Persamaan Diferensial LANDASAN TEORI

6

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial adalah Persamaan yang melibatkan variabel-variabel takbebas dan derivatif-derivatifnya terhadap variabel-variabel bebasnya. Persamaan Diferensial dibagi menjadi dua bentuk, yaitu Persamaan Diferensial Biasa PDB dan Persamaan Diferensial Parsial PDP. Perbedaan keduanya terletak pada jumlah variabel bebasnya. PDB melibatkan satu variabel bebas sedangkan PDP melibatkan lebih dari satu variabel bebas. Suatu PDB berorde-n dapat ditulis dalam bentuk [5] :       1 t, , , , , n n y F y y y y   2.1 dengan   1 , , , , , n n y y y y y  fungsi yang semua nilainya ditentukan oleh waktu t . PDB orde satu dapat ditulis dalam bentuk [5] :   t, y F y  .2.2 Suatu persamaan diferensial linear berorde-n dapat ditulis dalam bentuk [5] :               1 1 1 n n n n a t y a t y a t y a t y f t        2.3 dengan barisan         1 1 , , , , n n a t a t a t a t  dan   f t adalah fungsi dari t . Persamaan Diferensial Linier dapat ditulis dalam bentuk [4] :     y p t y g t   2.4 7 dengan   p t dan   g t adalah fungsi dari waktu t . Untuk mendapatkan faktor integrasi, yaitu dengan cara mengalikan fungsi   t  dinyatakan sebagai berikut :           y t t p t y t g t      2.5 Dengan menggunakan kombinasi       y t y t y t          kita harus menambahkan dan mengurangi dengan   t y  pada persamaan 2.5 di ruas sebelah kiri dinyatakan sebagai berikut :               y t y t y t t p t y t g t          2.6 Sekarang jika kondisi kedua pada ruas sebelah kiri adalah nol, maka persamaan 2.6 menjadi       t y t g t        2.7 dan ruas sebelah kiri akan di integralkan. Untuk mencapai situsai ini kita harus memilih  menjadi       t t p t     2.8 Jika kita asumsikan  positif, maka kita dapat menuliskan persamaan 2.8 menjadi       t p t t    atau     ln d t p t dt   2.9 Maka 8     ln t p t dt k     2.10 Dengan memilih konstanta k menjadi nol, diperolehlah fungsi untuk  , yaitu     exp t p t dt    2.11 dengan     exp t p t dt    merupakan faktor integrasi [4]. Pada persamaan 2.4 pula   p t dapat dinyatakan sebagai matriks A berukuran n n  dengan koefisien konstan dan   g t dinyatakan sebagai vektor konstan b sehingga diperoleh bentuk persamaan diferensial linear sebagai berikut: , dy Ay b dt     y y  2.12 dari persamaan 2.12, dan y adalah matriks kolom, sehingga 1 11 12 1 1 21 22 2 2 2 1 2 n n n n nn n n b a a a y a a a y b a a a y b                                       atau 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n b a y a y a y b a y a y a y b a y a y a y                dengan ij a untuk , 1, 2, , i j n  adalah bilangan riil [6]. 9 Dari persamaan 2.12, misalkan suatu matriks A berukuran n n  dan suatu vektor taknol y di n yang dinyatakan dalam bentuk : Ay y   2.13 Vektor y disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen  . Untuk mencari nilai eigen dari matriks A , maka persamaan 2.13 dapat ditulis sebagai berikut :   A y I    2.14 Dengan I adalah matriks identitas berukuran n n  . Persamaan 2.14 mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika :   det A I    2.15 Persamaan 2.15 disebut persamaan karakteristik dari A [6].

2.2 Ruang Dimensi