22 v Jika terdapat x z, maka :
ïî ï
í ì
1 a
untuk a
a 1
a untuk
a a
z x
z x
2.29 Dapat dijelaskan bahwa bila a 1 maka grafik a
x
akan menanjak pada arah kanan Gambar 2.15a. Sedangkan bila a 1maka
grafiknya akan menurun kearah sebelah kanan Gambar 2.15b. y
y
x x 0 0
a b
Gambar 2.15 Fungsi eksponen e
x
Fungsi yang mempunyai bentuk e
x
disebut fungsi eksponen natural atau fungsi eksponen dengan basis e. Bilangan e adalah bilangan
irasional yang besarnya adalah 2,7182818… Persamaan eksponensial
Misal a 0 dan a ¹ 0. Jika :
ïî ï
í ì
¹ ¹
= =
z x
maka a
a z
x maka
a a
z x
z x
2.30
Contoh 2.28
Jika 27
x
= 4
x 3
2
- , tentukan harga x
Penyelesaian : 27
x
= 4
x 3
2
- ® 3
3
x
= 4
x 3
2
- ® 3
3x
= 4
x 3
2
- ® 3x = x
2
- 4 x
2
- 3x – 4 = 0 ® x-4x+1 = 0
Sehingga didapat : x
1
= 4 dan x
2
= -1 Contoh 2.29
Tentukan nilai basis a jika fx = a
x
melalui titik 2,9 Penyelesaian :
fx = a
x
® 9 = a
2
® 3
2
= a
2
Jadi a = 3
Soal-soal Tentukan nilai basis a jika fx = a
x
melalui titik : i 3,8 ii 5,
25 1
iii -8, 64
1 iv
81 1
, 4
1
2.2.7.2 Fungsi logaritma
Fungsi logaritma adalah fungsi yang didefinisikan sebagai invers dari fungsi eksponensial. Misal terdapat sebuah bilangan a0 dan a
¹ 1.
23 Untuk setiap bilangan positif y maka logaritma y dengan basis a
ditulis log
a
y adalah bilangan unik x sedemikian rupa sehingga a
x
=y. Jadi :
log
a
y = x Û y = a
x
2.31 dan dibaca “log y basis a sama dengan x jika dan hanya jika y sama
dengan a pangkat x”. Jika harga y pada persamaan 2.31 sama dengan satu maka harga x = 0. Jika harga y = a maka harga x = 1.
Jadi :
a
log 1 = 0 2.32
a
log a = 1 2.33
Contoh 2.30 Ubahlah persamaan yang mengandung eksponen berikut ini menjadi
bentuk logaritma a 10
3
b 625
14
Penyelesaian : a y = 10
3
Û
10
log y = 3 b y = 625
14
Û
625
log y = 14 Contoh 2.31
Hitung : a
2
log 32 b
16
log ¼ Penyelesaian :
a y=
2
log 32 ® 2
y
= 32 ® 2
y
= 2
5
. Jadi y = 5 b y=
16
log 14 ® 16
y
= 14 ®2
4 y
= 2
-2
® 2
4y
=2
-2
. Jadi y = -12 Seperti yang telah dijelaskan diatas untuk a0 dan a
¹ 1 fungsi logaritma dengan basis a adalah fungsi yang didefinisikan sebagai :
fx =
a
log x untuk x0. Jika kita tulis
a
log x =
a
log x, maka dari persamaan 2.31 didapat :
x log
a a
= x untuk x 0 2.34
Jika kita tulis persamaan a
x
= a
x
, maka dari persamaan 2.31 dapat ditulis menjadi :
a
log a
x
= x, untuk setiap bilangan x ril 2.35
Hukum-hukum logaritma : a
b
log PQ =
b
log P +
b
log Q c
b
log P
n
= n
b
log P
24 b
b
log Q
P =
b
log P -
b
log Q d
b
log
n
P = n
1
b
log P
Logaritma natural
Logaritma natural adalah logaritma yang mempunyai basis e. Logaritma natural ditulis sebagai :
e
log x = ln x 2.36
Soal-soal
1.
