Sebagai tambahan untuk syarat linear, ditetapkan batasan non-negatif yang berarti variabel tidak boleh berharga negatif. Sehingga tidak mungkin diperoleh
sumber yang negatif.
2.1. Persoalan Transportasi
Persoalan tranportasi merupakan suatu persoalan yang membahas masalah pendistribusian suatu komoditi atau produk dari sejumlah sumber supply ke
sejumlah tujuan demand dengan tujuan meminimumkan ongkos pengangkutan yang terjadi. Suatu persoalan transportasi memiliki model sebagai berikut.
2.2. Model Persoalan Transportasi
Persoalan umum transportasi dapat dinyatakan dalam representasi jaringan berikut:
S
1
C
ij
, X
ij
D
1
S
2
D
2
. . . .
S
m .
. D
n
Gambar Representasi Jaringan Model Persoalan Transportasi
2.2.1. Definisi Model Tsransportasi
Berdasarkan gambar diketahui bahwa terdapat m sumber dan n tujuan, masing-masing dinyatakan oleh sebuah node. Node-node tersebut dihubungkan oleh garis atau panah.
Panah i,j yang menghubungkan sumber i ke tujuan j membawa 2 jenis informasi: biaya transportasi C
ij
, dan jumlah yang diangkut X
ij
. Jumlah supply pada sumber i adalah S
i
dan jumlah demand pada tujuan j adalah D
j
. Tujuan dari model tersebut 1
2
m 1
2
n 6
Universitas Sumatera Utara
adalah untuk menentukan X
ij
yang belum diketahui yang akan meminimumkan total biaya transportasi C
ij
dan memenuhi semua batasan supply dan demand.
2.2.2. Model Matematika
Andaikan terdapat m pusat sumbersupply dan n pusat tujuandemand. Suatu produk x akan diangkut dari sumber i ke tujuan j i = 1, 2, …, m dan j = 1, 2, …, n dengan
ongkos angkut per unit sebesar C
ij
, maka jumlah produk sebesar X
ij
dikirimkan dari pusat sumber S
i
ke pusat tujuan D
j
, sehingga model matematika persolan transportasi adalah sebagai berikut:
Fungsi tujuan
1 1
m n
ij ij
i j
Min Z c x
= =
=
∑∑
1 Dengan kendala:
1 1
1 1
, 1, 2,...,
, 1, 2,...,
m ij
i i
n ij
j j
m n
i j
i j
ij
x S
j n
x D
i m
S D
x
= =
= =
= =
= =
= ≥
∑ ∑
∑ ∑
2
di mana: X
ij
adalah peubah pengambil keputusan, dalam hal ini jumlah produk yang diangkut dari titik sumber i ke titik tujuan j
S
i
adalah jumlah yang disediakan untuk diangkut supplysumber dari titik sumber i D
j
adalah jumlah yang diminta untuk didatangkan demandkebutuhan di titik tujuan j C
ij
adalah ongkos pengangkutan per unit produk x
ij
yang bersangkutan m adalah jumlah pusat sumber
n adalah jumlah pusat permintaantujuan. Dalam keadaan di mana jumlah sumber tidak sama dengan jumlah permintaan maka
diperoleh model khusus persoalan sebagai berikut: 7
Universitas Sumatera Utara
Fungsi tujuan
1 1
m n
ij ij
i j
Min Z c x
= =
=
∑∑
Dengan kendala:
, 1
1
1, 2,..., ,
1, 2,...,
m ij
i i
n ij
j j
ij
x S
j n
x D i
m x
= =
≤ =
≥ =
≥
∑ ∑
3
Persoalan transportasi juga dapat dinyatakan dalam bentuk matriks:
Fungsi tujuan :
1 1
m n
ij ij
i j
Min C X
= =
∑∑
4 Dengan batasan:
Ax
≤ b
5 x
≥ di mana :
1 2
, 1
2
S , , ...,
, , ...,
T m
n
S S
D D
D =
− −
