Kedudukan Titik terhadap Lingkaran
3. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran
Masalah-9.4
Masih ingatkah kamu masalah gunung Sinabung. Jika disajikan letak beberapa desa di koordinat kartesius dengan menganggap gunung Sinabung berada pada titik P(0, 0) dan berjari jari 5 satuan. Tentukan kedudukan titik desa Sigaranggarang di titik (0, 5), desa Sukatepu di titik (5, 4), dan desa Bekerah di titik (2, –1) terhadap lingkaran yang dengan pusat (0, 0) dan jari- jari 5 satuan. Apakah penduduk desa-desa tersebut perlu mengungsi?
Alternatif Penyelesaian:
Berdasarkan permasalahan di atas maka persamaan lingkarannya adalah x 2 +y 2 = 25
Untuk desa Sigaranggarang dengan titik (0, 5)
Substitusikan titik (0, 5) pada persamaan lingkaran x 2 +y 2 = 25 kemudian periksa apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu simpulkan apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak.
Untuk desa Sukatepu dengan titik (5, 4)
Substitusikan titik (5, 4) pada persamaan lingkaran x 2 +y 2 = 25 kemudian periksa apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu simpulkan apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak.
Untuk desa Bekerah dengan titik (2, –1)
Substitusikan titik (2, –1) pada
persamaan lingkaran x 2 +y 2 =
25 kemudian periksa apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu simpulkan apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak.
Alternatif penyelesaian lainnya adalah dengan menggambar titik-titik letak desa di koordinat kartesius.
Gambar 9.7 Lingkaran dengan Pusat (0, 0) dan r=5
Matematika
Definisi 9.2
1. Suatu titik A(v, w) terletak di dalam lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari
2 r jika v 2 +w < 2 r .
2. Suatu titik A(v, w) terletak pada lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari- jari
2 r jika v 2 +w 2 = r . 3. Suatu titik A(v, w) terletak di luar lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-
jari
r jika v 2 +w 2 > 2 r .
Masalah-9.5
Misalkan Gambar 9.8 berikut menyajikan letak beberapa desa dengan menganggap gunung Sinabung berada pada titik P(3, 2) dan berjari-jari 5 satuan. Tentukan kedudukan titik desa Sigaranggarang, desa Sukatepu, dan desa bekerah berdasarkan gambar di samping. Apakah penduduk desa-desa tersebut perlu mengungsi?
Gambar 9.8 : Lingkaran dengan Pusat P(3, 2) dan r = 5
Alternatif Penyelesaian:
Berdasarkan permasalahan di atas maka persamaan lingkarannya adalah (x – 3) 2 + (y – 2) 2 = 25
Untuk desa Sukameriah dengan titik (0, –2)
Substitusikan titik (0, 5) pada persamaan lingkaran (x – 3) 2 + (y – 2) 2 = 25 kemudian periksa apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu simpulkan apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak.
Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 2
Untuk desa Simacem dengan titik (6, 3)
Substitusikan titik (6, 3) pada persamaan lingkaran (x – 3) 2 + (y – 2) 2 = 25 kemudian periksa apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu simpulkan apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak.
Untuk desa Ndeskati dengan titik (9, 7)
Substitusikan titik (9, 7) pada persamaan lingkaran (x – 3) 2 + (y – 2) 2 = 25 kemudian periksa apakah titik tersebut terletak di dalam lingkaran atau di luar lingkaran lalu simpulkan apakah desa tersebut perlu mengungsi atau tidak.
Definisi 9.3
1. Suatu titik A( v, w) terletak di dalam lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan
berjari-jari r jika (v – a) 2 +( w– b) 2 < r 2 .
2. Suatu titik A( v, w) terletak pada lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-
jari r jika (v – a) 2 +( w– b) 2 = r 2 .
3. Suatu titik A( v, w) terletak di luar lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-
jari r jika (v – a) 2 +( w– b) 2 > r 2 .
Contoh 9.7
Apakah titik
2 -titik berikut terletak di luar, di dalam, atau pada lingkaran x 2 +y – 8x + 6y + 20 = 0 ?
a. Q(–1, –1) c. S(0, 5)
b. R(2, –3) d. T(–4, 0)
Alternatif Penyelesaian:
Persamaan lingkaran x 2 +y 2 – 8x + 6y
+ 20 = 0 diubah menjadi bentuk baku
persamaan kuadrat menjadi (x – 4) 2 + (y
a. Q(–1, –1) disubstitusikan ke
persamaan (x – 4) 2 + (y + 3) 2 =5
diperoleh
>5 Titik Q(–1, –1) berada di luar Gambar 9.9 : Titik-titik yang terletak di luar, di dalam,
lingkaran (x – 4) 2 + (y + 3) 2 =5
atau pada lingkaran x 2 +y 2 – 8x + 6y + 20 = 0
Matematika Matematika
Titik R(2, –3) berada di dalam lingkaran (x – 4) 2 + (y + 3) 2 =5
c. S(4, –3) disubstitusikan ke persamaan (x – 4) 2 + (y + 3) 2 = 5 diperoleh
Titik S(4, –3) berada di dalam lingkaran (x – 4) 2 + (y + 3) 2 =5
d. T(2, –4) disubstitusikan ke persamaan (x – 4) 2 + (y + 3) 2 = 5 diperoleh
Titik T(2, –4) berada pada lingkaran (x – 4) 2 + (y + 3) 2 =5
Pertanyaan Kritis
Mengapa (pada contoh 9.7) untuk menentukan suatu titik terletak di luar, di dalam, atau pada lingkaran, persamaan lingkaran harus kita ubah ke bentuk baku persamaan lingkaran?