6
log
2
r mn
2.
e
log b
a 3.
a
log x
2
y
3 4
4.
b
log
4 5
2 3
z y
x ú
ú û
ù ê
ê ë
é
2.2.7.3 Fungsi trigonometri A. Pengukuran sudut
Sebelum kita mendefinisikan fungsi-fungsi trigonometri terlebih dahulu akan dibahas sudut dan pengukurannya. Sudut pada suatu
bidang dibentuk oleh perpotongan dua buah garis atau sisi yang terdiri dari sisi awal dan sisi ujung sudut. Titik potong antara
kedua garis tersebut disebut verteks sudut. Sebelum membahas
y sisi
ujung
a a
a a
x 0 sisi awal
Gambar 2.16 pengukuran sudut terlebih dahulu kita gambarkan sudut yang
terletak pada koordinat Kartesius lihat Gambar 2.16. Biasanya verteks sudut diletakkan berimpit dengan titik asal origin
sedangkan sisi awal berimpit dengan sumbu x. Sudut yang digambarkan dengan cara diatas disebut sudut dalam posisi
standar.
B. Sudut dalam satuan derajad Satuan derajad adalah salah satu ukuran sudut. Bila kita
melakukan pengukuran satu putaran penuh yang dimulai dari
25 sumbu x positif dengan arah yang berlawanan jarum jam, maka
besarnya sudut yang diukur adalah 360
o
. Gambar 2.17 adalah contoh pengukuran sudut-sudut 360
o
,
180
o
,
90
o
,
-90
o
.
y y
360
o
180
o
x x 0 0
y y
90
o
-90
o
Gambar 2.17 Contoh 2.32
Gambarkan sudut-sudut -270 dan 135
Penyelesaian : y
y 135
o
x -270
o
x 0 0
Gambar 2.18 C. Sudut dalam satuan radian
Perhatikan sebuah lingkaran yang mempunyai jari-jari r. Dua buah sisi yang mengapit sudut tertentu akan memotong
lingkaran dan akan menghasilkan panjang busur tertentu pula
26 lihat Gambar 2.19a.
Jika panjang busur = t maka sudut yang diapit oleh dua sisi yang memotong lingkaran adalah tr radian
. y
radian r
t r t
x
a y
2
p
r x
b Gambar 2.19
Selanjutnya perhatikan Gambar 2.19 b. Keliling lingkaran adalah 2
p
r
.
Berarti sudutnya satu putaran adalah 2
p
radian. Telah kita ketahui bahwa satu putaran sama dengan 360
o
.
Jadi 2
p
radian = 360
o
.
Selanjutnya didapat :
1 radian = 180
ú û
ù ê
ë é
p = 57
o
17
’
45
’’
2.37
t radian =
t .
180 ú
û ù
ê ë
é p
2.38
1
o
= ú
û ù
ê ë
é p
o
180 radian
2.39
q
o
= ú
û ù
ê ë
é q
p .
180
o
radian 2.40
27 Contoh 2.33
Ubah sudut 20
o
kedalam satuan radian Penyelesaian :
20
o
= ú
û ù
ê ë
é p 20
. 180
o
radian lihat persamaan 2.40 =
9 p
radian.
Contoh 2.34 Ubah sudut p6 radian kedalam satuan derajad
Penyelesaian :
p6 = 6
. 180
ú û
ù ê
ë é
p p
lihat persamaan 2.38 = 30
o
Soal-soal 1. Ubah sudut-sudut berikut kedalam satuan radian
a. 30
o
b. 45
o
c. 60
o
d. 75
o
2. Ubah sudut-sudut berikut kedalam satuan derajad a.
8 p
radian b. 4
p radian 45
o
c. 3
p radian d.
2 p
radian
D. Fungsi trigonometri sudut lancip
Fungsi trigonometri adalah fungsi yang mencakup fungsi-fungsi sinus, cosinus, tangent, cotangent, secant dan cosecant. Gambar
2.20 adalah sebuah segitiga siku-siku. Sisi a dan b adalah sisi siku-siku sedangkan c adalah sisi miring. Sudut q dan g adalah
sudut-sudut lancipnya. Jika kita perhatikan Gambar 2.20 maka kita dapat menyimpulkan bahwa
sisi-sisi siku-siku selalu terletak dihadapan sudut lancip. Sedangkan sisi miring selalu terletak
dihadapan sudut siku-siku . Jika kita tinjau salah satu sudut lancip
pada Gambar 2.20, dalam hal ini sudut q, maka sisi siku-siku b disebut juga sebagai sisi pembatas sudut q. Begitu juga jika kita
tinjau sudut g maka a disebut juga sisi pembatas sudut g.
