Turunan sebagai Limit Fungsi

1.2 Turunan sebagai Limit Fungsi

Kita telah menemukan konsep garis singgung grafik suatu fungsi dan hubungannya dengan garis sekan dan garis normal. Berikutnya, kita akan mempelajari lebih dalam lagi konsep garis singgung grafik suatu fungsi tersebut untuk mendapatkan konsep turunan.

Coba kamu perhatikan dan amati kembali sketsa kurva pada Gambar 11.3. Dengan memisalkan x 2 =x 1 + ∆x dan y 2 =y 1 + ∆y maka titik Q akan bergerak mendekati P untuk ∆x makin kecil. Gradien garis singgung di titik P disebut turunan fungsi pada

titik P yang disimbolkan dengan:

jika limitnya ada .

Jika f kontinu maka titik P dapat berada di sepanjang kurva sehingga turunan suatu fungsi pada setiap x dalam daerah asal adalah:

fx ( + ∆ x ) − fx ()

fx '( ) = lim

( jika limitnya ada .

Perlu diinformasikan, penulisan simbol turunan dapat berbeda-beda. Beberapa simbol turunan yang sering dituliskan adalah:

Notasi Newton

• f (x) atau y turunan pertama fungsi

Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 2

Notasi Leibniz

() df x • dy atau

turunan pertama fungsi

dx dx Definisi 11.3

Misalkan fungsi f : S → R, S ⊆ R dengan (c – ∆x, c + ∆x). Fungsi f dapat diturunkan

fc ( + ∆ x ) − fc ()

di titik c jika dan hanya jika ∆ lim

ada.

Definisi 11.4

Misalkan f : S → R dengan S ⊆ R. Fungsi f dapat diturunkan pada S jika dan hanya jika fungsi f dapat diturunkan di setiap titik c di S.

Masalah-11.2

Seekor burung camar terbang melayang di udara dan melihat seekor ikan di permukaan laut. Burung tersebut terbang menukik dan menyambar ikan

kemudian langsung terbang ke udara. Lintasan burung mengikuti pola fungsi f(x) = |x|. Dapatkah kamu sketsa grafik tersebut. Coba amati dan teliti dengan

cermat turunan fungsi tersebut pada titik O(0,0).

Alternatif Penyelesaian

Ingat kembali pelajaran nilai mutlak pada bab 2 kelas X Misalkan posisi ikan di permukaan laut adalah titik O(0,0) sehingga sketsa

permasalahan di atas adalah sebagai berikut (ingat cara meng-gambar kurva f(x) = |x| di kelas X):

Matematika

Gambar 11.5 Kurva fungsi f(x) = |x|

fx ( + ∆ x ) − fx () Berdasarkan konsep turunan di atas maka f x '( ) = lim ∆ x → 0 bila limitnya ∆ x

ada.

i. Jika x ≥ 0 maka f(x) = x sehingga: fx ( + ∆ x ) − fx ()

fx '( ) = lim

lim

= 1 (limit kanan ada).

ii. Jika x < 0 maka f(x) = –x sehingga: fx ( + ∆ x ) − fx ()

∆ x )( −− x )

∆ x → 0 ∆ 1 (limit kiri ada). x Co ba kamu amati proses tersebut, jika ∆x menuju 0 didekati dari kanan dan ∆x menuju

0 didekati dari kiri, maka f x '( ) = lim tidak sama, bukan? Hal ini

mengakibatkan turunan fungsi f(x) = |x| di titik x = 0 tidak ada atau fungsi tidak dapat diturunkan di x = 0.

Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 2

Definisi 11.5

Misalkan fungsi f : S→R, S ⊆ R dengan (c – ∆x, c + ∆x) ⊆ S

• Fungsi f memiliki turunan kanan pada titik c jika dan hanya jika

∆ x • Fungsi f memiliki turunan kiri pada titik c jika dan hanya jika

∆ x Berdasarkan pembahasan Masalah 11-2 di atas, suatu fungsi akan dapat diturunkan

pada suatu titik jika memenuhi sifat berikut. Sifat 11.1

Misalkan fungsi f : S→R, S ⊆ R dengan x ⊆ S dan L ⊆ R. Fungsi f dapat diturunkan di titik x jika dan hanya jika turunan kiri sama dengan turunan kanan, ditulis:

Keterangan: fx ( + ∆ x ) − fx ()

1. lim adalah turunan fungsi f di titik x yang didekati dari kanan

∆ x pada domain S.

fx ( + ∆ x ) − fx ()

2. lim adalah turunan fungsi f di titik x yang didekati dari kiri

∆ x pada domain S.

Contoh 11.2

Tentukan turunan fungsi y =2 x

Matematika

Alternatif Penyelesaian

Jika f x () =2 x fx ( + ∆ x ) − fx ()

maka f x '( ) = lim ∆ x → 0

= lim ∆ x → 0

= ∆ lim x → 0 .

(ingat perkalian sekawan)

2 ∆ = x lim

∆ lim x → 0 0 2 x + 2 ∆ x + 2 x