−
b
adalah vektor ruas kanan pembatas
Α
= matriks koefisien persoalan transportasi
Berdasarkan P. Siagian, untuk m persamaan kendala sumber dan n persamaan kendala tujuan maka total kendala sebanyak m+n sistem kendala, tetapi hanya m+n-
1 persamaan yang bebas, sedang satu lagi boleh yang mana saja merupakan persamaan yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari persamaan lainnya,
atau dengan kata lain salah satu kendala merupakan kendala yang berlebih. Ini dapat dilihat dari sifat keseimbangan persoalan transportasi, yaitu :
1 1
m n
i j
i j
S D
= =
=
∑ ∑
sehingga :
1 1
1 1
m n
m n
ij ij
i j
i j
X X
= =
= =
=
∑∑ ∑∑
6 8
Universitas Sumatera Utara
atau :
1 1
1 1
1 m
n m
n ij
in ij
i j
i j
X X
X
− =
= =
=
+ =
∑ ∑ ∑∑
7 akhirnya :
1 1
1 1
1 1
m m
n m
n in
ij ij
i i
j i
j
X X
X
− =
= =
= =
= −
∑ ∑∑
∑∑
8
Dari hasil diatas ditunjukkkan bahwa persamaaan pada ruas kiri yaitu persamaan ke-n dapat dinyatakan sebagai kombinasi dari persamaan pada ruas kanan,
atau dengan kata lain sesungguhnya persamaan ke-n sudah terpenuhi berdasarkan persamaan pada ruas kanan. Karena itu persamaan ke-n dapat disingkirkan dari sistem,
sehingga hanya ada m+n-1 persamaan yang benar-benar bebas artinya berbeda satu dengan yang lain.
Menurut teori program linear, jika sistem kendala terdiri dari m+n-1 persamaan bebas dengan mn variabel, maka variabel basis yaitu variabel yang tidak
berharga nol
ij
x ≠
, terdiri dari m+n-1 variabel dan variabel nonbasis ada sebanyak mn – m+n-1 = m-1n-1 buah yaitu untuk
ij
x
= 0. Karena itu jawab layak basis yang terdiri dari variabel
≠ , tidak lebih dari m+n-1 variabel, diantaranya tentu terdapat satu jawab layak basis optimal.
Sebagai ilustrasi, jika terdapat dua daerah sumber A
1
dan A
2
dan tiga daerah tujuan, T
1
, T
2
dan T
3.
Masing-masing sumber memiliki kapasitas 50 dan 70 satuan. Sedangkan daerah tujuan masing-masing memiliki kebutuhan sebanyak 40, 60 dan 20
satuan. Maka jika daerah sumber A
1
telah mengirimkan sebanyak 50 satuan dan sumber A
2
telah mengirimkan sebanyak 70 satuan, dan juga jika daerah tujuan T
1
dan T
2
masing-masing telah menerima 40 dan 60 satuan, maka daerah tujuan T
3
dengan sendirinya harus menerima sisanya yaitu 20 satuan. Karena itu daerah tujuan T
3
adalah kendala yang berlebihan. Jadi, hanya ada empat persamaan bebas yaitu persamaan A
1
, A
2
, T
1
dan T
2
, karena itu hanya ada empat variabel basis. 9
Universitas Sumatera Utara
2.3 Total Unimodularitas dari Matriks Transportasi
Suatu matriks transportasi dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut :
Kendala sumber
9
Kendala tujuan
Matriks Koefisien PersoalanTransportasi
Satu sifat yang paling penting yang dimiiki oleh matriks transportasi adalah sifat total unimodular. Matriks
Α
adalah total unimodular jika determinan dari setiap submatriks bujursangkar yang dibentuk dari matriks
Α
memiliki nilai -1, 0 atau 1.
