Transformasi Fourier

10. Transformasi Fourier

Dalam beberapa bab ke depan, kita akan membahas transformasi Fourier serta sifat-sifat dan aplikasinya. Seperti halnya pada pembahasan deret Fourier, pendekatan yang diambil dalam pembahasan transformasi Fourier di sini sama dengan pendekatan dalam buku “Fourier Analysis and Its Applications” karangan G.B. Folland (Wads- worth, 1992).

10.1 Motivasi Pada Bab 4, kita telah membahas deret Fourier pada interval [−L, L] sembarang,

yakni

f (x) = inπx/L c

f (x)e −inπx/L dx, n ∈ N.

2L −L

Dalam hal ini, c nπ n menyimpan informasi tentang f dengan frekuensi L nilai L, semakin kerap domain frekuensinya. Bagaimana bila L → ∞? Dengan sedikit modifikasi, kita dapat menuliskan ulang rumus di atas sebagai

f (x) = inπx/L c

f (x)e −inπx/L dx.

−L

Selanjutnya misalkan ∆ξ := nπ

L dan ξ n := n∆ξ = L . Maka

iξ n f (x) = x c

n,L e ∆ξ,

n=−∞

64 Hendra Gunawan

dengan

n,L =

f (x)e −iξ dx.

−L

Jika f (x) → 0 cukup cepat untuk |x| → ∞, maka c n,L tidak akan berbeda banyak apabila daerah pengintegralannya diperluas dari [−L, L] ke (−∞, ∞), yakni

≈ −iξ f (x)e dx = b f (ξ n ), n ∈ N.

n,L

Dalam hal ini,

Ini mirip dengan jumlah Riemann dari b f pada (−∞, ∞). Jika L → ∞, maka ∆ξ → 0 dan ξ n semakin memadati R, sehingga ≈ dapat

digantikan dengan = dan rumus di atas menjadi

f (x) = iξx b f (ξ)e dξ, x ∈ R,

f (x)e −iξx dx, ξ ∈ R.

Kalkulasi ini tentu saja masih merupakan kalkulasi kasar, namun untuk f tertentu kalkulasi ini berlaku. Rumus (2) disebut transformasi Fourier dari f , dan rumus (1) merupakan rumus inversi Fourier, yang merupakan cara untuk memperoleh f kembali dari b f – yang akan kita buktikan kelak secara cermat.

10.2 Ruang L 1 (R) dan L 2 (R)

Untuk merapikan definisi transformasi Fourier dan mempelajari sifat-sifatnya, kita perlu beberapa asumsi, istilah dan notasi. Pertama, fungsi yang akan kita bahas sel- njutnya adalah fungsi yang terdefinisi pada R. Seperti ketika kita mendefinisikan deret Fourier, kita asumsikan bahwa f terintegralkan (mutlak) pada R. Untuk itu, kita defin-

isikan ruang L 1 =L 1 (R) sebagai ruang semua fungsi f yang terintegralkan mutlak pada R, yakni

L := f:

|f(x)| dx < ∞ .

65 Ruang L 1 dilengkapi dengan norm k · k

Analisis Fourier dan Wavelet

1 yang rumusnya adalah Z ∞

kfk 1 :=

|f(x)| dx.

2 Sebagai perluasan dari L 2 (a, b), kita juga mendefinisikan ruang L =L (R) sebagai ruang semua fungsi f yang kuadratnya terintegralkan, yakni

L := f:

|f(x)| dx < ∞ .

Ruang L 2 dilengkapi dengan norm k · k

2 yang rumusnya adalah hZ ∞

i 2 1/2

kfk 2 :=

|f(x)| dx

Catat bahwa tidak ada hubungan ‘urutan’ di antara L 1 dan L 2 . Sebagai contoh, tinjau

x −2/3 , jika 0 < x < 1,

f (x) =

jika x lainnya

dan

x −2/3 , jika x > 1, g(x) =

jika x lainnya.

1 2 2 Maka f ∈ L 1 tetapi f / ∈L , sementara g ∈ L tetapi g / ∈L . Walaupun demikian, ada dua fakta yang kelak berguna bagi kita mengenai kedua

ruang ini, yaitu:

1 (1) Jika f ∈ L 2 dan f terbatas pada R, maka f ∈ L . Persisnya

2 |f| ≤ M ⇒ |f| 2 ≤ M|f| ⇒ |f(x)| dx ≤ M |f(x)| dx < ∞.

(2) Jika f ∈ L 1 dan f bernilai 0 di luar suatu interval [a, b], maka f ∈ L . Persisnya Z ∞

2 i 1/2 |f(x)| dx =

Z b hZ b

1 · |f(x)| dx ≤ (b − a)

|f(x)| dx

. Ruang L p dan L merupakan kasus khusus dari ruang Lebesgue L =L (R), R ∞

1 ≤ p ≤ ∞ yang beranggotakan semua fungsi f sedemikian sehingga p −∞ |f(x)| dx < ∞. (Untuk p = ∞, integral ini digantikan dengan nilai supremum esensial dari {|f(x)| :

x ∈ R}.)

66 Hendra Gunawan

10.3 Transformasi Fourier

Misalkan f ∈ L , yakni kfk 1 = −∞ |f(x)| dx < ∞. Transformasi Fourier dari f, yang kita tuliskan sebagai b f , didefinisikan oleh

b f (ξ) =

f (x)e −iξx dx, ξ ∈ R.

