Deret Fourier yang Diperumum dan Hampiran Terbaik di 2 L (a, b)

8. Deret Fourier yang Diperumum dan Hampiran Terbaik di 2 L (a, b)

Pada Bab 6 kita telah melihat bahwa deret Fourier klasik dari f dapat dinyatakan P ∞

sebagai 1 hf, φ n iφ n (x), dengan φ n (x) = √ 2π e inx , n ∈ Z. Ini terjadi antara lain

n=−∞ ∞

karena {φ 2 n } −∞ merupakan himpunan ortonormal. Di L (−π, π), kekonvergenan deret di atas dalam norm merupakan konsekuensi dari kelengkapan {φ n } ∞ −∞ .

8.1 Deret Fourier yang diperumum

2 Jika {φ 2 n } 1 adalah basis ortonormal untuk L (a, b) dan f ∈ L (a, b), maka hf, φ n i

P ∞ disebut koefisien Fourier yang diperumum dari f terhadap {φ n } 1 , dan

hf, φ n iφ n

n=1

disebut deret Fourier yang diperumum dari f terhadap {φ n ∞ } 1 .

Pertanyaan kita adalah: apakah himpunan ortonormal pada pembahasan deret P ∞

hf, φ n iφ n untuk setiap f ∈ L 2 (−π, π)? Ingat bahwa kita baru membuktikan ini untuk fungsi di P S(a, b).

Fourier klasik merupakan basis ortonormal, yakni apakah f =

n=1

Teorema A. (a) Himpunan {e ∞ } −∞ dan {cos nx} 1 ∪ {sin nx} 1 merupakan basis

inx ∞

ortogonal untuk L 2 (−π, π).

(b) Himpunan {cos nx} 2

0 dan {sin nx} 1 merupakan basis ortogonal untuk L (0, π). Bukti. Akan dibuktikan (a) bagian pertama saja, yang berkenaan dengan himpunan

{e inx } ∞ −∞ . Bagian lainnya dapat dibuktikan secara serupa. Misalkan f ∈ L 2 (−π, π) dan ǫ > 0. Berdasarkan teorema tentang topologi ruang

L 2 (a, b) secara umum, terdapat fungsi ˜ f yang kontinu dan mulus bagian demi bagian

pada [−π, π] sedemikian sehingga kf − ˜ 1 fk<

3 . Misalkan c n = 2π

hf, ψ n i dan ˜c n =

2π h˜ f,ψ n i, dengan ψ n (x) = e , n ∈ Z, adalah koefisien Fourier dari f dan ˜ f , berturut-

1 inx

turut. Menurut teorema kekonvergenan seragam deret Fourier, n=−∞ ˜ c n ψ n konvergen

52 Hendra Gunawan

seragam ke ˜ f . Akibatnya, jika N cukup besar, maka

f− ˜

n=−N

Selanjutnya, menurut Teorema Pythagoras dan Ketaksamaan Bessel, N

|˜c n −c n | ≤

|˜c n −c n | ≤k˜ f − fk < .

n=−N n=−N

n=−N

n=−∞

Jadi, jika kita tulis

dan gunakan Ketaksamaan Segitiga, maka kita peroleh

c n ψ n ≤ ǫ + + = ǫ.

n=−N

Jadi f = lim

n=−N c n ψ n = n=−∞ c n ψ n N →∞ dalam norm, dan ini membuktikan bahwa himpunan fungsi {ψ 2

n ∞ } −∞ merupakan basis ortonormal untuk L (−π, π). [QED] Sebagai rangkuman, sejauh ini kita telah membahas: jika f periodik, maka deret

Fourier dari f akan konvergen ke f (i) secara seragam, mutlak, dan dalam norm, untuk f yang kontinu dan mulus bagian demi bagian pada [a, b]; (ii) secara titik demi titik, untuk f yang mulus bagian demi bagian pada [a, b]; (iii) dalam norm, untuk f ∈ L 2 (a, b).

8.2 Hampiran terbaik di L 2 (a, b)

Teorema berikut menyatakan bahwa deret dengan koefisien Fourier untuk f (ter- hadap suatu himpunan ortonormal di L 2 (a, b)) merupakan hampiran terbaik untuk f

di antara semua uraian deret yang mungkin (terhadap himpunan ortonormal tersebut). Teorema B. Misalkan {φ n } adalah suatu himpunan fungsi ortonormal, yang terhingga

atau terbilang banyaknya, di L 2 (a, b). Maka

hf, φ n iφ n ≤ f −

Analisis Fourier dan Wavelet

untuk sembarang pilihan {c 2

|c n | < ∞. Lebih jauh, kesamaan dipenuhi jika dan hanya jika c n = hf, φ n i untuk setiap indeks n.

n } dengan

Bukti. Kita tulis

Perhatikan bahwa g := f −

hf, φ n iφ n ⊥φ m atau hg, φ m i = 0, untuk setiap m. Jadi, g⊥

hf, φ n i−c n φ n , sehingga menurut Teorema Pythagoras,

hf, φ n iφ n , dan kesamaan dipenuhi jika dan hanya c n = hf, φ n i untuk setiap n. [QED]

hf, φ n iφ n +

|hf, φ n i−c n | ≥ f −

Contoh 1. Misalkan kita ingin menentukan hampiran terbaik untuk f (x) := sin x di antara semua kombinasi linear c

1 +c 2 cos x di L (0, π). Dalam hal ini, kita mencatat

bahwa { 2 π , √ π cos x} merupakan himpunan ortonormal di L (0, π). Sekarang kita hi- tung

Jadi hampiran terbaik yang dicari adalah sin x ≈ 2 √ π . Tentu saja ini merupakan ham- piran yang masih kasar, karena kita hanya menggunakan {1, cos x} sebagai ruang ham- pirannya.

