Algoritma Arsham-Kahn Analisis Sensitivitas Pada Persoalan Transportasi Dengan Pendekatan Diferensial Kalkulus

persoalan transportasi untuk mengetahui apakah solusi yang diperoleh sudah optimal atau belum. Ada 2 metode yang dapat digunakan dalam uji optimalitas ini, yaitu metode Batu Loncatan dan metode Distribusi yang dimodifikasi MODI. Metode- metode diatas merupakan metode yang umum digunakan untuk menyelesaikan persoalan transportasi. Namun pada tulisan ini seperti telah dijelaskan di muka akan digunakan algoritma Arsham-Khan untuk menyelesaikan persoalan transportasi.

2.5.2. Algoritma Arsham-Kahn

Ada beberapa keunggulan algoritma ini, yaitu : 1. Tidak ada variabel artificial seperti dalam simpleks atau penambahan variabel slacksurplus seperti dalam dual simpleks 2. Semua analisis postoptimal tersedia 3. Terlihat lebih cepat dari metode program linear lainnya 4. Kesederhanaannya: hanya menggunakan Gauss Jourdan Pivotting. Sebelum menguraikan langkah-langkah penyelesaian dengan algoritma ini, terlebih dahulu diperkenalkan notasi-notasi yang akan dipergunakan. PT : persoalan transportasi PL : program linear SS : stepping-stone GJP : Gauss-Jourdan Pivotting VB : variabel basis HVB : himpunan variabel basis FE : fisibelitas BP : baris pivot baris yang ditentukan untuk variabel masuk KP : kolom pivot kolom yang berhubungan dengan variabel masuk EP : elemen pivot BT : baris terbuka sebuah baris yang belum diisi variabel basis ; diberi label [?] [?] : label untuk baris yang belum diisi variabel basis baris terbuka NSK : nilai sebelah kanan KB : rasio kolom, yakni NSKKP 14 Universitas Sumatera Utara Algoritma ini dimulai dengan inisialisasi persiapan dan diikuti oleh dua tahapan. Tahap pertama merupakan iterasi VB untuk membangun HVB yang mungkin fisibel atau tidak. Tahap kedua merupakan iterasi FE untuk membangun solusi yang fisibel dan optimum. Kedua tahapan ini menggunakan transformasi GJP. Akan tetapi berbeda dalam metode memilih EP. Iterasi VB menggunakan kriteria simpleks, yang dimodifikasi hanya untuk memilih baris terbuka yang belum diisi VB. Strategi ini membawa kepada tercapainya titik optimal, dan terkadang menyebabkan ketidakfisibelan. Iterasi FE, jika dibutuhkan, membawa kembali solusi kepada fisibelitas dengan menggunakan kriteria dual simpleks untuk memilih EP. Jelas, dalam suatu persoalan transportasi yang setimbang, satu dari m+n konstrain adalah berlebih. Dari pada mengeliminasi konstrain secara sebarang, maka pada algoritma ini dieliminasi konstrain yang akan lebih banyak memberikan pengurangan jumlah iterasi pada tahap pertama. Adapun dalam tahapan-tahapan ini masing-masing dapat dikelompokkan berdasarkan operasi yang menambah keefisienan dalam pengerjaannya. Langkah 0.1 dan 0.2 mengeliminasi konstrain yang akan lebih banyak mengurangi jumlah iterasi. Kelompok kedua terdiri dari tiga operasi: 1.2c, 2.2a dan 2.2d, yang bersama-sama secara progresif mengurangi ukuran tabel. Iterasi 0 Persiapan 0.0 – Formulasi matriks-biaya PT 0.1 – Reduksi baris-kolom atau reduksi kolom-baris Dari setiap baris kurangkan terhadap biaya terkecil. Akumulasi pengaruh dari setiap reduksi baris menjadi biaya awal. Demikian, dari setiap kolom kurangkan terhadap biaya terkecil. Akumulasi pengaruh dari setiap reduksi kolom menjadi biaya awal. 0.2 – Eliminasi konstrain berlebih Periksa baris atau kolom yang memiliki nilai nol terbanyak Eliminasi konstrain tersebut. 0.3 – Bentuk tabel simpleks Universitas Sumatera Utara Gunakan sebuah baris untuk setiap konstrain dan sebuah kolom untuk setiap variabel. Jangan menambahkan variabel artificial 0.4 – Tentukan HVB Untuk setiap kolom yang merupakan vektor satuan, beri label baris dengan nama variabel pada kolom tersebut. Beri label baris yang lain dengan tanda tanya ?. 