Total Unimodularitas dari Matriks Transportasi Karakteristik Persoalan Transportasi

2.3 Total Unimodularitas dari Matriks Transportasi

Suatu matriks transportasi dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut : Kendala sumber 9 Kendala tujuan Matriks Koefisien PersoalanTransportasi Satu sifat yang paling penting yang dimiiki oleh matriks transportasi adalah sifat total unimodular. Matriks Α adalah total unimodular jika determinan dari setiap submatriks bujursangkar yang dibentuk dari matriks Α memiliki nilai -1, 0 atau 1. Dalam kasus matriks transportasi, karena semua entrinya 1 atau 0 maka setiap submatriks berukuran 1 1 x memiliki determinan bernilai 1 atau 0. Selanjutnya, submatriks yang berukuran m n x m n + + memiliki determinan bernilai 0 karena 1 rank m n = + − Α . Terakhir akan ditunjukkan bahwa suatu submatriks 1 kxk k m juga memunuhi sifat ini. Andaikan k Α adalah suatu submatriks berukuran kxk dari Α . Harus ditunjukkan bahwa det 1 k = ± Α atau 0. Dengan induksi pada k , andaikan bahwa sifat benar untuk 1 k − Α jelas sifat ini benar untuk 1 Α . Ingat kembali bahwa setiap kolom dari k Α mungkin tidak memiliki entri 1, memiliki sebuah entri 1 atau memiliki dua entri 1. 1. Jika suatu kolom k Α tidak memiliki entri 1 maka k det = Α 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1               =                               Α Universitas Sumatera Utara 2. Jika, dalam kasus lain, suatu kolom dari k Α memiliki dua entri 1, maka satu dari entri 1 akan muncul pada baris sumber dan entri 1 lainnya akan muncul pada baris tujuan. Dalam kasus ini jumlah dari baris sumber dari k Α sama dengan jumlah dari baris tujuan dari k Α . Sehingga baris dari k Α adalah bergantung linier dan k det = Α . 3. Terakhir, jika suatu kolom dari k Α memiliki sebuah entri 1 maka ekspansi det k Α dengan minor dari kolomnya, diperoleh : 1 det det k k − = ± Α Α di mana 1 k − Α adalah submatriks berukuran 1 1 k x k − − . Tetapi oleh hipotesis induksi, 1 det 1 k − = ± Α atau 0. Sehingga sifat ini benar untuk k Α dan hasil ditunjukkan.

2.4 Karakteristik Persoalan Transportasi

Seperti telah dijelaskan sebelumnya, persoalan transportasi merupakan tipe khusus dari persoalan program linear. Dikatakan demikian karena persoalan transportasi memiliki beberapa karakter atau sifat yang membedakannya dengan persoalan program linear lainnya, diantaranya : 2.4.1. Persoalan transportasi cenderung memiliki variabel dan konstrain yang cukup banyak. Hal ini dapat dimaklumi karena kegiatan dari persoalan transportasi yang mengalokasikan suatu komoditi dari sejumlah sumber dengan kapasitas yang berbeda-beda dan masing-masing sumber ke sejumlah tujuan yang membutuhkan komoditi itu dengan tingkat kebutuhan yang berbeda-beda pula. Karena itu penyelesaian persoalan tranportasi dengan menggunakan metode penyelesaian program linear biasa, seperti simpleks, menjadi tidak efektif digunakan karena penggunaan metode simpleks memerlukan penambahan variabel surplusslack dan variabel artificial yang akan menambah penghitungan dalam penyelesaiannya. Universitas Sumatera Utara 2.4.2. Adanya hubungan keseimbangan. Dalam persolan transportasi umumnya diasumsikan bahwa total sumber harus sama dengan total tujuan. Namun dalam persoalan nyata hal ini tentunya tidak selamanya bisa terpenuhi, akan tetapi persoalan tersebut dapat dijadikan seimbang dengan menambah sumber dummy atau tujuan dummy. Bila total sumber a lebih besar dari total tujuan b maka tambahkan variabel dummy pada tujuan sebesar selisih dari total sumber dan total tujuan, yaitu sebesar a – b. Sebaliknya, bila total tujuan b lebih besar dari total sumber a, maka tambahkan variabel dummy pada sumber sebesar selisih dari total tujuan b dan total sumber a, yakni sebesar b – a. Dan perlu diingat bahwa sesungguhnya tidak ada terjadi pengalokasian ke sumber atau tujuan dummy ini, sehingga biaya yang ditimbulkan juga tidak ada, atau c ij adalah bernilai 0.

2.5 Solusi Persoalan Transportasi