Teorema Inversi Fourier dan Transformasi Fourier di 2 L (R)

12. Teorema Inversi Fourier dan Transformasi Fourier di 2 L (R)

12.1 Teorema Inversi Fourier Dari hasil hitung-hitungan kasar di awal Bab 10, kita ingin membuktikan bahwa,

dalam kondisi tertentu, kita mempunyai

f (x) = iξx b f (ξ)e dξ = ( b f )ˇ(x),

untuk (hampir) setiap x ∈ R. Melalui kesamaan inilah kita dapat memperoleh f kembali dari b f . Tetapi kapankah kesamaan ini berlaku?

Teorema A (Teorema Inversi Fourier). Misalkan f ∈ L 1 , kontinu bagian demi bagian, dan b 1 f∈L . Maka f kontinu dan

b f (x) = iξx f (ξ)e dξ, 2π −∞

untuk setiap x ∈ R.

1 2 Bukti. Misalkan φ(x) := ∞

dan φ ǫ (x) := ǫ φ ǫ . Maka −∞ φ(x) dx = 1, sehingga menurut Tereoma 11-E, f ∗ φ 1

e −x /2

ǫ (x) → 2 [f (x−) + f(x+)] untuk setiap x ∈ R.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa f ∗φ iξx

b −∞ f (ξ)e dξ untuk setiap x ∈ R. Untuk itu, perhatikan bahwa untuk setiap x ∈ R kita mempunyai

ǫ (x) → 2π

f∗φ ǫ2 ξ2 ǫ (x) =

f (y)e − 2 √ ǫ

b f (ξ)e e − 2 dξ,

− 2 √ iξ(x−y) Fe (y − x) = √ e e dξ.

2 − 2 Sekarang jika ǫ → 0, maka e iξx → 1; sehingga b f (ξ)e e →b f (ξ)e untuk setiap ξ ∈ R. Selain itu, untuk setiap ǫ > 0, kita mempunyai

f (ξ)e ǫ2 ξ2 e −

2 f (ξ)|,

77 untuk setiap ξ ∈ R. Karena b 1 f∈L , maka menurut Teorema Kekonvergenan Terdomi- nasi Lebesgue,

Analisis Fourier dan Wavelet

f∗φ iξx

ǫ (x) →

b f (x)e dξ,

dan ini berlaku untuk setiap x ∈ R. Jadi, karena limit itu tunggal, kita peroleh

f (x)e dξ = [f (x−) + f(x+)].

b iξx

Namun, integral di ruas kiri tak lain adalah transformasi Fourier dari b f yang dihitung di −x. Karena itu ia merupakan fungsi yang kontinu, sehingga f mestilah kontinu dan

f (x) = [f (x−) + f(x+)] =

b f (ξ)e iξx dx,

sebagaimana yang diharapkan. [QED] Akibat B. Misal f, g ∈ L 1 dengan b

f , bg ∈ L 1 . Jika b f = bg, maka f = g. Bukti. Jika b f = bg, maka (f − g)b = 0. Akibatnya,

(f − g)(x) = iξx (f − g)b(ξ)e dξ =

untuk setiap x ∈ R. [QED] Catatan . (1) Teorema Inversi Fourier memberitahu kita bahwa transformasi Fourier mempunyai invers, yang kita sebut transformasi Fourier invers. Jika transformasi Fourier kita lambangkan dengan F, maka transformasi Fourier invers dilambangkan

dengan F −1 . Jadi, jika Ff = b f , maka f = F f=(b b f )ˇ.

(2) Terdapat banyak fungsi f ∈ L 1 yang mempunyai transformasi Fourier b f di L 1 . Se- bagai contoh, jika f 2 ′′ ada, f ′ dan f ′′ terintegralkan, maka (f ′′ )b(ξ) = −ξ b f (ξ) terbatas,

C sehingga | b 1 f (ξ)| ≤ 1+ξ 2 dan karena itu b f∈L . Perhatikan pula bahwa dalam hal ini f dan b 2 f terbatas dan kontinu, sehingga keduanya merupakan fungsi di L .

Teorema berikut menyatakan bahwa fungsi f dapat diperoleh kembali dari trans- formasi Fourier invers via nilai utama-nya.

Teorema C. Jika f terintegralkan dan mulus bagian demi bagian pada R, maka

lim

b f (ξ)e iξx dξ = [f (x−) + f(x+)],

T →∞ 2π −T

78 Hendra Gunawan

untuk setiap x ∈ R. Bukti. Lihat Folland, hal. 220-221.

12.2 Transformasi Fourier di L 2 Kita telah membahas transformasi Fourier di L 1 , namun, berdasarkan pengalaman

1 dengan deret Fourier, ruang L 2 semestinya berperan juga. Perhatikan jika f, g ∈ L ∩L

1 sedemikian sehingga b 2 f , bg ∈ L ∩L , maka Z

ZZ

2πhf, gi = 2π

f (x)g(x) dx =

f (x)e −iξx bg(ξ)dxdξ =

b f (ξ)bg(ξ) dξ = h b f , bgi.

2 Khususnya, jika f = g, maka kita peroleh kesamaan Plancherel k b 2 fk

2 = 2πkfk 2 .