Dalam kasus matriks transportasi, karena semua entrinya 1 atau 0 maka setiap submatriks berukuran
1 1 x
memiliki determinan bernilai 1 atau 0. Selanjutnya, submatriks yang berukuran
m n x m n +
+ memiliki determinan bernilai 0 karena 1
rank m n
= + −
Α . Terakhir akan ditunjukkan bahwa suatu submatriks
1 kxk
k m
juga memunuhi sifat ini.
Andaikan
k
Α adalah suatu submatriks berukuran
kxk
dari
Α
. Harus ditunjukkan bahwa det
1
k
= ± Α
atau 0. Dengan induksi pada
k
, andaikan bahwa sifat benar untuk
1 k
−
Α jelas sifat ini benar untuk
1
Α . Ingat kembali bahwa setiap kolom dari
k
Α mungkin tidak memiliki entri 1, memiliki sebuah entri 1 atau memiliki dua entri 1.
1. Jika suatu kolom
k
Α tidak memiliki entri 1 maka
k
det =
Α 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
=
Α
Universitas Sumatera Utara
2. Jika, dalam kasus lain, suatu kolom dari
k
Α memiliki dua entri 1, maka satu dari entri 1 akan muncul pada baris sumber dan entri 1 lainnya akan muncul
pada baris tujuan. Dalam kasus ini jumlah dari baris sumber dari
k
Α sama dengan jumlah dari baris tujuan dari
k
Α . Sehingga baris dari
k
Α adalah bergantung linier dan
k
det =
Α
. 3. Terakhir, jika suatu kolom dari
k
Α memiliki sebuah entri 1 maka ekspansi det
k
Α dengan minor dari kolomnya, diperoleh :
1
det det
k k
−
= ± Α
Α
di mana
1 k
−
Α adalah submatriks berukuran 1
1 k
x k −
− . Tetapi oleh hipotesis induksi,
1
det 1
k −
= ± Α
atau 0. Sehingga sifat ini benar untuk
k
Α dan hasil ditunjukkan.
2.4 Karakteristik Persoalan Transportasi
Seperti telah dijelaskan sebelumnya, persoalan transportasi merupakan tipe khusus dari persoalan program linear. Dikatakan demikian karena persoalan transportasi
memiliki beberapa karakter atau sifat yang membedakannya dengan persoalan program linear lainnya, diantaranya :
2.4.1. Persoalan transportasi cenderung memiliki variabel dan konstrain yang cukup banyak. Hal ini dapat dimaklumi karena kegiatan dari persoalan transportasi
yang mengalokasikan suatu komoditi dari sejumlah sumber dengan kapasitas yang berbeda-beda dan masing-masing sumber ke sejumlah tujuan yang
membutuhkan komoditi itu dengan tingkat kebutuhan yang berbeda-beda pula. Karena itu penyelesaian persoalan tranportasi dengan menggunakan metode
penyelesaian program linear biasa, seperti simpleks, menjadi tidak efektif digunakan karena penggunaan metode simpleks memerlukan penambahan
variabel surplusslack dan variabel artificial yang akan menambah penghitungan dalam penyelesaiannya.
Universitas Sumatera Utara
2.4.2. Adanya hubungan keseimbangan. Dalam persolan transportasi umumnya diasumsikan bahwa total sumber harus sama dengan total tujuan. Namun
dalam persoalan nyata hal ini tentunya tidak selamanya bisa terpenuhi, akan tetapi persoalan tersebut dapat dijadikan seimbang dengan menambah sumber
dummy atau tujuan dummy. Bila total sumber a lebih besar dari total tujuan b maka tambahkan variabel dummy pada tujuan sebesar selisih dari total sumber
dan total tujuan, yaitu sebesar a – b. Sebaliknya, bila total tujuan b lebih besar dari total sumber a, maka tambahkan variabel dummy pada sumber sebesar
selisih dari total tujuan b dan total sumber a, yakni sebesar b – a. Dan perlu diingat bahwa sesungguhnya tidak ada terjadi pengalokasian ke sumber atau
tujuan dummy ini, sehingga biaya yang ditimbulkan juga tidak ada, atau c
ij
adalah bernilai 0.
