89
Prinsip Kombinasi
Jika terdapat sekumpulan obyek eksperimen sebanyak
n
terdiri dari
n
1
,
n
2
,
n
3
, ...,
n
k
obyek dengan
n
1
+
n
2
+
n
3
+ ... +
n
k
=
n
dilakukan pengambilan secara acak sebanyak
r
obyek terdiri dari
r
1
,
r
2
,
r
3
, ...,
r
k
obyek dengan
r
1
+
r
2
+
r
3
+ ... +
r
k
=
r
, dengan pengambilan
r
1
obyek dari
n
1
, dilanjutkan lagi dengan pengambilan
r
2
obyek dari
n
2
, ... dan seterusnya ... hingga pengambilan terakhir
r
k
obyek dari sisanya yakni
n
k
, maka
banyaknya hasil yang mungkin
adalah sama dengan
n S
=
1 1
n r
C
2 2
n r
C
3 3
n r
C
. . .
k n
k r
C
.
G. Identifikasi Masalah Pada Pada Pengambilan Sampel
Masalah
Sebuah kotak berisi 5 bola seukuran terdiri dari 2 bola merah dan 3 bola putih. Dari dalam kotak diambil secara acak 3 buah bola. Jika
A
adalah peristiwa terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih, tentukan peluang munculnya peristiwa
A
jika pengambilannya 1.
Sekaligus 2.
Satu demi satu tanpa pengembalian 3.
Satu demi satu dengan pengembalian.
Penyelesaian
Untuk memudahkan pemahaman diberikan kerangka berpikir menggunakan diagram pohon seperti berikut ini. Perhatikan kerangka pemikirannya.
1. Pengambilan Sekaligus
5 bola
1 2
1 3
2
2
m
dan 3
p
Ambil acak 3 bola sekaligus
m
1
,
m
2
,
p
1
=
s
1
m
1
,
m
2
,
p
2
=
s
2
m
1
,
m
2
,
p
3
=
s
3
m
1
,
p
1
,
p
2
=
s
4
m
1
,
p
1
,
p
3
=
s
5
m
1
,
p
2
,
p
3
=
s
6
m
2
,
p
1
,
p
2
=
s
7
m
2
,
p
1
,
p
3
=
s
8
m
2
,
p
2
,
p
3
=
s
9
p
1
,
p
2
,
p
3
=
s
10
S A
Obyek Eksp Cara Eksp
Hasil-hasil yang mungkin
Gambar 32
90 Tampak bahwa:
Jika 5 bola seukuran terdiri dari 2 bola merah dan 3 bola putih diundi sekaligus, dan
A
= peristiwa terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih maka
Ruang sampelnya
S
= {
s
1
,
s
2
, ... ,
s
10
}
n
S
= 10 Peristiwanya
A
= {
s
4
,
s
5
, ... ,
s
9
}
n A
= 6. Ruang sampel
S
berdistribusi seragam. Mengapa? Sehingga
P A
=
S n
A n
= 10
6 =
5 3
. Jadi peluang terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih adalah
P A
=
5 3
.
Dengan Cara Singkat
Pengambilan sekaligus bersesuaian dengan kombinasi. Mengapa? Sehingga
P A
=
S n
A n
=
bola da r i
bola putih
da r i putih
mer a h da r i
mer a h
C C
C
5 3
3 2
2 1
=
5 3
3 2
2 1
C C
C
=
10 3
2
= 10
6 =
5 3
. Jadi peluang terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih pada pengambilan 3 bola
sekaligus
adalah
P A
=
5 3
.
2. Pengambilan Satu Demi Satu Tanpa Pengembalian
Untuk cara eksperimen yang kedua ini gambaran kerangka pemikirannya adalah sebagai berikut.
Jadi peluang terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih pada pengambilan 3 bola satu demi satu
tanpa pengembalian
adalah:
P
{1
m
,2
p
} = 60
36 =
5 3
. Perhatikan bahwa arti dari:
5 bola
1 2
1 3
2
2
m
dan 3
p
Obyek Eksp
Ambil acak 3 bola 1
– 1 tanpa pengemb
Cara Eksp
III II
I m
p p
p m
p p
p m
5 2
5 3
5 3
4 3
3 2
4 2
4 2
3 2
3 2
60 12
60 12
60 12
Total =
60 36
=
5 3
Gambar 33
91
P
{1
m
,2
p
} = 60
36 =
S n
A n
= }
5 dari
3 {
} 3
dari 2
dan 2
dari 1
{
bola bola
n p
p m
m n
=
bola da r i
bola p
da r i p
m da r i
m
P P
P p
m
5 3
3 2
2 1
2 .
1 2
1
=
5 3
3 2
2 1
3 2
, 1
P P
P P
=
5 3
3 2
2 1
2 .
1 2
1
P P
P
=
60 36
= 5
3 .
Dengan cara singkat
Pengambilan satu demi satu tanpa pengembalian, banyaknya cabang bersesuaian dengan perhitungan permutasi dengan beberapa unsur sama aturan kombinasi Mengapa?
Sehingga
P
{1
m
,2
p
} = Banyaknya cabang Nilai peluang cabang I. Mengapa?
=
bola p
m
P
3 2
, 1
Nilai peluang cabang I. =
2 .
1 3
5 2
4 3
3 2
= 3
60 12
= 60
36 =
5 3
.
Catatan
1. Perhatikanselidiki bahwa hasil akhir perhitungan nilai peluang
P
{1
m
,2
p
} ternyata
sama
antara
pengambilan sekaligus
dengan
pengambilan satu demi satu tanpa pengembalian
. Yakni masing-masing bernilai akhir = 5
3 2.
Selidiki bahwa nilai pembilang dari pecahan 60
36 yakni bilangan 36 adalah
bilangan yang menyatakan banyak cara terjadinya peristiwa
A
yaitu peristiwa terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih. Yakni
n A
=
n
{1
m
dan 2
p
} =
p da r i
p m
da r i m
P P
p m
3 2
2 1
2 .
1 2
1
=
3 2
2 1
2 .
1 2
1
P P
= 36. Sedangkan penyebut 60 adalah nilai permutasi
bola p
m da r i
bola p
m
P
3 2
2 1
=
bola da r i
bola
P
5 3
=
5 3
P
. Yakni
5 3
P
= 60. Sehingga peluang terjadinya peristiwa
A
adalah
P A
=
S n
A n
=
bola da r i
bola p
da r i p
m da r i
m
P P
P p
m
5 3
5 2
2 1
2 .
1 2
1
=
5 3
3 2
2 1
2 .
1 3
P P
P
= 60
36 = .
5 3
92
3. Pengambilan Satu Demi Satu Dengan Pengembalian
