84
E. Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama Penggunaan Aturan Kombinasi
Perlu diketahui bahwa konteks permutasi dengan beberapa unsur sama dalam hal ini berbeda dengan permutasi yang telah dikemukakan sebelumnya. Letak perbedaannya ialah
pada susunan elemen-elemennya. Permutasi tanpa istilah tambahan bermakna sebagai susunan elemen-elemen dari suatu hasil eksperimen yang tidak membolehkan adanya
pengulangan elemen, sementara permutasi dengan beberapa unsur sama membolehkan adanya pengulangan elemen.
Masalah
Ada berapa cara kita dapat menuliskan susunan huruf yang berasal dari kata
MAMA
. Penyelesaian
Perhatikan bahwa huruf-huruf penyusun kata
MAMA
diambilkan dari himpunan {
M
,
A
} yaitu himpunan huruf-huruf abjad terdiri atas huruf
M
dan
A
. Unsur
M
dan
A
masing- masing diulang 2 kali pada kata
MAMA
. Berikut susunan huruf-huruf yang mungkin. 1.
MMAA
2.
MAMA M
1
A
1
M
2
A
2
3.
AMMA M
2
A
2
M
1
A
1
4.
AMAM M
1
A
2
M
2
A
1
5.
AAMM M
2
A
1
M
1
A
2
6.
MAAM
Dengan demikian, maka ada 6 cara untuk menulis susunan huruf berbeda yang berasal dari kata
MAMA
. Sekarang dari diagram itu perhatikan bahwa
cabang 4
memuat indeks
diberi setelah
anggota 6
dari masing
- Masing
huruf banyaknya
sesuai indeks
diberi A
dan M
setelah permutasi
Seluruh 6
=
cabang 4
memuat anggota
6 dari
anggota masing
- masing
4 berlainan
huruf 4
dari huruf
4 permutasi
banyaknya 4
=
A dan
A dari
permutasi 2
M dan
M dari
permutasi 2
4
2 1
2 1
= 2
2 4
Contoh Lain
Ada berapa cara kita dapat menyusun secara berjajar 4 bendera merah, 2 bendera kuning dan 1 bendera biru.
Ada 6 cara
Gambar 26
85
Penyelesaian
Misalkan
MMMMKKB
adalah yang dimaksud sebagai 4 bendera merah, 2 bendera kuning dan 1 bendera biru.
Perhatikan susunan warna dari bendera-benderanya.
MMMMKKB
ada 7 bendera terdiri dari bendera merah :
M
= 4 buah bendera kuning :
K
= 2 buah bendera biru :
B
= 1 buah Sehingga :
Susunan bendera yang dapat dibuat dari bendera-bendera
MMMMKKB
adalah:
7 1
, 2
, 4
P
= cara.
105 2
. 4
4 .
5 .
6 .
7 1
2 4
7
Dengan rumusaturan kombinasi, pemikiran yang kita lakukan adalah seperti berikut.
Banyaknya cara mengambil 4 bendera
M
dari 7 bendera yang ditempati adalah
7 4
C
; sehingga sisanya tinggal 7 4 = 3 benderaobyek.
Banyaknya cara memperoleh 2 bendera
K
dari 7 4 = 3 bendera sisanya adalah
4 7
2
C
, sehingga sisa berikutnya tinggal 7 4 2 = 1 bendera yang ditempati.
Banyaknya cara memilih 1 bendera
B
dari 1 bendera sisa terakhirnya adalah
.
1 1
C
Sehingga banyaknya cara membentuk susunan bendera berlainan dari bendera-bendera
MMMMKKB
yakni
7 1
, 2
, 4
P
menurut aturan kombinasi adalah seperti berikut.
7 1
, 2
, 4
P
=
7 4
C
.
4 7
2
C
.
2 4
7 1
C
=
7 4
C
.
3 2
C
.
1 1
C
= 4
7 4
P
. 2
3 2
P
. 1
1 1
P
= 1
2 4
7 1
2 4
2.1 .
3 .
4 .
5 .
6 .
