Analisis Multi-Resolusi

16. Analisis Multi-Resolusi

Sifat mendasar dari basis ortonormal yang dibangun oleh sebuah wavelet adalah sifat multi-resolusi-nya, sehingga kita dapat menganalisis suatu signal pada berbagai frekuensi di suatu lokasi tertentu.

Di bawah ini kita akan membahas apa yang dimaksud dengan analisis multi-resolusi dan bagaimana mengkontruksi sebuah wavelet dari suatu analisis multi-resolusi.

16.1 Analisis Multi-Resolusi Keluarga subruang tertutup {V 2

j : j ∈ Z} dari L (R) yang memenuhi (a) V j ⊂V j+1 untuk setiap j ∈ Z; (b) f ∈ V j ⇔ f(2·) ∈ V j+1 untuk setiap j ∈ Z;

\ (c)

V j = {0}; j∈Z [ (d) 2 V

j =L (R);

j∈Z

(e) terdapat φ ∈ V 0 sedemikian sehingga {φ(·−k) : k ∈ Z} merupakan basis ortonormal untuk V 0 , disebut analisis multi-resolusi (AMR) pada L 2 (R). Fungsi φ pada (e) disebut fungsi

skala dalam AMR tersebut. Contoh 1. Misalkan V 2

(R) : f konstan pada [2 := {f ∈ L −j k, 2 −j (k + 1)), k ∈ Z}, j ∈ Z. Maka, {V j : j ∈ Z} memenuhi sifat (a) s/d (d) di atas. Sekarang misalkan φ := χ [0,1] . Maka, {φ(· − k) : k ∈ Z} membentuk basis ortonormal untuk V 0 . Oleh

karena itu, {V 2 j : j ∈ Z} merupakan suatu AMR pada L (R).

100 Hendra Gunawan

Untuk ilustrasi, fungsi f ∈ V 0 berbentuk seperti — misalnya:

Gambar 16.1: Sebuah fungsi di V 0

Teorema A. Misalkan {V 2 j : j ∈ Z} suatu AMR pada L (R). Maka, (i) Untuk setiap j ∈ Z, f ∈ V j

0 ⇔ f(2 ·) ∈ V j ;

(ii) Untuk setiap k ∈ Z, f ∈ V 0 ⇒ f(· − k) ∈ V 0 ;

(iii) Untuk setiap j, k ∈ Z, f ∈ V j

⇒ f(· − 2 −j k) ∈ V j ;

(iv) Untuk setiap j, k ∈ Z, f ∈ V j

0 ⇒ f(2 · −k) ∈ V j .

Bukti. (i) Gunakan sifat (b) dan induksi.

(ii) Misalkan f ∈ V 0 dan k ∈ Z. Maka, berdasarkan sifat (e),

f (x) =

hf, φ(· − m)iφ(x − m),

m∈Z

dan karenanya

f (x − k) =

hf, φ(· − m)iφ(x − k − m).

m∈Z

Namun, hf, φ(· − m)i = hf(· − k), φ(· − k − m)i. Akibatnya,

f (x − k) = hf(· − k), φ(· − k − m)iφ(x − k − m) ∈ V 0

m∈Z

karena {φ(· − m) : m ∈ Z} = {φ(· − k − m) : m ∈ Z} basis ortonormal untuk V 0 . (iii) Gunakan (i) dan (ii).

(iv) Gunakan (i) dan (iii). [QED] Akibat B. Misalkan {V 2

j : j ∈ Z} suatu AMR pada L (R) dan φ ∈ V 0 fungsi skala dalam AMR tersebut. Definisikan

j,k (x) := 2 φ(2 x − k), j, k ∈ Z.

j/2

Maka, untuk setiap j ∈ Z, {φ j,k : k ∈ Z} merupakan basis ortonormal untuk V j .

101 Bukti. Misalkan j ∈ Z. Maka, {φ j,k : k ∈ Z} merupakan himpunan ortonormal, karena

Analisis Fourier dan Wavelet

hφ j j,k ,φ j,m i=2

φ(2 x − k)φ(2 x − m)dx =

φ(x − k)φ(x − m)dx = δ k,m .

Selanjutnya, misalkan f ∈ V j . Maka, f (2 −j ·) ∈ V 0 , dan karenanya

f (2 x) =

−j

hf(2 −j ·), φ(· − k)iφ(x − k).

k∈Z

Substitusi x ′ =2 −j x memberikan

Ini membuktikan bahwa {φ j,k : k ∈ Z} lengkap. Dengan demikian {φ j,k : k ∈ Z} merupakan basis ortonormal untuk V j . [QED]

16.2 Konstruksi wavelet Misalkan {V 2

j : j ∈ Z} suatu AMR pada L (R). Misalkan W 0 komplemen ortogo-

nal dari V 0 relatif terhadap V 1 , sehingga

V 1 =V 0 ⊕W 0 .

