Menentukan Titik Kesetimbangan Pemodelan SIR

26

4.2 Menentukan Titik Kesetimbangan Pemodelan SIR

Berdasarkan definisi titik kesetimbangan, dari persamaan 4.1 - 4.7 dapat ditentukan titik kesetimbangannya dengan 0, 0, 0, 0, S dQ dS dI dR dt dt dt dt     0, I dQ dt  0, dV dt  dan dT dt  menjadi         S S S I S S S I I I I I SI S Q SI I S Q I Q R I Q S V I T                                                   4.9 Salah satu kemungkinan solusi untuk persamaan 4.9 adalah S=0, maka persamaan 4.9 menjadi       S S I S S I I I I I Q I Q I Q R I Q V I T                                                     4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 Solusi untuk persamaan 4.11 adalah   I I I               4.17 Solusi untuk persamaan 4.12 adalah 27   S S S Q Q         4.18 Solusi untuk persamaan 4.15 adalah V V     Karena I=0 dapat mengakibatkan persamaan 4.14 dan persamaan 4.16 menjadi Q I =0 dan T=0. Dan karena I=0 dan Q I =0 dapat mengakibatkan persamaan 4.13 menjadi R=0, sehingga titik kesetimbangan untuk   1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , S I E S I Q R Q V T dengan 1 1 1 1 1 0, 0, 0, 0, 0, S I S I Q R Q      1 1 0, dan V T   . Selanjutnya kita cari titik kesetimbangan lainya dengan I=0, maka persamaan 4.9 menjadi :       S S S S S S I I I I S Q S Q Q R Q S V T                                             4.20 4.21 4.22 4.23 4.24 4.25 Solusi untuk persamaan 4.20 adalah           S S S S S S S S S S S S S S S S Q S Q S Q S Q Q S                                                    4.26   4.19 28 Solusi untuk persamaan 4.21 adalah       S S S S S S S S S S Q Q S S Q                   4.27 Dengan mensubsitusikan persamaan 4.27 ke persamaan 4.26, sehingga                                      S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S                                                                                                                                                              S S S S S                     S S S S               4.28 sehingga solusi untuk persamaan 4.27 adalah 29                             4.29 S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S Q Q Q Q                                                                           Solusi untuk persamaan 4.21 dengan mensubstitusikan persamaan 4.28 adalah S V V S S V                  S S S V                 4.30 Solusi untuk persamaan 4.23 adalah   I I I Q Q         4.31 Karena Q I =0 dapat mengakibatkan persamaan 4.22 menjadi R=0. Solusi untuk persamaan 4.25 adalah T T       4.32 30 sehingga titik kesetimbangan untuk   2 2 2 2 2 2 2 2 , , , , , , S I E S I Q R Q V T dengan         2 2 2 2 2 , 0, , 0, 0, S S S S I S S S S I Q R Q                                     2 1 , dan S S S V T                 . Selanjutnya kita cari titik kesetimbangan lainya dengan S Q  , maka persamaan 4.9 menjadi :       S I S I I I I I SI S SI I S I Q R I Q S V I T                                                           4.33 4.34 4.35 4.36 4.37 4.38 4.39 Solusi untuk persamaan 4.35 adalah S S S      4.40 Karena S=0 dapat mengakibatkan persamaan 4.34 dan persamaan 4.38 menjadi I=0 dan V=0. Dan karena I=0 dapat mengakibatkan persamaan 4.37 dan persamaan 4.39 menjadi Q I =0 dan T=0. Dan karena I=0 dan Q I =0 dapat mengakibatkan persamaan 4.36 menjadi R=0, sehingga titik kesetimbangan untuk   3 3 3 3 3 3 3 3 , , , , , , S I E S I Q R Q V T dengan 3 3 3 3 3 3 0, 0, 0, 0, 0, 0, S I S I Q R Q V       3 dan T  . 31 Selanjutnya kita cari titik kesetimbangan lainya dengan R=0, maka persamaan 4.9 menjadi :         S S S I S S S I I I I I SI S Q SI I S Q I Q I Q S V I T                                                               4.41 4.42 4.43 4.44 4.45 4.46 4.47 Solusi untuk persamaan 4.42 adalah         I I I I SI I SI I S S                                                4.48 Solusi untuk persamaan 4.43 dengan mensubstitusikan persamaan 4.48 adalah     S S S S S S S S S S Q Q S S Q                     S S I S Q                4.49 Solusi untuk persamaan 4.46 dengan mensubstitusikan persamaan 4.48 adalah 32 S V V S S V             I V              4.50 Solusi persamaan 4.41 untuk I dengan mensubstitusikan persamaan 4.48 dan persamaan 4.49 adalah                               S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S I I I S S I S S S SI S Q I S Q I I I I S Q Q I S Q I S Q S                                                                                                                                                         S S            33                       S