

Alternatif Penyelesaian

a. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 3

adalah x 2 +y 2 =3 2 ⇔x 2 +y 2 =9

b. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 4

adalah x 2 +y 2 =4 2 ⇔ x 2 +y 2 = 16

c. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 5

adalah x 2 +y 2 =5 2 ⇔x 2 +y 2 = 25

d. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan panjang jari-jari 6

adalah x 2 +y 2 =6 2 ⇔ x 2 +y 2 = 36

Masalah-9.3

Misalkan gambar pada masalah 1 dipindahkan ke bidang koordinat Kartesius dan gunung Sinabung berpusat di P(a, b) dan jari-jarinya r = 3 Misalkan salah satu desa yaitu Sukameriah berada pada titik S(x, y), tentukanlah persamaan lingkaran tersebut!

Matematika

Alternatif Penyelesaian:

Jarak titik S(x, y) ke titik P(a, b)

2 adalah PS 2 = ( x − a ) + ( y − b )

Diketahui bahwa jari-jarinya adalah r dan PS = r, maka

Dikuadratkan kedua ruas maka Gambar 9.3: Lingkaran pusat P(a, b) dilalui titik S(x, y)

diperoleh (x – a) 2 + (y – b) 2 =r 2

Berdasarkan informasi diketahui bahwa r = 3, maka diperoleh

(x – a) 2 + (y – b) 2 =3 2 ⇔ (x – a) 2 + (y – b) 2 =9

Sifat 9.2

Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan memiliki jari-jari r adalah (x – 2 2 a) 2 + (y – b) = r

Atau dengan kata lain Jika L adalah himpunan titik-titik yang berjarak r terhadap titik P(a, b) maka

L {(x, y) | ( x – a) 2 +( y – b) 2 = r 2 }

Contoh 9.2

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2, 2) dan berjari -jari r = 2.

Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 2

Alternatif Penyelesaian:

(x – a) 2 + (y – b) 2 =r 2

a = 2; b = 2; c = 2 ⇔ (x – 2) 2 + (y – 2) 2 =2 2

⇔ (x – 2) 2 + (y – 2) 2 =4 Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di

(2, 2) dan berjari-jari r = 2 adalah (x – 2) 2 +

(y – 2) 2 =4

Gambar 9.4 : Lingkaran pusat (2, 2) dan r=2

Contoh 9.3

Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran berikut!

Alternatif Penyelesaian:

a. (x – 2) 2 + (y + 2) 2 =4

⇔ (x – 2) 2 + (y + 2) 2 =2 2

a = 2; b = –2; r = 2 lingkaran tersebut berpusat di titik (2, – 2) dan berjari-jari 2

b. (x + 2) 2 + (y + 2) 2 =9 ⇔ (x + 2) 2 + (y + 2) 2 =3 2

a = –2; b = –2; r = 3 Lingkaran tersebut berpusat di titik (–2, –2) dan berjari-jari 3

Matematika Matematika

⇔ (x + 2) 2 + (y – 2) 2 =4 2

a = –2; b = 2; r = 4 Lingkaran tersebut berpusat di titik (–2, 2) dan berjari-jari 4

d. (x + 2) 2 +y 2 = 16 ⇔ (x + 2) 2 +y 2 = 16

a = –2; b = 0; r = 4 Lingkaran tersebut berpusat di titik (–2, 0) dan berjari-jari 4