7
. Secara umum banyaknya cara membentuk susunan
n
obyek terdiri dari
n
1
obyek sama,
n
2
obyek sama, … dan seterusnya hingga
n
k
obyek sama menurut aturan kombinasi adalah:
n n
n n
k
P
, .
. .
, ,
2 1
=
1 2
1 2
1 3
1 2
1
...
... .
.
k k
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
C C
C C
= ...
. .
3 3
2 1
2 1
2 2
1 1
1 1
n n
n n
n n
n-n n
n n
n n-n
n n
n n
... ...
2 1
3 2
1 k
k k
n n
n n
n n
n n
n n
86 =
. ...
3 2
1 k
n n
n n
n Karena 0 = 1, maka:
...
3 2
1 ,...,
,
2 1
k n
n n
n
n n
n n
n P
k
dengan
n
=
n
1
+
n
2
+ … +
n
k
.
Rumus tersebut lebih dikenal sebagai
rumus permutasi dengan beberapa unsur sama
.
Pembuktiannya dilakukan dengan menggunakan
prinsip kombinasi
. F.
AturanPrinsip Kombinasi Masalah
Misalkan pada suatu ulangan matematika disediakan 6 nomor soal. Siswa diminta bebas memilih 4 nomor
soal diantara ke 6 nomor soal dengan syarat: 1 nomor soal
dari soal nomor 1 dan 2, dan 3 nomor soal
dari soal nomor 3, 4, 5, dan 6. Perintahnya adalah
a Gambarkan hasil-hasil yang mungkin nomor-
nomor soal yang mungkin dipilih untuk dikerjakan dalam bentuk diagram pohon,
b Ada berapa cara nomor-nomor soal yang mungkin dipilih untuk dikerjakan,
c Cermati dan nyatakan
n S
dalam bentuk perkalian faktor-faktornya.
Penyelesaian
Untuk memperjelas pemahaman, pertama kita gambarkan penyelesaiannya dalam bentuk diagram pohon, kedua memahami penalarannya. Cermati gambar peragaannya.
1 2
Kerjakan 1 nomor soal
diantaranya
4 5 6
3
Kerjakan 3 nomor soal
diantaranya
II I
Gambar 27
4 5 6
3
I II
1 2
Pilih secara bebas 1 nomor dari kel. I, dan
3 nomor dari kel. II. Obyek Eksp
Cara Eksp
1
2 I
3
4 5
3
4 6 4 5 6
3
4 5
3
4 6 4 5 6
II
1,3,4,5 =
s
1
1,3,4,6 =
s
2
1,4,5,6 =
s
3
2,3,4,5 =
s
4
2,3,4,6 =
s
5
2,4,5,6 =
s
6
S
No-no soal yg mungkin
2 cara
3 cara
Gambar 28
87 Perhatikan bahwa nomor-nomor soal pada:
kelompok I dapat dipilih dalam 2 cara, kelompok II dapat dipilih dalam 3 cara.
Ternyata banyaknya cara yakni
n S
= 6 terkait dengan
n
1
= 2 cara dan
n
2
= 3 cara. Yakni
n S
= 6 = 2 3.
Pertanyaannya adalah termasuk jenis apakah
permutasi
atau
kombinasi
atau
bukan keduanya
masing- masing titik sampel
s
1
,
s
2
,
s
3
, ... ,
s
6
di atas? Amati bahwa susunan elemen pada masing-masing titik sampel
s
1
,
s
2
,
s
3
, ... ,
s
6
di atas ternyata tidak memuat pengulangan elemen-elemen dari obyek eksperimen
O
= {soal kel I dengan soal kel II = {{1,2} {3,4,5,6}}.
Karena nomor- nomor soal yang mungkin dipilih untuk dikerjakan sesuai syarat-syarat yang ditentukan ternyata tidak memungkinkan adanya pengulangan elemen-elemen obyek
eksperimen
O
dan urutan nomor-nomor soal yang harus dikerjakan boleh tidak urut maka berarti urutan nomor-nomor soalnya tidak diperhatikan.