1 2 Dengan menggunakan fakta bahwa L 2 ∩L padat di L , transformasi Fourier dari

fungsi f ∈ L 2 dapat didefinisikan sebagai limit dari suatu barisan b f n (dalam norm L ),

1 2 dengan f 2 n ∈L ∩L dan f n → f (n → ∞) dalam norm L . Semua ini dapat dilakukan sebagaimana dijamin oleh teorema berikut: Teorema D. Misalkan f ∈ L 2 . Untuk n ∈ N, definisikan f

n =χ [−n,n] f , yakni

f (x), jika |x| ≤ n,

f n (x) =

jika |x| > n.

1 2 Maka, f 2 n ∈L ∩L dan b f n ∈L , untuk setiap n ∈ N. Lebih jauh, f n → f (n → ∞) dalam norm L 2 dan ( b f n ) konvergen (dalam norma L 2 ) ke suatu fungsi di L 2 .

Bukti. Menurut ketaksamaan Holder, untuk setiap n ∈ N, kita mempunyai

|f n (x)| dx =

|f(x)| dx

|f(x)| dx

Jadi, f 2 n ∈L . Kemudian mengingat |f n (x)| ≤ |f(x)|, kita peroleh pula f n ∈L . Dengan demikian, f

2 n ∈L ∩L dan, menurut kesamaan Plancherel, b f n ∈L . Perhatikan bahwa f n (x) → f(x) (n → ∞) titik demi titik. Berdasarkan Teorema Kekonvergenan Monoton,

2 lim 2 |f

n (x)| dx =

|f(x)| dx,

n→∞ −∞

79 yakni, f 2

Analisis Fourier dan Wavelet

n → f (n → ∞) dalam norma L . Selanjutnya akan kita tunjukkan bahwa ( b f n ) konvergen (dalam norma L 2 ) ke su-

2 atu fungsi di L 2 . Mengingat L lengkap, cukup kita tunjukkan bahwa k b f m −b f n k 2 →

1 0 (m, n → ∞). Namun b 2 f m −b f n adalah transformasi Fourier dari f m −f n ∈L ∩L . Karena itu, menurut kesamaan Plancherel,

2 2 hZ

−m

kb f m −b f n k 2 = 2πkf m −f n k 2 = 2π

|f(x)| dx +

|f(x)| dx → 0,

−n

apabila m, n → ∞. Ini mengakhiri pembuktian. [QED] Dengan pengamatan di atas, kita definisikan transformasi Fourier dari f ∈ L 2 sebagai

b f = lim f b n

n→∞

(dalam norm L 2 ), di mana f n =χ [−n,n] f, n ∈ N. Catatan

. (1) Jika f ∈ L 2 dan f n =χ [−n,n] f, n ∈ N, maka definisi di atas mengatakan bahwa lim 2 kb f−b f

n k 2 = 0. Mengingat b f didefinisikan hanya sebagai anggota L , fungsi

n→∞

1 f (x) hanya terdefinisi hampir di mana-mana. Selanjutnya, jika f ∈ L 2 ∩L , maka sekarang kita mempunyai dua definisi untuk b f . Namun, kedua definisi ini konsisten

karena limit dalam norma L 2 mestilah sama dengan limit titik demi titiknya. (2) Demikian pula, definisi di atas tidak bergantung pada pemilihan barisan fungsi (f n )

yang konvergen ke f dalam norm L 2 . Andaikan anda menggunakan barisan fungsi (g n ) yang konvergen ke f dalam norm L 2 dan mendefinisikan bg := lim bg

n , maka

n→∞

2 kb 2 f

n − bg n k 2 = 2πkf n −g n k 2 → 0.

Akibatnya lim f b n = lim bg n .

n→∞

n→∞

Teorema E (Kesamaan Plancherel). Jika f ∈ L 2 , maka k b fk

2 = 2πkfk 2 . Bukti. Latihan.

Teorema F (Kesamaan Plancherel). Jika f, g ∈ L 2 , maka h b f , bgi = 2πhf, gi. Bukti. Latihan.

80 Hendra Gunawan

2 Teorema G (Inversi Fourier di L 2 ). Jika f ∈ L , maka

b f (ξ)e dξ − f(x)

Bukti. Lihat Rudin, hal. 186-187.

12.3 Soal Latihan

1. Buktikan Kesamaan Plancherel (yang dinyatakan dalam dua teorema sebelum teo- rema terakhir).

2. Diketahui a > 0. Buktikan secara langsung bahwa F[e 2a ](ξ) = ξ 2 +a 2 dan kemu- dian degan menggunakan Teoema Inversi Fourier tunjukkan bahwa F 1

−a|x|

x 2 +a 2 (ξ) = π e −a|ξ|

a 3. Untuk a > 0, definisikan f sin ax

a (x) := π(x 2 +a 2 ) dan g a (x) := πx . Buktikan bahwa

f a ∗f b =f a+b dan g a ∗g b =g min{a,b} .

4. Misalkan f kontinu dan mulus bagian demi bagian, f ∈ L 2 , dan f ′ ∈L 2 . Buktikan bahwa b 1 f∈L .

Analisis Fourier dan Wavelet