2.5 Solusi Persoalan Transportasi
Sebelum menguraikan metode penyelesaian, diberikan beberapa definisi sebagai referensi persoalan transportasi :
Solusi fisibel, merupakan himpunan alokasi non-negatif
ij
X ≥
yang memenuhi kendala baris dan kolom.
Solusi fisibel awal, merupakan sebuah solusi fisibel dengan jumlah alokasi positifnya adalah m+n-1 untuk suatu persoalan dengan m sumber dan n tujuan.
Solusi optimal, adalah sebuah solusi yang meminimumkan biaya alokasi.
Seperti dalam metode simpleks, model-model transportasi juga diselesaiakan dengan menggunakan sebuah tabel. Andaikan terdapat m daerah sumber; serta n
daerah tujuan; dengan biaya transportasi dari sumber i ke tujuan j adalah C
ij
i = 1, 2, …, m dan j = 1, 2, …, n dan jumlah yang diangkut dari sumber i ke tujuan j adalah x
ij
i = 1, 2, …, m dan j = 1, 2, …, n. Maka bila disusun ke dalam sebuah bentuk tabel tranportasi diperoleh:
Universitas Sumatera Utara
Tabel 2.1 Tabel Persoalan Transportasi
Ke Dari
Tujuan Supply
1 2
… j
… n
S u
m b
e r
1
C
11
C
12
C
11
C
1n
S
1
X
11
X
1n
2
C
21
C
22
C
21
C
2n
S
2
X
21
X
22
X
21
X
2n
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.
i
C
i1
C
i2
C
ij
C
in
S
1
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
m
C
m1
C
m2
C
m 1
C
m n
Sm X
m1
X
m2
X
m1
X
mn
Demand D
1
D
2
D
j
D
n
ΣS
i
= ΣD
j
2.5.1. Tahapan Penyelesaian Persoalan Transportasi
2.5.1.1. Tahap penentuan solusi basis awal Ada 3 metode yang umum digunakan dalam penetuan solusi basis awal, yakni :
1. Metode Pojok Barat-Laut, metode ini bekerja cenderung lebih mudah dibanding metode lainnya, akan tetapi metode ini memiliki kelemahan karena lebih
menitikberatkan pada proses jadi nilai menjadi terabaikan, sehingga metode ini tidak memberikan solusi yang optimum.
2. Metode biaya sel minimum, metode ini bekerja dengan mengalokasikan sumber pada sel-sel yang memiliki biaya terkecil terlebih dahulu. Dibandingkan dengan
metode Northwest Corner, metode minimum cost biasanya lebih unggul dalam pencapaian nilai optimal. Secara logika hal ini dapat diterima karena metode
Northwest Corner tidak memperhitungkan biaya sama sekali dalam pengalokasiannya, sedangkan metode minimum cost memperhitungkan biaya.
3. Metode Pendekatan vogel, metode ini biasanya memberikan hasil yang lebih baik dibanding metode northwest corner dan minimum cost. Namun penyelesaian
dengan metode ini juga cenderung lebih kompleks.
2.5.1.2. Tahap uji optimalitas Tahap uji optimalitas mancakup penetuan entering variable dan leaving
variable. Tahap uji optimalitas merupakan tahap berikutnya dari teknik pemecahan 13
Universitas Sumatera Utara
persoalan transportasi untuk mengetahui apakah solusi yang diperoleh sudah optimal atau belum. Ada 2 metode yang dapat digunakan dalam uji optimalitas ini, yaitu
metode Batu Loncatan dan metode Distribusi yang dimodifikasi MODI. Metode- metode diatas merupakan metode yang umum digunakan untuk menyelesaikan
persoalan transportasi. Namun pada tulisan ini seperti telah dijelaskan di muka akan digunakan algoritma Arsham-Khan untuk menyelesaikan persoalan transportasi.
2.5.2. Algoritma Arsham-Kahn