Kemudian, untuk setiap j ∈ Z, definisikan

j := {f(2 ·) : f ∈ W 0 }.

Maka,

V j+1 =V j ⊕W j , j ∈ Z.

Karena V j → {0} untuk j → −∞, kita peroleh

dan karena V

2 j →L (R) untuk j → ∞, kita peroleh

L (R) =

n=−∞

102 Hendra Gunawan

Untuk memperoleh wavelet, kita harus mencari ψ ∈ W 0 sedemikian sehingga {ψ(·− k) : k ∈ Z} merupakan basis ortonormal untuk W 0 . Selanjutnya dapat diperiksa bahwa

untuk setiap j ∈ Z, {2 j ψ(2 · −k) : k ∈ Z} membentuk basis ortonormal untuk W j . Dengan demikian, {ψ 2

j/2

j,k : j, k ∈ Z} merupakan basis ortonormal untuk L (R) atau ψ adalah wavelet yang diinginkan.

Contoh 2. Melanjutkan Contoh 1, wavelet ψ yang kita cari adalah

  1 1, jika 0 ≤ x <

 0, jika x < 0 atau x ≥ 1.

Periksa bahwa φ ⊥ ψ dan {ψ(· − k) : k ∈ Z} merupakan basis ortonormal untuk W 0 . Basis yang dibangun oleh ψ tak lain adalah basis Haar yang dibahas pada Bab 10.

16.3 Wavelet bertumpuan kompak dan kemulusannya Wavelet Haar merupakan sebuah contoh wavelet yang mempunyai tumpuan kom-

pak, yakni [0, 1]. Pada pasal ini kita akan melihat bahwa wavelet bertumpuan kompak tak mungkin merupakan fungsi C ∞ ; semulus-mulusnya ia hanya dapat merupakan fungsi di C n untuk suatu n yang terhingga.

Teorema C. Misalkan ψ kontinu pada R dan memenuhi

|ψ(x)| ≤

(1 + |x|) 1+ǫ

untuk suatu ǫ > 0. Jika {ψ 2 j,k : j, k ∈ Z} ortonormal di L (R), maka

Z ψ(x) dx = 0.

Bukti. Misalkan a := 2 −j ◦ k ◦ , suatu bilangan diadik, sedemikian sehingga ψ(a) 6= 0. [Karena kψk 2 = 1 dan ψ kontinu, bilangan a demikian dijamin ada.] Berdasarkan

hipotesis, kita mempunyai

Z ψ(x)ψ(2 j x − k)dx = 0, (j, k) 6= (0, 0).

Dengan mengambil k := 2 j−j ◦ k ◦ dengan j > maks{j ◦ , 0}, kesamaan di atas menjadi

Z ψ(x)ψ(2 j (x − a))dx = 0.

103 Sekarang misalkan y := 2 j (x − a). Maka

Analisis Fourier dan Wavelet

Z ψ(a + 2 −j y)ψ(y)dy = 0.

Berdasarkan Teorema Kekonvergenan Terdominasi Lebesgue, integral di ruas kiri me R

nuju ψ(a) R ψ(y)dy bila j → ∞, sehingga kita peroleh

Z ψ(y)dy = 0

karena ψ(a) 6= 0. [QED] Catatan. Teorema di atas dapat diperluas dengan menghapuskan asumsi bahwa ψ

kontinu, namun buktinya lebih rumit. Lihat buku Hernandez & Weiss, Proposisi 3.6. Teorema D. Misalkan r suatu bilangan bulat tak negatif dan ψ sebuah fungsi di C r (R)

sedemikian sehingga

|ψ(x)| ≤

(1 + |x|) r+1+ǫ

untuk suatu ǫ > 0, dan ψ (m) terbatas pada R untuk m = 0, 1, . . . , r. Jika {ψ j,k : j, k ∈ Z} ortonormal di L 2 (R), maka

