9 Dari persamaan 2.12, misalkan suatu matriks
A
berukuran
n n
dan suatu vektor taknol
y
di
n
yang dinyatakan dalam bentuk :
Ay y
2.13 Vektor
y
disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen
. Untuk mencari nilai eigen dari matriks
A
, maka persamaan 2.13 dapat ditulis sebagai berikut :
A y
I
2.14 Dengan
I
adalah matriks identitas berukuran
n n
. Persamaan 2.14 mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika :
det A I
2.15 Persamaan 2.15 disebut persamaan karakteristik dari
A
[6].
2.2 Ruang Dimensi
-n
Jika n adalah bilangan bulat positif, maka ganda-n berurut adalah sederet n bilangan real
1 2
, ,...
,
n
a a a
. Himpunan semua ganda-n berurut disebut ruang berdimensi-n dan dinyatakan dengan
n
[6]. Dengan notasi pembentuk
1 2
1 2
, ,...,
, ,...,
n n
n
a a a
a a a
2.16
10
2.3 Titik Kesetimbangan
Misalkan diberikan persamaan diferensial sebagai berikut :
dy f y
dt
2.17 Suatu titik
n
y y
disebut titik kesetimbangan dari persamaan 2.17, jika
f y
[9]. Pada titik kesetimbangan dapat ditentukan kestabilan titik kesetimbangan.
Diberikan sistem persamaan diferensial sebarang
,
n
dy f y
y dt
2.18 Analisis kestabilan titik kesetimbangan dilakukan melalui matriks Jacobi,
yaitu matriks
A
. Penentuan kestabilan titik kesetimbangan didapat dengan melihat nilai-nilai eigennya, yaitu
i
dengan
1, 2,3,..., i
n
yang diperoleh dari
det A I
. Secara umum kestabilan titik kesetimbangan mempunyai tiga
perilaku sebagai berikut : 1.
Stabil, jika setiap nilai eigen real adalah negatif
0 untuk semua
i
i
dan
setiap komponen bagian real dari nilai eigen kompleks, lebih kecil atau sama dengan nol
0 untuk semua
e i
R i
.
11 2.
Takstabil, jika ada nilai eigen real adalah positif
0 untuk semua
i
i
dan
ada komponen bagian real dari nilai eigen kompleks, lebih besar dari nol
0 untuk semua
e i
R i
.
3. Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen real sebarang adalah negatif
, 0 untuk semua dan sebarang
i j
i j
. Titik kesetimbangan sadel ini bersifat takstabil [9].
Berikut diberikan tabel kestabilan titik kesetimbangan berdasarkan nilai eigen
Tabel 2.1. Kriteria kestabilan berdasarkan nilai eigen
Nilai Eigen Nama
Kestabilan
real, tidak sama, bertanda sama Simpul
stabil asimptotis: semuanya negative tidak stabil: semuanya positif
real, tidak sama, berlawan tanda Sadel
tidak stabil
real, sama Simpul
stabil asimptotis: semuanya negative tidak stabil: semuanya positif
kompleks konjugate bukan imajiner murni
Spiral stabil asimptotis: bagian real
negative tidak stabil: bagian real positif
Imajiner murni Pusat
Stabil
12
2.4 Sistem Linearisasi
