Lebih Jauh tentang ‘Frame’
18. Lebih Jauh tentang ‘Frame’
Materi pada bab ini juga disadur dari buku ”Ten Lectures on Wavelets” karangan
I. Daubechies (SIAM, 1992).
18.1 Operator frame Misalkan H ruang Hilbert dan {φ j } j∈J suatu frame di H, yakni terdapat A, B ∈ R
dengan 0 < A ≤ B < ∞ sedemikian sehingga
Akfk ≤
|hf, φ j i| ≤ Bkfk ,
f ∈ H.
j∈J
Kita definisikan operator frame F sebagai berikut: Operator F yang memetakan setiap fungsi f ∈ H ke barisan (hf, φ 2
j i) j∈J ∈l (J), yakni F : f 7→ F f dengan (F f ) j = hf, φ j i, j ∈ J,
disebut operator frame pada H. Misalkan F suatu operator frame pada H. Jelas bahwa F merupakan operator linear. F juga terbatas dengan k|F |k ≤ B 1/2 , karena
kF fk =
|hf, φ j i| ≤ Bkfk ,
f ∈ H.
j∈J
(Di sini k|F |k menyatakan norma operator F , yang nilainya sama dengan konstanta C terkecil yang memenuhi kF fk ≤ Ckfk, f ∈ H.) Selanjutnya, operator adjoint F , yakni
F ∗ , dapat diperoleh sebagai berikut. Misalkan c = (c
2 j )∈l (J). Maka
c j hφ j ,fi=h
c j φ j ,fi
j∈J
j∈J
117 Jadi, F ∗
Analisis Fourier dan Wavelet
P c=
, setidaknya secara lemah. Selanjutnya, mengingat k|F ∗ |k = k|F |k (lihat Kreyszig) dan k|F |k ≤ B 1/2 , kita peroleh
j∈J c j φ j
kF 2 ck = k|F |k kck = k|F |k kck ≤ B kck, c∈l (J).
Sekarang tinjau operator F ∗
F , yang bekerja pada H sebagai berikut: ∗ Ff=F ∗
F (hf, φ j i) =
Teorema A. Misalkan I menyatakan operator identitas pada H. Maka,
AI ≤ F ∗
F ≤ BI,
sehingga F ∗
F mempunyai invers, dan
Bukti. Untuk setiap f ∈ H, kita mempunyai
|hf, φ j i| = kF fk = hF f, F fi = hF
F f, f i,
j∈J
oleh karena itu,
AI ≤ F ∗
F ≤ BI.
Selanjutnya, karena A > 0, maka F ∗
F mempunyai invers, dan
(lihat Daubechies untuk detilnya). [QED]
18.2 Frame dual Keluarga { ˜ φ j } j∈J , dengan
φ ˜ j = (F ∗ F) −1 φ j , j ∈ J,
disebut frame dual dari {φ j } j∈J .
118 Hendra Gunawan
Teorema di bawah ini menunjukkan bahwa { ˜ φ j } j∈J sungguh membentuk frame. Teorema B. { ˜ −1 φ j
} −1 j∈J merupakan frame dengan batas frame B dan A . Bukti. Jelas bahwa F ∗
F self-adjoint, sehingga (F ∗ F) −1 ∗ = (F ∗ F) −1 . Akibatnya, untuk setiap f ∈ H, kita mempunyai
hf, ˜ ∗ i = hf, (F F) −1 φ j
i = h(F ∗ F) −1 f, φ j i.
Sekarang perhatikan bahwa
|h(F F)
Jadi, mengingat B −1
I ≤ (F −1 F)
≤A −1
I, kita peroleh
B kfk ≤
|hf, ˜ φ j
sesuai dengan yang diharapkan. [QED] Teorema C. Operator frame ˜ F yang memetakan setiap fungsi f ∈ H ke barisan
(hf, ˜ 2 φ j i) j∈J di l (J) memenuhi (a) ˜ F = F (F ∗ F) −1 ; (b) ˜ F ∗ ˜ F = (F ∗ F) −1 ; (c) ˜ F ∗ F=I=F ∗ F; ˜
(d) ˜ FF ∗ =F˜ F ∗ merupakan operator proyeksi ortogonal terhadap R(F ) = R( ˜ F ) di l 2 (J).
Bukti. Latihan.
18.3 Skema rekonstruksi
Perhatikan bahwa ˜ F ∗ F=I=F ∗ ˜ F berarti
F ˜ ∗ Ff=f=F ∗ ˜ F f,
f ∈ H,
119 yakni
Analisis Fourier dan Wavelet
Ini berarti kita dapat merekonstruksi f dari (hf, φ j i) melalui kesamaan
2 Jika A ≈ B, maka F 2 F≈ I, sehingga (F ∗ F) −1
untuk setiap j ∈ J. Oleh karena itu, f ≈ A+B j∈J
hf, φ j iφ j . Tepatnya,
Mengingat AI ≤ F ∗
F ≤ BI, kita peroleh
|kE|k ≤
B+A
2+r
hf, φ j iφ j , maka kesalahan maksimumnya adalah r
dengan r = A −1 > 0. Jadi, jika kita menghampiri f dengan A+B j∈J
2+r kfk.
Untuk memperoleh hampiran yang lebih baik, kita amati lebih lanjut bahwa F ∗ F=
2 (I − E), sehingga (F F) = A+B (I − E) . Karena |kE|k = 2+r < 1, maka P ∞
n=0 E n = (I − E) −1 . (Di sini E 0 = I.) Jadi, untuk setiap j ∈ J, kita mempunyai
n=0 E k
konvergen dalam norma dan
dan karena itu
f= n hf, φ
A+B
j∈J
n=0
120 Hendra Gunawan
Hampiran yang lebih baik dapat diperoleh melalui
untuk suatu N ∈ {0, 1, 2, . . .} yang cukup besar. Suatu algoritma rekonstruksi f dapat diperoleh dengan menuliskan
Jadi, f dapat direkonstruksi secara iteratif, mulai dengan
dan seterusnya, sampai memenuhi ketelitian yang diinginkan. Kesalahan maksimumnya diberikan oleh teorema di bawah ini.
2 P N Teorema D. Untuk setiap j ∈ J dan N ∈ {0, 1, 2, . . .}, tulis ˜ φ N j = A+B n=0 E n φ j .
Bukti. Latihan.
Analisis Fourier dan Wavelet
121
18.4 Soal latihan
1. Buktikan Teorema C pada §18.2.
2. Tunjukkan bahwa frame dual dari { ˜ φ j } j∈J adalah {φ j } j∈J .
3. Buktikan Teorema D pada §18.3.
122 Hendra Gunawan