20
BAB IV PEMBAHASAN
4.1 Penentuan Asumsi dan Pemodelan SIR
Model SIR yang digunakan dalam tulisan ini diturunkan ulang dari model SIR klasik yang mengacu pada Hethcote [8] dengan memperhatikan faktor pengaruh
vaksinasi, karantina, isolasi dan terapi obat antivirus. Asumsi atau batasan yang digunakan dalam penyebaran penyakit menurut Hethcote [8] adalah
1. Jumlah populasi diasumsikan cukup besar dan tertutup, sehingga tidak ada
populasi yang masuk atau keluar dari populasi tersebut. Total populasi diasumsikan konstan.
2. Model SIR memperhatikan faktor kelahiran dan kematian dengan jumlah
kelahiran dan jumlah kematian tiap satuan waktu dianggap sama yang dipengaruhi oleh vaksinasi, karantina, isolasi, dan terapi obat antivirus. Tiap
individu yang baru lahir diasumsikan dapat terinfeksi penyakit karena belum kebal terhadap penyakit.
3. Populasi bercampur secara homogen yang mempunyai kemungkinan yang sama
dalam melakukan kontak dengan individu lain. 4.
Individu yang terinfeksi penyakit dapat sembuh dan dapat meninggal dunia akibat penyakit.
5. Diasumsikan hanya terdapat satu penyakit yang menyebar dalam populasi.
21 Penyebaran swine influenza pada populasi manusia diasumsikan memiliki
jumlah konstan dan dalam satu periode waktu wabah serta dibagi menjadi tiga kelompok. Pertama adalah populasi yang sehat namun rentan terhadap penyakit yang
disebut susceptible S. Kedua adalah populasi yang terinfeksi yang disebut infected I. Kelompok populasi ketiga adalah populasi yang telah sembuh dari penyakit swine
influenza dan menjadi kebal sehingga tidak akan terinfeksi kembali swine influenza yang disebut recovered R. Pada saat t misalkan suatu populasi terdiri dari
susceptible S, infected I, dan recovered R. Kemudian St menyatakan proporsi individu rentan pada saat t, It menyatakan proporsi individu terinfeksi pada saat t,
Rt menyatakan proporsi individu sembuh pada saat t, dan N adalah total populasi. Karena total populasi konstan, sehingga
S t I t
R t N t
.
Berdasarkan asumsi kedua bahwa laju kelahiran sama dengan laju kematian sehingga individu yang lahir dan mati dalam populasi mempunyai laju
μ. Sehingga jumlah populasi yang mengalami kematian dalam tiap kelompok S, I, dan R masing-
masing sebesar μS, μI, dan μR. Dengan demikian laju μ pada populasi adalah
S I
R S
I R
N
Diagram alur penyebaran penyakit swine influenza digambarkan sebagai
berikut:
22 Secara umum, model epidemiologi penyebaran penyakit swine influenza
sebagai berikut: 1.
Laju penyebaran susceptible dengan pengaruh penyebaran penyakit akan menjadi infected dalam satuan waktu, yaitu
S S
S
dS Q
dt SI
S
4.1
2. Laju penyebaran infected menjadi recovered dalam satuan waktu, yaitu
I
dI SI
I dt
4.2
3. Laju perubahan kesembuhan recovered dalam satuan waktu, yaitu
I I
dR I
Q R
dt
4.3
Gambar 4.1. Diagram alur model SIR dengan pengaruh Vaksinasi, karantina, isolasi, dan terapi obat antivirus
I S
R
Q
I
Q
S
T V
SI I
+ I
S
V
S
Q
S
Q
S
S
S
S I
T Q
I
R
I
I
I
Q
I
23 4.
Laju susceptible dengan pengaruh karantina dalam satuan waktu, yaitu
S S
S S
dQ S
Q dt
4.4
5. Laju infected dengan pengaruh isolasi dalam satuan waktu, yaitu
I I
I I
dQ I
Q dt
4.5
6. Laju susceptible dengan pengaruh vaksinasi dalam satuan waktu, yaitu
dV S
V dt
4.6 7.
Laju infected dengan pengaruh obat antivirus dalam satuan waktu, yaitu dT
I T
dt
4.7
8. Laju total populasi dalam satuan waktu dengan
S I
N S
I Q
R Q V
T
, yaitu
S I
S I
S S
S I
S S
S I
I I
I I
S I
S I
d S I
Q R
Q V
T dN
dt dt
dQ dQ
dS dI
dR dV
dT dt
dt dt
dt dt
dt dt
SI S
Q SI
I S
Q I
Q R
I Q
S V
I T
S I
Q R
Q V
T I
S I
Q R
Q V
T I
N I
24 dengan
S
Q
menyatakan individu pada populasi susceptible yang di karantina
I
Q
menyatakan individu pada populasi infected yang di isolasi V menyatakan individu pada populasi susceptible yang di vaksinasi
T
menyatakan individu pada populasi infected yang di terapi obat antivirus
menyatakan jumlah kematian pada individu susceptible, susceptible yang di karantina, susceptible yang di vaksinasi, infected, infected yang di isolasi,
infected yang di terapi obat antivirus, dan recovered
menyatakan jumlah calon individu susceptible
menyatakan konstanta kematian terkait penyakit individu yang terinfeksi menyatakan konstanta vaksinasi pada populasi susceptible
menyatakan konstanta pengobatan antivirus pada individu infected
S
menyatakan konstanta karantina pada individu susceptible
I
menyatakan konstanta untuk individu yang meninggalkan kelompok I ke kelompok isolasi
S
menyatakan konstanta dimana kembalinya dari kelompok karantina ke kelompok susceptible
I
menyatakan konstanta dimana individu pulih kembali ke kelompok recovered
25 Karena
dN N
I dt
dan belum terinfeksi penyakit pada saat t
,
maka dN
dN N
N dt
dt
. Misalkan
p t
,
g t dan
p t dt t
t e
e
dengan menggunakan faktor integrasi, sehingga
t t
t t
t
dN t
t p t N t g t
dt t N
t N t
t p t N
t g t t N
t t p t N
t g t t N
t g t t N
t g t dt e N
e dt
e N e
c N
ce
Dengan t
artinya ukuran populasi N akan mendekati
. Sehingga solusi persamaan 4.1 sampai dengan 4.7 didefinisikan oleh
7
, , , ,
, , , ,
, , , ,
0,
S I
S I
S I Q R Q V T S I Q R Q V T N
4.8
R
26
4.2 Menentukan Titik Kesetimbangan Pemodelan SIR
Kategori