12
2.4 Sistem Linearisasi
Untuk suatu persamaan diferensial taklinear, analisis kestabilan dilakukan melalui pelinearan. Misalkan diberikan persamaan diferensial taklinear sebagai
berikut [9] :
, :
n n
dy f y
f U dt
2.19
Dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk suatu titik kesetimbangan
y
, maka persamaan 2.19 dapat ditulis sebagai berikut :
dy Ay
y dt
2.20
Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial taklinear dengan
A
adalah matrik Jacobi,
|y 1
1 1
1 11
1 1
y n
n n
n n
n nn
A Df y
Df y f
f y
y f
f y
y a
a a
a
dan
y
suku berorde tinggi yang bersifat
lim
y
y
. Selanjutnya
Ay
pada persamaan 2.20 disebut sistem linearisasi dari 2.19 yang didapat dalam bentuk :
13 dy
Ay dt
2.21
2.5 Model SIR Dasar
Model dasar SIR menurut Hethcote [8], total populasi dianggap konstan dan dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu S adalah kelompok individu yang sehat dan
dapat terinfeksi, I adalah kelompok individu yang telah terinfeksi, dan R adalah kelompok individu yang telah sembuh dan kebal terhadap penyakit. Penyebaran
penyakit pada model SIR dapat disajikan dalam diagram alur pada gambar 2.1
Pada gambar 2.1 menunjukkan bahwa besarnya jumlah individu pada kelompok S yang memasuki kelompok I karena telah terinfeksi penyakit melalui
kontak adalah sebesar
SI
. Individu pada kelompok I yang telah sehat dari penyakit
sebesar
I
akan memasuki kelompok R. Misalkan mereka telah di asingkan dari populasinya. Persamaan yang diberikan
adalah Gambar 2.1. Diagram alur model SIR
Recovered R
Infected I
Susceptible S
SI I
14 1.
Laju penyebaran Susceptible akan menjadi Infected dalam satuan waktu, yaitu
dS SI
dt
2.22
2. Laju penyebaran Infected menjadi Recovered dalam satuan waktu, yaitu
dI SI
I dt
2.23 3.
Laju perubahan kesembuhan Recovered dalam satuan waktu, yaitu dR
I dt
2.24 dengan
t
menyatakan waktu, menyatakan konstanta penularan dari individu susceptible,
, menyatakan konstanta pemulihan,
Persamaan 2.22 menjelaskan bahwa individu rentan yang terinfeksi
sebanding dengan jumlah kontak antara individu dari S dan I dalam satuan waktu, dengan asumsi yang hanya bergantung dari jumlah masing-masing kelompok, yaitu
ada pencampuran seragam dari populasi. Persamaan 2.23 menjelaskan bahwa individu yang terinfeksi akan berkurang dan memasuki laju kesembuhan antara
individu dari I dan R dalam satuan waktu. Asumsi pada persamaan 2.24 adalah tingkat dimana individu tidak dapat menularkan penyakit sebanding dengan jumlah
yang terinfeksi. Ini merupakan rata-rata proses dimana individu-individu tertentu
15 dalam jangka waktu yang berbeda untuk mencapai keadaan dimana mereka tidak
menularkan infeksi. Dengan persamaan total populasi adalah
N t S t
I t R t
2.25
dengan N adalah total populasi.
2.6 Bilangan Reproduksi
Kategori