g c
a q
b Gambar 2.20
28 Dengan mengacu pada penjelasan-penjelasan diatas selanjutnya
kita definisikan fungsi-fungsi trigonometri sebagai berikut : sin q =
c a
miring sisi
sudut dihadapan
sisi =
q 2.41a
cos q = c
b miring
sisi sudut
pembatas sisi
= q
2.41b tan q =
b a
sudut pembatas
sisi sudut
dihadapan sisi
= q
q 2.41c
cot q = a
b sudut
dihadapan sisi
sudut pembatas
sisi =
q q
2.41d sec q =
b c
sudut pembatas
sisi miring
sisi =
q 2.41e
csc q = a
c sudut
dihadapan sisi
miring sisi
= q
2.41f Dari persamaan 2.41a sd 2.41b dapat dibuat hubungan sbb. :
tan q = q
q cos
sin 2.42a
cot q = q
q tan
cos 2.42b
sec q = q
cos 1
2.42c csc q =
q sin
1 2.42d
Masih tetap mengacu pada Gambar 2.20 dan teorema Pythagoras :
c
2
= a
2
+ b
2
bagi semua ruas dengan c
2 2
2 2
2 2
2
c b
c a
c c
+ =
®
2 2
c b
c a
1 ú
û ù
ê ë
é +
ú û
ù ê
ë é
= subs. ke pers. 2.41a dan 2.41b
Didapat :
sin
2
q q
q q + cos
2
q q
q q = 1
2.43 Bagi persamaan 2.43 dengan cos
2
q didapat :
2 2
2 2
2
cos 1
cos cos
cos sin
= q
q +
q q
tan
2
q q
q q + 1 = sec
2
q q
q q
2.44 Jika persamaan 2.43 dibagi dengan sin
2
q didapat :
2 2
2 2
2
sin 1
sin cos
sin sin
= q
q +
q q
29
1 + cot
2
q q
q q = csc
2
q q
q q
2.45 Persamaan 2.42 sd 2.53 disebut identitas trigonometri
Contoh 2.35 Diketahui sebuah segitiga siku-siku terletak pada kuadran I. Jika
harga sin q = 45, tentukan nilai fungsi trigonometri lainnya Penyelesaian :
y
5 4
q x
0 x = ? Gambar 2.21
Dari trorema Pythagoras : 5
2
= x
2
+ x
2
® x =
2 2
4 5
- =3
Didapat : cos q = 35 ; tan q = 43 ; cot q = ¾ ; sec q = 53 ; csc q = 54
Soal-soal 1. Jika sebuah segitiga siku-siku terletak terletak pada kuadran
pertama, lengkapilah tabel berikut. Sudut
sin cos
tan cot
sec csc
a
2 1
b
5 2
q
7 6
g
2 3
2. Jika sebuah segitiga siku-siku terletak terletak pada kuadran kedua, lengkapilah tabel berikut.
Sudut sin
cos tan
cot sec
csc
a
5 3
b
5 1
-
30
q
3 2
-
g
5 4
-
E. Fungsi trigonometri sudut-sudut 30
o
, 45
o
dan 60
o
.
Untuk menentukan harga fungsi-fungsi trigonometri sudut 30
o
, 45
o
dan 60
o
pertama-tama kita gambarkan segitiga seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.21. Misal terdapat sebuah segitiga
siku-siku yang mempunyai sudut-sudut lancip 30
o
dan 60
o
serta panjang sisi miring 1 satuan Gambar 2.21a.