I S S S S S S S S S I I I I I I I                                                                                                                    S I S S I S I                                             4.51 Solusi persamaan 4.45 dengan mensubstitusikan persamaan 4.51 adalah       I I I I I I I I I I Q Q I Q I                             I I S S S I I I S Q                                                         4.52 Solusi persamaan 4.47 dengan mensubstitusikan persamaan 4.51 adalah I T T I                  S S I I S S T                                                       4.53 sehingga titik kesetimbangan untuk   4 4 4 4 4 4 4 4 , , , , , , S I E S I Q R Q V T dengan   4 , I S            34           4 , S S S I S I I                                                 4 , S I S S Q                4 0, R              4 , S S S I S I I I I Q                                                           4 , I V                       4 dan S S I S S I T                                                       Selanjutnya kita cari titik kesetimbangan lainya dengan I Q  , maka persamaan 4.9 menjadi :       S S S I S S S I SI S Q SI I S Q I R I S V I T                                                           4.54 4.55 4.56 4.57 4.58 4.59 4.60 Solusi untuk persamaan 4.58 adalah I I I      4.61 Karena I=0 dapat mengakibatkan persamaan 4.57 dan persamaan 4.60 menjadi R=0 dan T=0. 35 Solusi untuk persamaan 4.54 dengan mensubstitusikan persamaan 4.61 adalah           S S S S S S S S S S S S S S S S Q S Q S Q S Q Q S                                                    4.62 Solusi untuk persamaan 4.56 adalah       S S S S S S S S S S Q Q S S Q                   4.63 Dengan mensubsitusikan persamaan 4.63 ke persamaan 4.62, sehingga                                      S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S                                                                                                                                                              S S S S S                36      S S S S               4.64 sehingga solusi untuk persamaan 4.63 adalah                             4.65 S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S Q Q Q Q                                                                           Solusi untuk persamaan 4.59 dengan mensubstitusikan persamaan 4.64 adalah S V V S S V                  S S S V                 4.66 Sehingga titik kesetimbangan untuk   5 5 5 5 5 5 5 5 , , , , , , S I E S I Q R Q V T dengan         5 5 5 5 5 , 0, , 0, 0, S S S S I S S S S I Q R Q                                     5 5 , dan S S S V T                 . 37 Selanjutnya kita cari titik kesetimbangan lainya dengan V=0, maka persamaan 4.9 menjadi :         S S S I S S S I I I I I SI S Q SI I S Q I Q R I Q S I T                                                               4.67 4.68 4.69 4.70 4.71 4.72 4.73 Solusi untuk persamaan 4.72 adalah S S      4.74 Karena S=0 dapat mengakibatkan persamaan 4.68 dan persamaan 4.69 menjadi I=0 dan Q S =0. Dan karena I=0 dapat mengakibatkan persamaan 4.71 dan persamaan 4.73 menjadi Q I =0 dan T=0. Dan karena I=0 dan Q I =0 dapat mengakibatkan persamaan 4.70 menjadi R=0, sehingga titik kesetimbangan untuk   6 6 6 6 6 6 6 6 , , , , , , S I E S I Q R Q V T dengan 6 6 6 6 6 6 0, 0, 0, 0, 0, 0, S I S I Q R Q V       6 dan T  . Selanjutnya kita cari titik kesetimbangan lainya dengan T=0, maka persamaan 4.9 menjadi 38         S S S I S S S I I I I I SI S Q SI I S Q I Q R I Q S V I                                                               4.75 4.76 4.77 4.78 4.79 4.80 4.81 Solusi untuk persamaan 4.81 adalah I I      4.82 Karena I=0 dapat mengakibatkan persamaan 4.79 menjadi Q I =0. Dan karena I=0 dan Q I =0 dapat mengakibatkan persamaan 4.78 menjadi R=0. Solusi untuk persamaan 4.76 adalah         I I I I SI I SI I S S                                                4.83 Solusi untuk persamaan 4.77 dengan mensubstitusikan persamaan 4.83 adalah     S S S S S S S S S S Q Q S S Q                     S S I S Q                4.84 39 Solusi untuk persamaan 4.80 dengan mensubstitusikan persamaan 4.83 adalah S V V S S V             I V              4.85 Sehingga titik kesetimbangan untuk   7 7 7 7 7 7 7 7 , , , , , , S I E S I Q R Q V T dengan       7 7 7 7 7 , 0, , 0, 0, I I S I S S S I Q R Q                                7 7 , dan I V T               . Dari penentuan titik kesetimbangan pada persamaan 4.9 diperolehlah tujuh titik kesetimbangan, yaitu 1.   