0.5 – Hapus kolom VB. Iterasi 1 Tahap VB 1.0 – Uji terminasi iterasi HVB Jika terdapat label ? atau terdapat baris terbuka, maka lanjutkan iterasi VB. Jika tidak HVB telah lengkap; mulai tahap FE langkah 2.0. 1.1 – Pilih VB dari EP KP : Pilih nilai C ij terkecil dan tetapkan sebagai bakal kolom. BP : Pilih baris terbuka sebagai bakal baris. EP : Pilih bakal baris dan kolom dengan KB non-negatif terkecil. Jika tidak ada KB non-negatif, pilih KB yang bernilai absolut terkecil. Jika elemen pivotnya bernilai nol, maka pilih C ij terbaik selanjutnya. 1.2 – Penambahan HVB a Lakukan GJP. b Ubah label baris ? dengan nama variabel. c Pindahkan KP dari tabel. Lanjutkan iterasi HVB kembali ke 1.0 Iterasi 2 Tahap FE 2.0 – Uji terminasi iterasi FE Jika NSK non-negatif, maka tabel sudah optimal. Interpretasikan hasilnya. Jika terdapat NSK negatif maka lanjutkan iterasi FE langkah 2.1. 2.1 – Pilih FE dari EP BP : Baris dengan NSK paling negatif . KP : Kolom dengan sebuah elemen negatif pada BP. Pilih kolom dengan C ij terkecil. 16 Universitas Sumatera Utara 2.2 – Transformasi FE a Simpan KP di luar tabel. b Lakukan PGJ biasa. c Tukarkan label KP dan BP. d Ganti KP baru dengan KP lama yang disimpan dalam a. Lanjutkan iterasi FE kembali ke 2.0 Bagian Akhir Algoritma Tahap pertama dari algoritma ini dapat digolongkan sebagai pencarian himpunan variabel basis yang menuju kepada titik optimal. Tahap kedua, jika diperlukan, membawa kembali kepada fisibelitas. Pada kedua tahapan tersebut digunakan Gauss- Jourdan pivoting. Namun, kriteria pemilihannya berbeda untuk tiap tahap. Tahap pertama menggunakan kriteria simplek biasa, dibatasi hanya memilih baris terbuka. Jika diperlukan, fisibelitas ditiadakan. Tahap kedua menggunakan kriteria dual simpleks biasa, dan memastikan penghentian algoritma. Garis Besar Pembuktian Algoritma Dasar teori dari algoritma ini secara luas terletak pada sifat unimodular dari matriks koefisien dalam tabel simpleks persoalan transportasi; yaitu nilai-nilai koefisiennya adalah 0, -1 atau 1. Dengan menggunakan ketentuan bahwa matriks unimodular tetap unimodular setelah dilakukan Gauss-jourdan pivoting. Berdasarkan formulasi program linear, optimalitas diperoleh ketika semua C ij non-negatif dan algoritma berakhir. Algoritma ini dimulai dengan semua C ij non-negatif. Terlihat bahwa, dengan menggunakan operasi yang diberikan untuk memperoleh solusi basis dan fisibel, C ij tetap non-negatif. Langkah 0.1 : jelas, dengan reduksi baris-kolom kolom-baris matriks biaya, sifat non-negatif dari C ij ini tetap terjaga. Langkah 0.2 : jumlah variabel basis terbaca yang ada sama dengan jumlah C ij = 0 pada baris kolom yang berhubungan dengan kendala yang terpilih untuk dieliminasi sebagai kendala berlebih. 17 Universitas Sumatera Utara Langkah 0.5 : menghapus kolom basis, diijinkan jika variabel tersebut ditambahkan menjadi sebuah basis, bukan mengganti variabel. Hal ini mengurangi kompleksitas secara signifikan, dan tabel yang dihasilkan lebih kecil dari ukurannya. Langkah 1.1 : kriteria pemilihan. Dengan memilih C ij terkecil menjamin bahwa himpunan C ij tetap non-negatif setelah pivoting. Jika pivoting tidak memungkinkan tidak terdapat CR yang berhinggafinite, pilih C ij terkecil selanjutnya. Akan tetapi, nilai dari C ij terkecil tidak berubah karena elemen baris pivot pada kolom tersebut adalah nol. Langkah 2.1 : jika ada sebuah NSK 0, maka terdapat paling sedikit satu elemen bernilai -1 pada baris itu. Jika ini tidak terjadi, maka konstrainnya tidak konsisten atau berlebih, yang tidak mungkin terjadi pada formulasi program linear persoalan transportasi.

2.5.3 Eliminasi Gauss-Jourdan