Seperti halnya dalam pembahasan deret Fourier, pertanyaan kita adalah bagaimana kita dapat memperoleh f kembali dari b f . Kesamaan (1) menyarankan kita untuk mendefinisikan invers transformasi Fourier dari g, yang dituliskan sebagai ˇ g, sebagai

1 ixξ

ˇ g(x) =

g(ξ)e dξ, x ∈ R.

2π R

Teorema inversi Fourier, yang akan kita bahas nanti, menyatakan bahwa

(b f )ˇ(x) = f (x), h.d.m.

asalkan f dan b f terintegralkan. Sebelum sampai ke sana, kita pelajari dahulu sifat-sifat dasar transformasi Fourier. Teorema A. Jika f ∈ L 1 , maka b f terbatas pada R.

Bukti. Perhatikan bahwa untuk setiap ξ ∈ R berlaku

|b −2πiξx f (ξ)| ≤ |e f (x)| dx = |f(x)| dx = kfk 1 .

Jadi b f terbatas pada R, dengan k b fk ∞ := ess sup x∈R |f(x)| ≤ kfk 1 . [QED] Teorema B. Jika f ∈ L 1 , maka b f kontinu pada R.

Bukti. Untuk setiap ξ dan h ∈ R,

e −iξx (e f (ξ + h) − b −ihx − 1)f(x) dx,

|b −ihx f (ξ + h) − b f (ξ)| ≤ |e − 1| |f(x)| dx.

Integran di ruas kanan didominasi oleh 2|f(x)| dan menuju 0 apabila h → 0. Jadi, menurut Teorema Kekonvergenan Terdominasi Lebesgue, ruas kanan mestilah menuju

0 apabila h → 0, dan akibatnya ruas kiri juga menuju 0 apabila h → 0. [QED]

Analisis Fourier dan Wavelet

67 Teorema C (Riemann-Lebesgue). Jika f ∈ L 1 , maka lim b f (ξ) = 0.

Bukti. π Perhatikan bahwa − b f (ξ) = −∞ f (x)e −iξ(x+ ξ dx = −∞ f (x − ξ )e −iξx dx. Karena itu

2b f (ξ) = b f (ξ) − (− b f (ξ)) =

f (x) − f x −

e −iξx dx,

sehingga

2| b f (ξ)| ≤

Karena f ∈ L 1 , maka (menggunakan kekontinuan dalam norma di L ) ruas kanan akan menuju 0 apabila |ξ| → ∞. Dengan demikian ruas kiri pun mestilah menuju 0 apabila

|ξ| → ∞. [QED] Akibat D. Transformasi Fourier F memetakan fungsi f di L 1 ke fungsi Ff = b f di

C 0 (R). Catatan .C 0 (R) adalah ruang fungsi kontinu dan terbatas pada R dengan limit nol

di ±∞. Notasi Ff akan kita gunakan secara bergantian dengan notasi b f untuk meny- atakan transformasi Fourier dari f .

Berkenaan dengan translasi dan dilasi, transformasi Fourier mempunyai sifat seba- gai berikut.

Teorema E. Misalkan f ∈ L 1 dan a ∈ R.

(i) Jika g(x) := f (x − a), maka bg(ξ) = e −iaξ b f (ξ);

(ii) Jika g(x) := e iax f (x), maka bg(ξ) = b f (ξ − a). Selanjutnya, misalkan δ > 0. (iii) Jika g(x) := δ −1 f (x/δ), maka bg(ξ) = b f (δξ);

(iv) Jika g(x) = f (δx), maka bg(ξ) = δ −1 b f (ξ/δ).

Berkenaan dengan operasi turunan dan perkalian dengan peubah bebasnya, trans- formasi Fourier mempunyai sifat sebagai berikut.

Teorema F. Misalkan f ∈ L 1 . Jika f kontinu dan mulus bagian demi bagian pada R, dan f 1 ′ ∈L , maka

(f ′ )b(ξ) = iξ b f (ξ).

68 Hendra Gunawan

Sebaliknya, jika g(x) := xf (x) terintegralkan mutlak pada R, maka bg(ξ) = i( b f) ′ (ξ). Berikut ini adalah beberapa contoh transformasi Fourier dari fungsi-fungsi tertentu. Contoh 1. Jika f = χ sin aξ

[−a,a] (a > 0), maka b f (ξ) = 2 ξ .

1 Contoh 2. Jika f (x) = π

x 2 +a 2 (a > 0), maka b f (ξ) =

−a|ξ|

2 q 2π ξ2

Contoh 3. Jika f (x) = e −ax (a > 0), maka b f (ξ) =

a e − 2a .

Contoh 1 dapat dihitung langsung, sementara Contoh 2 memerlukan teorema residu (untuk suatu integral fungsi kompleks yang berpadanan). Untuk Contoh 3, perhatikan bahwa f memenuhi persamaan diferensial f ′ (x) + axf (x) = 0. Kenakan transformasi Fourier pada persamaan ini, kita peroleh persamaan diferensial yang dipenuhi oleh b f, dan akhirnya kita peroleh rumus untuk b f.

10.4 Soal Latihan

1. Buktikan Teorema E.

2. Buktikan Teorema F.

3. Buktikan tiga contoh transformasi Fourier di atas.

Analisis Fourier dan Wavelet