12
i. Fungsi kuadrat - Penyelesaian fungsi kuadrat dengan pemaktoran
Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan mempunyai bentuk umum :
y= fx = a
2
x
2
+ a
1
x + a atau y= fx = ax
2
+ bx + c 2.17 dengan a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril. Sedangkan x adalah
peubah bebas dan y peubah tak bebas. Grafik persamaan kuadrat pada persamaan 2.17 memotong sumbu x jika y =0. Sehingga
persamaan 2.17 menjadi : ax
2
+ bx + c = 0. Untuk menentukan titik potong persamaan kuadrat terhadap sumbu x pertama-tama
kita harus menentukan akar-akarnya. Pemaktoran adalah salah satu cara untuk menentukan akar-akar tersebut. Untuk memaktorkan
persamaan kuadrat pertama-tama kita tulis dalam bentuk :
ax
2
+ bx + c= ax
2
+ a
b x +
a c
= ax
2
+Bx+C, dimana B = ba dan C = ca. Memaktorkan x
2
+ a
b x +
a c
berarti menuliskannya dalam bentuk : x + mx+n, dimana mn = C dan m + n = B 2.18
Akar-akar dari persamaan 2.18 adalah : x
1
= -m dan x
2
= -n Contoh 2.18
Faktorkan persamaan kuadrat : x
2
+ x – 6 = 0 Penyelesaian :
B = 1 dan C = -6 mn = -6 dan m + n = 1. Didapat m = -2 dan n = 3
Jadi : x
2
+ x – 6 = x - 2x + 3. Sehingga akar-akarmya adalah : x
1
= 2 dan x
2
= -3 Contoh 2.19
Faktorkan persamaan kuadrat : x
2
-4x – 12 = 0 Penyelesaian :
B = -4 dan C = -12 mn = -12 dan m + n = -4. Didapat m = -6 dan n = 2
Jadi : x
2
+ x – 6 = x - 6x + 2. Sehingga akar-akarmya adalah : x
1
= 6 dan x
2
= -2
- Penyelesaian fungsi kuadrat dengan menggunakan rumus kuadrat.
Dari penjelasan sebelumnya telah diketahui bahwa persamaan kuadrat yang memotong sumbu x mempunyai bentuk umum ax
2
+ bx + c = 0 dengan x
Î bilangan ril, atau dapat ditulis dalam bentuk : ax
2
+ a
b x + c = ax
2
+ a
b x +
2 2
a 4
b -
a 4
b
2
+ c = 0
13 ax +
a 2
b
2
= a
4 b
2
- c ® x +
a 2
b
2
=
2 2
a 4
b -
a c
x + a
2 b
= a
c a
4 b
2 2
- ±
=
2 2
2
a 4
ac 4
a 4
b -
± =
ac 4
b a
2 1
2
- ±
x = a
2 b
- ac
4 b
a 2
1
2
- ±
= a
2 ac
4 b
b
2
- ±
- atau :
x
1
= a
2 ac
4 b
b
2
- +
- ; x
2
= a
2 ac
4 b
b
2
- -
- 2.19
Persamaan 2.19 adalah persamaan kuadrat. Persamaan tersebut digunakan untuk menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat.
Besaran b
2
– 4ac disebut diskriminan atau disingkat D.
Contoh 2.20 Tentukan akar-akar dari persamaan : x
2
+ 4x - 21 = 0 dengan menggunakan persamaan kuadrat
Penyelesaian : Dari persamaan diketahui bahwa : a = 1 ; b = 4 ; c = -21
x
1
= a
2 ac
4 b
b
2
- +
- =
3 2
10 4
1 2
21 1
4 4
4
2
= +
- =
- -
+ -
x
2
= a
2 ac
4 b
b
2
- -
- =
7 2
10 4
1 2
21 1
4 4
4
2
- =
- -
= -
- -
-
- Grafik fungsi kuadrat.
Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan bentuknya adalah : y = ax
2
+ bx + c, dimana a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril, a
¹ 0, x adalah peubah bebas dan y peubah tak bebas. Grafik persamaan kuadrat dapat membuka keatas atau kebawah
tergantung dari nilai a. Jika nilai a 0 maka grafik akan membuka keatas. Jika a 0 maka grafik akan membuka kebawah. Pada grafik
persamaan kuadrat kita mengenal beberapa istilah penting yaitu :
i Verteks
Verteks adalah titik ekstrim maksimum ataupun minimum dari suatu parabola. Jika nilai a para persamaan kuadrat lebih kecil dari
nol negatif maka verteks merupakan titik maksimum. Jika a lebih besar dari nol positif maka verteks merupakan titik minimum.
Titik koordinat verteks adalah Vh,k, dimana :
h =
a b
2 -
dan k = c - a
4 b
2
2.20
ii Sumbu simetri
Sumbu simetri adalah garis yang membagi parabola menjadi dua bagian yang sama. Sumbu simetri adalah :
x = h =
a b
2 -
2.21
14
iii Titik potong dengan sumbu x
Untuk menentukan apakah sebuah parabola memotong sumbu x atau tidak, kita perlu memeriksa harga
diskriminan. Jika diskriminan D = 0 maka parabola tidak memotong sumbu x tetapi verteksnya hanya menyinggung
sumbu x. Jika D 0 parabola tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu x. Jika D 0 maka parabola
memotong sumbu x pada x
1
dan x
2
.
iv Titik potong dengan sumbu y
Titik potong dengan sumbu y pada y = c
Contoh 2.21 Diketahui fungsi kuadrat y=fx = -x
2
+ 5x -6 Tentukan : verteks, sumbu simetri, titik potong dengan sumbu x dan y
Penyelesaian : Dari soal siketahui : a = -1, b = 5 dan c = -6
h = a
2 b
- = -
2 5
2 5
= -
; k = c - a
4 b
2
= -6 - 1
4 5
2
- = -6+
4 25
= 4
1 Verteks = Vh,k = V
2 5
, 4
1 . Sumbu simetri x = h =
2 5
Titik potong dengan sumbu x ® y = 0
-x
2
+ 5x -6 = -x-3x-2 = 0 ® x
1
= 3 dan x
2
= 2 Jadi parabola memotong sumbu x pada x =2 dan x = 3
Titik potong dengan sumbu y ® x = 0. Didapat :y = -6
Jadi parabola memotong sumbu y pada y = -6. Parabola membuka keatas karena a 0
y x = 52
14 x
0 2 3
-6 sumbu
simetri Gambar 2.12
15
Soal-soal 12 Juli 2010 Tentukan : verteks, sumbu simetri, titik potong dengan sumbu x dan y
dari fungsi kuadrat berikut ini
1. y = -5x
2
3. y = 3
2 x
2
– 2x 5. y = x
2
– 3x -4 2. y=
2 1
x + 2
2
4. y =2x
2
+ 4x + 5 6. y =
5 4
x
2
– 7
j. Fungsi pangkat tinggi
Kategori