30 30
30 1
b 60
60 60
a a a a b
Gambar 2.21 Jika terdapat satu segitiga lainnya yang sama dan sebangun
dengan segitiga pertama dan diletakkan secara berdampingan maka akan terbentuk segitiga baru yang sama sisi lihat Gambar
2.21b. Selanjutnya didapat 2a = 1 atau a = ½. Untuk menghitung panjang sisi b kita gunakan teorema Pythagoras, yaitu :
1
2
= a
2
+ b
2
® b
2
= 1 – a
2
= 4
3 ® b =
4 3
= 3
2 1
Jadi : Sudut
sin cos
tan cot
sec csc
30 2
1 3
2 1
3 3
1 3
3 3
2 2
60 3
2 1
2 1
3 3
3 1
2 3
3 2
Untuk menentukan harga fungsi trigonometri sudut 45 terlebih
dahulu kita gambarkan sebuah segitiga siku-siku yang mempunyai 45
1 b
45
31 a
Gambar 2.22 sudut lancil masing - masing 45
. Untuk lebih jelasnya perhatikan Gambar 2.22 berikut. Telah diketahui bahwa setiap segitiga siku–
siku yang mempunyai sudut lancip masing-masing 45 disebut
segitiga sama kaki. Dengan kata lain panjang kedua sisi yang berhadapan dengan sudut 45
mempunyai panjang yang sama a = b . Dengan menggunakan teorema Pythagoras kita dapatkan
bahwa : Sudut
sin cos
tan cot
sec csc
45 2
1 2
1 1
1 2
2 Untuk sudut-sudut 0
dan 90 dapat dilihat pada tabel berikut.
Sudut sin
cos tan
cot sec
csc 1
¥ 1
¥ 90
1 ¥
¥ 1
F. Fungsi trigonometri untuk penjumlahan dua sudut
Untuk membahas fungsi trigonometri jumlah dua sudut perhatikan Gambar 2.22 berikut.
y P
L sin A cos B L sin A
L Q S
L cos A L sin A sin B
L cos A sin B A
B x
0 R T Gambar 2.22
32 sinA+B =
OP QR
PQ + =
L B
sin A
cos L
B cos
A sin
L +
sinA+B = sinA cosB + sinB cosA
2.46
cosA+B = OP
OR =
L B
sin A
sin L
B cos
A cos
L L
RT OT
- =
- cosA+B = cosA cosB - sinA sinB
2.47
tanA+B = B
A cos
B A
sin +
+ =
sinAsinB -
cosAcosB sinBcosA
cosB A
sin +
tanA+B = B
cos A
cos B
sin A
sin B
cos A
cos B
cos A
cos B
cos A
cos A
cos B
sin B
cos A
cos B
cos A
sin -
+
tanA+B = B
tan A
tan 1
B tan
A tan
- +
2.48 Untuk fungsi-fungsi trigonometri lainnya dapat dijabarkan
sendiri oleh mahasiswa. Fungsi trigonometri ini dapat digunakan untuk mencari harga fungsi trigonometri sudut
tumpul seperti 90
+
a
atau sudut tumpul lainnya.
Contoh 2.36 Tentukan harga sin 135
. Penyelesaian :
Sin 135 = sin90
+45 = sin 90
cos45 + sin45
cos90 = 1
2 2
1 +
2 2
1 0 =
2 2
1
G. Grafik fungsi trigonometri
y
1 -
p2 p
32p 2p
x
-2p
-
32 p -p p2
-1
33 Gambar 2.23
Grafik fungsi sinus
y
1 -
p
-
32 p -p -p2
p2 p
3
p2 p
x -1
Gambar 2.24 Grafik fungsi cosinus
y
-3p2 -p -p2 0 p2 p
3p2 x
Gambar 2.25 Grafik fungsi tangent
y
-3p2 -p -p2 0 p2 p
3p2 x
34 Gambar 2.26
Grafik fungsi cotangent y
1 -3p2 -p
-p2 0 p2 p 3p2 x
-1
Gambar 2.27 Grafik fungsi secant
y
2p -3p2 -p
-p2 0 p2 p 3p2 2p
1 x -1
Gambar 2.28 Grafik fungsi cosecant
35
Soal-soal 1. Tentukan nilai fungsi trigonometri lainnya jika :
a. sin
a
= 35 ; p2 a p b. cos
a
= -45 ; p a 3p2 c. tan
a
= - 2 ;3p2 a 2p d. cot
a
= 4 6 ; p a 3p2 e. sec
a
= -6 ; p2 a p f . csc
a
= 54 ; 0 a p2 2. Gambarkan grafik fungsi trigonometri berikut :
a. sin
a
+ ½ b. cos
a
- 12 c. sin
a -
p2 d. cos
a +
p2
H. Hukum sinus
Untuk membuktikan hukum sinus perhatikan Gambar 2.29 berikut.