1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , S I E S I Q R Q V T dengan 1 0, S  1 0, I  1 0, S Q  1 0, R  1 0, I Q  1 0, V  1 dan T  . Individu yang rentan dianggap belum ada sehingga tidak ada penyebaran penyakit yang terjadi pada populasi. 2.   2 2 2 2 2 2 2 2 , , , , , , S I E S I Q R Q V T dengan      2 , S S S S               2 0, I     2 , S S S S Q             2 2 0, 0, I R Q          2 , S S S V                 2 dan T  . Individu yang terinfeksi pada keadaan ini dianggap nol sehingga hanya ada perlakuan terhadap individu rentan yang diberikan vaksinasi dan dikarantina. 3.   3 3 3 3 3 3 3 3 , , , , , , S I E S I Q R Q V T dengan 3 0, S  3 0, I  3 0, S Q  3 0, R  3 0, I Q  3 0, V  dan 3 T  . Pada keaadaan ini individu yang dikarantina dianggap nol sehingga tidak ada perlakuan yang diberikan pada sistem lainnya 40 4.   4 4 4 4 4 4 4 4 , , , , , , S I E S I Q R Q V T dengan   4 , I S                      4 , S S S I S I I                                                 4 4 , 0, S I S S Q R                             4 , S S S I S I I I I Q                                                           4 , I V             dan           4 . I S I S S S T                                                       Pada keadaan ini kesembuhan dianggap nol sehingga penyebaran penyakit dari individu rentan akan diberikan vaksinasi dan karantina, selanjutnya individu yang rentan akan memasuki kelompok Infected yang diberi tindakan terapi obat antivirus dan isolasi. 5.   5 5 5 5 5 5 5 5 , , , , , , S I E S I Q R Q V T dengan      5 , S S S S               5 0, I     5 , S S S S Q             5 5 0, 0, I R Q          5 , S S S V                 dan 5 T  . Pada keadaan ini tindakan isolasi dianggap nol sehingga individu yang rentan hanya di karantina dan di isolasi 6.   6 6 6 6 6 6 6 6 , , , , , , S I E S I Q R Q V T dengan 6 0, S  6 0, I  6 0, S Q  6 0, R  6 0, I Q  6 0, V  6 dan T  . Pada keadaan ini tindakan vaksinasi dianggap nol sehingga perlakuan pada sistem lain dinggap tidak ada. 7.   7 7 7 7 7 7 7 7 , , , , , , S I E S I Q R Q V T dengan   7 , I S            7 0, I      7 , S I S S Q                7 0, R  7 0, I Q    7 , I V             dan 7 T  . Pada keadaan ini tindakan terapi obat antivirus dianggap nol, 41 sehingga penyebaran penyakit dari individu rentan hanya diberi tindakan vaksinasi dan karantina. Pada persamaan 4.1 - 4.2 dapat diketahui bentuk nilai reproduksi, yaitu     S S S I SI S Q dI SI I dt dS dt                         4.86 pada persamaan 4.86, misalkan dibuat menjadi persamaan berikut     S S S I SI S Q g S f I I                         4.87 Dari persamaan 4.87 akan diperoleh matriks Jacobian sebagai berikut     S I df df dS dI A dg dg dS dI I S A I S                                           Karena untuk nilai reproduksi bebas penyakit belum ada individu yang terinfeksi penyakit Influenza A H1N1, maka I bernilai nol sehingga matriks Jacobian menjadi     S I S A S                           4.88 Nilai eigen dari matriks A diperoleh dengan menggunakan persamaan karakteristik dengan   0, I det A I    sebagai matriks identitas, sehingga 42                        1 1 S I S I S I S S I S S S S S S I S det A                                                                                                                      2 I S                         2 I S S                               S I S                               S I S                               1 2 S I dan S                      Maka didapatkan nilai eigen untuk   1 S         dan   2 I S              . Berdasarkan tabel 2.1, titik kesetimbangan bebas penyakit akan stabil asimtotis jika i   untuk 1, 2 i  . Karena   1 S         dan   2 I S              maka I S            mengakibatkan 1 I S            dengan I S           adalah c R . Karena pada keadaan bebas penyakit      S S S S              , sehingga 43                        c I S S S c I S S S c I S c I S S S R R R R                                                                                         4.89 Sehingga bentuk lain dari bilangan reproduksi dengan tindakan pengendalian seperti yang disajikan dalam tabel 4.1 Tabel 4.1. Bilangan Reproduksi pada model SIR untuk influenza A H1N1 Model SIR dengan dinamika Bilangan Reproduksi Vaksinasi, pengobatan, karantina, dan isolasi          S c I S S R                        Karantina dan isolasi dengan             S q I S S R                    Vaksinasi dan pengobatan dengan S I S I            v R              Tanpa tindakan pengendalian dengan S I S I                 S R             44

4.3 Menentukan Stabilitas Global Model SIQ