Kedudukan Garis terhadap Lingkaran

4. Kedudukan Garis terhadap Lingkaran

Masalah-9.6

Perhatikan gambar berikut ini

Gambar 9.10 : Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Gambar 9.10 merupakan kedudukan garis terhadap lingkaran. Berdasarkan gambar di atas, buatlah pendapatmu mengenai gambar tersebut!

Alternatif Penyelesaian:

Gambar 9.10 (i) merepresentasikan tentang sebuah garis yang memotong sebuah lingkaran di dua titik yang berlainan.

Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 2

Gambar 9.10 (ii) merepresentasikan tentang sebuah garis yang memotong sebuah lingkaran pada suatu titik atau dengan kata lain menyinggung lingkaran.

Gambar 9.10 (iii) merepresentasikan tentang sebuah garis yang tidak memotong sebuah lingkaran.

Contoh 9.8

Diberikan sebuah garis 2x + y = 2 dan lingkaran x 2 +y 2 = 9, selesaikanlah sistem persamaan linear-kuadrat tersebut! Kemudian tentukan nilai diskriminannya.

Alternatif Penyelesaian :

2x + y = 2 ................................................................................................................(1) x 2 +y 2 = 9 ................................................................................................................(2) digambarkan pada bidang Kartesius

akan diperoleh seperti gambar 9.11. Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh:

2 x +y 2 =5 ⇔x 2 + (2 – 2x) 2 =5

⇔x 2 + 4 – 8x + 4x 2 =5 ⇔ 5x 2 – 8x – 1 = 0

Sehingga selesaian dari sistem persamaan linear-kuadrat tersebut

adalah 5x 2 – 8x – 1 = 0, dengan nilai

2 2 2 2 Gambar 9.11: garis 2x + y = 2 dan lingkaran x +y diskriminan D = b =9 – 4ac = (–8) – 4(5)(–1) = 64 + 20 = 84

Contoh 9.9

Diberikan sebuah garis 2x + y = 5 dan lingkaran x 2 +y 2 = 5, selesaikanlah sistem persamaan linear-kuadrat tersebut! Kemudian tentukan nilai diskriminannya.

Matematika

Alternatif Penyelesaian:

2x + y = 5 ...............................................................................................................(1) x 2 +y 2 = 5 ...............................................................................................................(2) Digambarkan pada bidang kartesius akan diperoleh seperti gambar 9.12.

Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh:

2 x +y 2 =5 ⇔x 2 + (–2x + 5) 2 =5

⇔x 2 + 4x 2 – 20x + 25 – 5 = 0 ⇔ 5x 2 + 20x 2 + 20 = 0 ⇔x 2 + 4x + 4 = 0

Sehingga selesaian dari sistem persamaan linear-kuadrat tersebut

adalah x 2 + 4x + 4 = 0 dengan nilai

2 2 Gambar 9.12 : diskriminan D = b garis 2x + y = 5 dan – 4ac = (4) – 4(1)

lingkaran x 2 +y 2 =5

Contoh 9.10

Diberikan sebuah garis –x + y = 3 dan lingkaran x 2 +y 2 = 5 , selesaikan-lah sistem persamaan linear-kuadrat tersebut! Kemudian tentukan nilai diskriminannya.

Alternatif Penyelesaian:

–x + y = 3 .......................................(1)

x 2 +y 2 = 5.......................................(2) Digambarkan pada bidang kartesius

akan diperoleh seperti gambar 9.13. Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh:

2 x +y 2 =5 ⇔ x 2 + (3 + x) 2 =5

⇔ x 2 + 9 + 6x + x 2 =5

Gambar 9.13 garis –x + y = 3 dan lingkaran x 2 +y 2 =5

Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 2

⇔ 2x 2 + 6x + 4 = 0 ⇔ x 2 + 3x + 2 = 0 ⇔ (x + 2) (x + 1) = 0 ⇔ x = –2 atau x = –1

Sehingga selesaian dari sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah (–2, 1) dan

(–1, 2). Nilai diskriminan D = 3 2 –4.1 2 = 1.

Latihan 9.3

Diketahui sebuah garis x + y = 2 dan sebuah lingkaran x 2 +y 2 = 9 seperti yang disajikan pada gambar 9.14, kemudian tentukan persamaan kuadrat gabungan antara garis dan lingkaran, kemudian tentukan nilai diskriminannya.

Gambar 9.14 garis x + y = 2 dan sebuah lingkaran x 2 +y 2 =9

Latihan 9.4

Diketahui sebuah garis y = 3 dan sebuah lingkaran x 2 +y 2 = 9 seperti yang disajikan pada gambar 9.15, kemudian tentukan persamaan kuadrat gabungan antara garis dan lingkaran, kemudian tentukan nilai diskriminannya.

Gambar 9.15 garis y = 3 dan sebuah lingkaran x 2 +y 2 =9

Matematika

Latihan 9.5

Diketahui sebuah garis –x + y = 5 dan sbuah lingkaran x 2 +y 2 = 9 seperti yang disajikan pada gambar 9.16, kemudian tentukan persamaan kuadrat gabungan antara garis dan lingkaran, kemudian tentukan nilai diskriminannya.

Gambar 9.16 garis –x + y = 5 dan sbuah lingkaran x 2 +y 2 =9

Latihan 9.6

Berdasarkan penyelesaian Latihan 9.1, 9.2, dan 9.3 syarat apa yang harus dipenuhi agar garis memotong lingkaran di dua titik yang berlainan, garis menyinggung lingkaran, dan garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran?

Sifat 9.4

Misalkan g garis dengan persamaan y = ax + b dan L lingkaran dengan persamaan

x 2 +y 2 = r 2

Kedudukan garis g terhadap sebuah lingkaran ditentukan oleh nilai diskriminan D = (1 + 2 a ) 2 r –b 2 , yaitu:

(1) D>0 ⇔ garis g memotong lingkaran di dua titik yang berlainan (2) D=0 ⇔ garis g menyinggung lingkaran (3) D<0 ⇔ garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran

Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 2