C
gggg
E a
b k h
A D B
c
Gambar 2.29 Perhatikan segitiga BDC
® sin b = a
h ® h = a sin b
Perhatikan segitiga ADC ® sin a =
b h
® h = b sin a Dari dan didapat : a sin b = b sin a ®
b sin
a sin
b =
a Perhatikan segitiga AEC
® sin g = b
k ® k = b sin g
Perhatikan segitiga AEB ® sin b =
c k
® k = c sin b Dari dan didapat : b sin g = c sin b ®
b sin
c sin
b =
g Dari dan didapat :
= b
= a
b sin
a sin
c sin g
2.49 Persamaan 2.49 disebut
hukum Sinus. Soal-soal
Soal-soal berikut mengacu pada Gambar 2.29.
a a
a a
b b
b b
36 1. a = 60
o
; b = 50
o
dan b = 10 2. a = 70
o
; b = 45
o
dan c = 20 3. b = 30
o
; g = 115
o
dan c = 8 4. b = 35
o
; g = 125
o
dan c = 7 5. b = 25
o
; g = 40
o
dan a = 5
I. Hukum Cosinus
Untuk membuktikan hukum cosinushatikan Gambar 2.30 berikut.
C
gggg
E a
b k h
A D B
c
Gambar 2.30 Perhatikan segitiga ADC
® h = b sin a Perhatikan segitiga BDC
® CD
2
= BC
2
– BD
2
= BC
2
– AB - AD
2
h
2
= a
2
– c - b cos a
2
b
2
sin
2
a = a
2
– c
2
+ 2bc cos a - b
2
cos
2
a b
2
sin
2
a + b
2
cos
2
a = a
2
– c
2
+ 2bc cos a b
2
sin
2
a + cos
2
a = a
2
– c
2
+ 2bc cos a b
2
= a
2
– c
2
+ 2bc cos a Sehingga : a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc cos a atau cos a = bc
2 a
c b
2 2
2
- +
2.50 Perhatikan segitiga BDC
® h = a sin b Perhatikan segitiga ADC
® CD
2
= AC
2
– AD
2
= AC
2
– AB - BD
2
h
2
= b
2
– c - a cos b
2
a
2
sin
2
b = b
2
– c
2
+ 2ac cos b - a
2
cos
2
b a
2
sin
2
b + a
2
cos
2
b = b
2
– c
2
+ 2ac cos b a
2
sin
2
b + cos
2
b = b
2
– c
2
+ 2ac cos b a
2
= b
2
– c
2
+ 2ac cos b Sehingga : b
2
= a
2
+ c
2
– 2ac cos b atau cos b = ac
2 b
c a
2 2
2
- +
2.51 Perhatikan segitiga AEC
® k = b sin
g
Perhatikan segitiga AEB ® AE
2
= AB
2
– BE
2
= AB
2
– BC - CE
2
k
2
= c
2
– a - b cos
g
2
a a
a a
b b
b b
37 b
2
sin
2
a = c
2
– a
2
+ 2ab cos
g
- b
2
cos
2
g
b
2
sin
2
g
+ b
2
cos
2
g
= c
2
– a
2
+ 2ab cos
g
b
2
sin
2
g
+ cos
2
g
= c
2
– a
2
+ 2ab cos
g
b
2
= c
2
– a
2
+ 2ab cos
g
Sehingga : c
2
= a
2
+ b
2
- 2ab cos
g
atau cos
g
=
ab 2
c b
a
2 2
2
- +
2.52 Persamaan 2.50 sd s.52 adalah
hukum Cosinus.
Soal-soal 1. Dengan mengacu pada Gambar 2.30, tentukan besar sudut a, b dan g
jika panjang sisinya adalah : i a = 5 ; b = 7 ; c = 8
iv a = 7 ; b = 5 ; c = 4 ii a = 4 ; b = 8 ; c = 9
v a = 9 ; b = 4 ; c = 8 iii a = 6 ; b = 9 ; c = 7 vi a = 8 ; b = 6 ; c = 7
2. Dengan mengacu pada Gambar 2.30, tentukan luas segitiga jika diketahui :
i a = 45
o
; b = 5 ; c = 4 iii b = 120
o
; a = 6 ; c = 9 ii a = 60
o
; b = 9 ; c = 10 iv b = 90
o
; a = 8 ; c = 4
2.2.7.4 Fungsi trigonometri invers