Karena urutan nomor-nomor soalnya tidak diperhatikan
maka berarti
s
1
,
s
2
,
s
3
, ... ,
s
6
masing-masing merupakan elemen-elemen kombinasi
. Selanjutnya berdasarkan kerangka pemikiran yang ditunjukkan pada gambar 27 di atas ternyata banyak anggota ruang sampel
S
,
n S
= 6 = 2 3.
Karena susunan hasil-hasil yang mungkin tidak memungkinkan adanya pengulangan unsur obyek eksperimen dan urutan unsur-unsur pada setiap hasil tidak diperhatikan maka:
2 =
disedia ka n ya ng
soa l nomor
da r i soa l
nomor
C
3 1
dan 3 = .
4 3
disedia ka n ya ng
soa l nomor
da r i soa l
nomor
C
Sehingga berarti
n S
=
3 1
C
4 3
C
. Sehingga gambaran pemikiran selanjutnya menjadi:
Gambar 29
n S
= 6 =
2 1
C
3 2
C
.
=
2 1
C 4
5 6
3
I II
1 2
Pilih secara bebas 1 nomor dari kel. I, dan
3 nomor dari kel. II. Obyek Eksp
Cara Eksp
1
2 I
3
4 5
3
4 6 4 5 6
3
4 5
3
4 6 4 5 6
II
1,3,4,5 =
s
1
1,3,4,6 =
s
2
1,4,5,6 =
s
3
2,3,4,5 =
s
4
2,3,4,6 =
s
5
2,4,5,6 =
s
6
S
No-no soal yg mungkin
2 cara
3 cara
3 2
C =
88 Kini dengan melihat pola yang digambarkan dia atas dapat disimpulkan bahwa:
Kini secara umum akan diperoleh suatu kaidah yang dikenal sebagai ”Prinsip Kombinasi”.
Gambaran umumnya seperti di bawah ini. Coba pikirkan dengan cermat apa saja isian bilangan di masing-masing petak kosong pada prinsip kombinasi berikut ini.
Gambaran Umum Prinsip Kombinasi Gambar 30
1 2
Kerjakan 1 nomor soal
diantaranya
4 5 6
3
Kerjakan 3 nomor soal
diantaranya
II I
Banyaknya cara
=
2 1
C
Banyaknya cara
=
4 3
C
Banyak cara memilih 4 nomor soal dari 6
nomor soal dengan syarat: Pilih 1 nomor dari kelompok I
2 nomor Pilih 3 nomor dari kelompok II
4 nomor, adalah:
n A
=
2 1
C
4 3
C
4 nomor
6 nomor
Kesimpulan:
Gambar 31
r
1
nomor dari
n
1
r
2
nomor dari
n
2
r
3
nomor dari
n
3
r
k
nomor dari
n
k
Pilih sembarang
n
1
nomor soal
n
2
nomor soal
n
3
nomor soal
n
k
nomor soal
s
1
s
2
s
3
s
n
S
Obyek Eksp Cara Eksp
Hasil
2
Yg Mungkin
n S
=
n
=
1 1
n r
C
2 2
n r
C
3 3
n r
C
. . . .
k k
n r
C
Total =
r
nomor dari
n
nomor
n
+
r
+
n
+
89
Prinsip Kombinasi
Jika terdapat sekumpulan obyek eksperimen sebanyak
n
terdiri dari
n
1
,
n
2
,
n
3
, ...,
n
k
obyek dengan
n
1
+
n
2
+
n
3
+ ... +
n
k
=
n
dilakukan pengambilan secara acak sebanyak
r
obyek terdiri dari
r
1
,
r
2
,
r
3
, ...,
r
k
obyek dengan
r
1
+
r
2
+
r
3
+ ... +
r
k
=
r
, dengan pengambilan
r
1
obyek dari
n
1
, dilanjutkan lagi dengan pengambilan
r
2
obyek dari
n
2
, ... dan seterusnya ... hingga pengambilan terakhir
r
k
obyek dari sisanya yakni
n
k
, maka
banyaknya hasil yang mungkin
adalah sama dengan
n S
=
1 1
n r
C
2 2
n r
C
3 3
n r
C
. . .
k n
k r
C
.
G. Identifikasi Masalah Pada Pada Pengambilan Sampel
Kategori