Z x m ψ(x) dx = 0,

yakni, momen ke-m dari ψ bernilai 0, untuk m = 0, 1, . . . , r. Bukti. Lihat buku Hernandez & Weiss. Akibat E. Misalkan ψ ∈ L 2 (R) sebuah fungsi Schwartz sedemikian sehingga {ψ

j,k : j, k ∈ Z} merupakan himpunan ortonormal di L 2 (R). Maka semua momen dari ψ

d m bernilai 0 atau, setara dengan itu, ψ b dξ m (0) = 0 untuk setiap m = 0, 1, 2, . . .. Bukti. Jelas, karena setiap fungsi Schwartz merupakan fungsi C ∞ dan memenuhi

ketaksamaan pada teorema di atas untuk setiap bilangan bulat tak negatif r, dan

m R m (0) = (−2πi) R x ψ(x) dx untuk setiap m = 0, 1, 2, . . .. [QED]

dξ m

Akibat F. Misalkan ψ ∈ L 2 (R) sebuah fungsi bertumpuan kompak sedemikian se- hingga C ∞ . Maka {ψ j,k : j, k ∈ Z} tidak mungkin merupakan himpunan ortonormal

di L 2 (R).

104 Hendra Gunawan

Bukti. Jika {ψ 2 j,k : j, k ∈ Z} merupakan himpunan ortonormal di L (R), maka menurut teorema di atas semua momen dari ψ bernilai 0. Karena itu untuk semua polinom p(x), kita mempunyai

Z p(x)ψ(x) dx = 0.

Karena ψ bertumpuan kompak, diberikan ǫ > 0 kita dapat menemukan suatu polinom p(x) sedemikian sehingga sup x∈K |ψ(x) − p(x)| < ǫ, dengan K menyatakan tumpuan ψ (berdasarkan Teorema Aproksimasi Weierstrass). Akibatnya

kψk 2 =

ψ(x)ψ(x) dx =

[ψ(x) − p(x)]ψ(x) dx

|ψ(x)| dx = ǫ kψk 1 .

Mengingat kψk 2

1 < ∞ dan ǫ > 0 sebarang, kita haruslah mempunyai kψk 2 = 0, yang bertentangan dengan keortonormalan {ψ j,k : j, k ∈ Z}. [QED]

16.4 Teorema sampling Teorema di bawah ini merupakan bentuk lain dari Teorema Sampling Shannon

yang dibahas pada §12.3. Teorema G. Misalkan V 2

j = {f ∈ L (R) : f konstan pada [2 −j k, 2 −j (k + 1)), k ∈ Z}, j ∈ Z dan φ = χ [0,1) . Maka, untuk setiap f ∈ V j , berlaku

f (x) =

f (2 −j

k)φ(2 j x − k).

k∈Z

Bukti. Kita tahu bahwa {V 2 j } merupakan suatu AMR pada L (R) dan φ fungsi skala, yakni {φ(· − k) : k ∈ Z} membentuk basis ortonormal untuk V 0 . Selanjutnya, keluarga

fungsi φ j j,k (x) = 2 φ(2 x−k), j, k ∈ Z membentuk basis ortonormal untuk V j . Karena itu, untuk setiap f ∈ V j , berlaku

j/2

f=

hf, φ j,k iφ j,k ,

k∈Z

105 dengan

Analisis Fourier dan Wavelet

f (x)φ(2 x − k)dx

Z 2 −j (k+1)

=2 j/2

f (x)dx

2 −j k

Z 2 −j (k+1)

=2 j/2

f (2 −j k)dx

2 −j k

=2 −j/2 f (2 −j k),

sesuai dengan yang dinyatakan. [QED] Teorema H. Misalkan {ψ j,k : j, k ∈ Z} basis ortonormal yang diperoleh dari wavelet

dalam norma L 2 (R). (Di sini, ˜ g(x) = g( −x).) Bukti. Tuliskan

f (x)ψ j,k (x) dx

Z R = j/2 f (x)2 ψ(2 j x − k) dx

f (x)ψ j,0 (x − 2 −j k) dx

f (x) ˜ ψ j,0 (2 −j k − x) dx

=f∗˜ ψ j,0 (2 −j k).

seperti yang diinginkan. [QED]

16.5 Soal latihan

1. Misalkan {V 2 j } suatu AMR pada L (R). Buktikan bahwa V j+1 =V j ⊕W j , j ∈ Z.

106 Hendra Gunawan

2. Buktikan jika {ψ(· − k) : k ∈ Z} merupakan basis ortonormal untuk W 0 , maka

untuk setiap j ∈ Z, {2 j ψ(2 · −k) : k ∈ Z} merupakan basis ortonormal untuk W j .

j/2

3. Tunjukkan jika ψ merupakan fungsi C ∞ yang bertumpuan kompak pada R, maka ψ memenuhi ketaksamaan

|ψ(x)| ≤

(1 + |x|) r+1+ǫ

untuk r = 0, 1, 2, . . . dan ǫ > 0 sembarang.

Analisis Fourier dan Wavelet