8.3 Masalah Sturm-Liouville reguler

0 dan {sin nx} 1 di L (0, π) diperoleh dari masalah nilai batas

Himpunan fungsi ortogonal {cos nx} 2

u ′′

(x) + λ 2 u(x) = 0, u ′ (0) = u ′ (π) = 0

dan

u ′′

(x) + λ 2 u(x) = 0, u(0) = u(π) = 0.

54 Hendra Gunawan

Demikian juga himpunan fungsi ortogonal {e 2 } di L (−π, π) dapat diperoleh dari masalah nilai batas

−inx

u 2 ′′ (x) + λ u(x) = 0,

u(−π) = u(π), u ′ (−π) = u (π).

Pada bagian ini kita akan melihat bahwa ada (banyak) masalah nilai batas yang beru-

jung pada himpunan fungsi ortogonal du L 2 (a, b).

Secara khusus, kita akan membahas masalah Sturm-Liouville reguler, yang berben- tuk

(rf ′ ) ′ + pf + λwf = 0,

dengan syarat batas B 1 (f ) = 0 dan B 2 (f ) = 0. Di sini r, r ′ dan p bernilai real dan kontinu pada [a, b], r > 0 pada [a, b], dan w > 0 dan kontinu pada [a, b]. Sementara itu, B 1 dan B 2 merupakan fungsional yang self-adjoint. Lebih khusus lagi, kita akan meninjau masalah Sturm-Liouville berikut pada [0, L]:

[∗] Di sini λ merupakan nilai eigen dari operator −T , dengan T f = f ′′ . Dapat ditunjukkan

f ′′ + λf = 0, f ′ (0) = αf (0), f ′ (L) = βf (L).

bahwa nilai eigen dari masalah ini senantiasa bernilai real. Perhatikan jika λ = 0, maka f ′′ = 0 memberikan f (x) = c 1 +c 2 x, dan dari syarat batas kita peroleh c 2 = αc 1 dan c 2 = β(c 1 +c 2 L). Akibatnya c 1 =c 2 = 0 atau

β= α 1+αL . Tentu saja kita tidak menghendaki solusi trivial f = 0, karena itu kita penuhi β = α

1+αL dan ambil c 1 = 1, c 2 = α.

Selanjutnya, kita asumsikan λ 6= 0, katakan λ = ν 2 dengan ν > 0 atau ν = −µi, µ > 0 (tergantung apakah λ > 0 atau λ < 0). Solusi umum dari (*) adalah

f (x) = c 1 cos νx + c 2 sin νx.

Karena f (0) = c 1 dan f ′ (0) = νc 2 , syarat batas di 0 memberikan νc 2 = αc 1 . Dalam hal

ini, ambil c 1 = ν dan c 2 = α, sehingga

f (x) = ν cos νx + α sin νx.

55 Sekarang syarat batas di L akan memberikan

Analisis Fourier dan Wavelet

[2a] Jika ν = µi, maka (mengingat tan ix = i tanh x) persamaan [2a] menjadi

tanh µL =

[2b]

Dalam kedua kasus, kita hanya perlu meninjau nilai ν dan µ positif karena nilai eigen

2 dari operator −T adalah ν 2 atau −µ . Jika ν memenuhi [2a], maka fungsi f yang memenuhi [1] merupakan fungsi eigen

untuk masalah (*). Secara umum, f tidak normal, namun kita dapat menormalisasi f bila dikehendaki.

Untuk memberikan gambaran fungsi eigen seperti apa yang diperoleh, tinjau kasus α = 1, β = −1, L = π. Dalam hal ini, persamaan [2a] menjadi

sementara persamaan [2b] menjadi

Ada banyak solusi persamaan [2c]: 0 < ν 1 <ν 2 <ν 3 < · · · dengan ν n ≈ n − 1 untuk n besar, namun tidak ada satupun solusi positif persamaan [2d]. Jadi, terdapat tak

2 terhingga banyak nilai eigen λ 2 n =ν n untuk (*), dengan λ n ≈ (n − 1) untuk n besar. Fungsi eigen yang berpadanan dengan λ n adalah

f n (x) = ν n cos ν n x + sin ν n x.

56 Hendra Gunawan

Dapat diperiksa bahwa himpunan fungsi eigen ini membentuk himpunan ortogonal di

L w (0, π) yang dilengkapi dengan hasilkali dalam hf, gi w := 0 f (x)g(x)w(x) dx. Namun

2 dalam contoh yang kita bahas di sini w ≡ 1, sehingga L 2 w (0, π) = L (0, π).

8.4 Soal Latihan

1. Diketahui f (x) = x, x ∈ [0, π]. Tentukan hampiran terbaik (dalam norm) untuk f di L 2 (0, π), di antara fungsi-fungsi yang berbentuk

(a) a 0 +a 1 cos x + a 2 cos 2x. (b) b 1 sin x + b 2 sin 2x.

(c) a cos x + b sin x.

2. Buktikan bahwa himpunan fungsi eigen {f n } pada §8.3 merupakan himpunan orto- gonal di L 2 (0, π).

Analisis Fourier dan Wavelet